Незатухающий ток в сверхпроводниках

В нормальном металле при Т = 0 все электроны находятся вну­три сферы Ферми, и в силу её симметрии полный импульс, а зна­чит и суммарный ток, равны нулю. Если к металлу приложить по­стоянное электрическое поле Е в направлении х, то электроны начнут ускоряться, в К-пространстве это отвечает движению сферы Ферми с постоянной скоростью v_x в направлении оси К_x. В результате рассеяния на примесях, дефектах и др. электроны с максимальными волновыми векторами К будут перебрасываться в свободные ячейки, и в целом установится стационарное состояние, в котором сфера Ферми будет смещена на расстояние

.

В сверхпроводнике же в отсутствии электрического поля ток может возникнуть, если все куперовские пары будут иметь один и тот же импульс . Это значит, что вся "размазанная" сфера Ферми сдвинута на расстояниеK/2 в направлении оси х (рис. 6.6). Электрон 1 из пары (1. 2), имеющий наибольшую кинетическую энергию мог бы перейти назад к электрону 2. Энергетический выигрыш при этом бы составил.

Но при этом будет разрушена куперовская пара (1, 2), и энергия системы повы­сится на 2. Поэтому при достаточно малых токах (ма­лых К) такой переход энергетически невыгоден, и пара разрываться не будет. Разумеется, состояние с К = 0, то есть бестоковое, энергетически выгоднее, но для перехода в него требуется разорвать все пары, а для этого нужна большая энергия. То есть токовое состояние от­делено от бестокового потенциальным барьером и является метастабильным.

Рис. 6.5. Энергетическая щель Рис. 6.6. Распаривание электронов

Найдем критический импульс К_С куперовской пары, при которой разрыв становится энергетически выгоден, из условия , то есть:. Выражая плот­ность сверхпроводящих электроновn_S через лондоновскую глубину проникновения  (2.7), а ширину энергетической щели  через длину когерентности ₀ (6.18), получим:

. (6.24)

В теории твердого тела выводится выражение для плотности со­стояний у поверхности Ферми , можно также получить выражение для электронной плотности. Тогда, воспользовавшись формулами (6.15) и (6.18), получим:

. (6.25)

Заметим, что эта величина с точностью до множителя согласуется с плотностью критического тока тонкой (d << ) пленки, то есть с током распаривания, определенным формулой (4.33).

13. Туннельный эффект в сверхпроводниках.

Рассмотрение туннельного эффекта в сверхпроводниках лучше всего начать со случая, когда оба металла нахо­дятся в нормальном состоянии. Напомним простейшую формулировку задачи о туннелировании (рис. 7.1). Пусть электрон, имеющий первоначально кинетическую энергию W и нулевую потенциальную энергию V₁ = 0, налетает на потенциальный барьер V₂ > W. Вероятность появления электрона на другой стороне барьера можно получить исходя из стационарного уравнения Шредингера:

.

В одномерном случае для постоянного потенциала в области 1 имеем:

.

В областях 2 и 3 решение одномерного уравнения Шредингера имеет вид:

Постоянные A, B, C, D, F можно определить из граничных условий, исходя из того, что в точках х = 0 и х = w волновая функция  и её производная d/dx должны быть непрерывными. Если w >> 1, то величиной

exp(-w) можно пренебречь в сравнении с величиной ехр(w) и полу­чить:

Для отношения плотностей токов до и после барьера в этом случае получим:

. (7.1)

Определяющим в этом выражении является экспоненциальный множитель. Чем шире барьер, тем меньше ток, который может протекать через него. Практически высота барьера в твердых телах может быть порядка 1 эВ. Подставляя эту величину вместо V₂ – W в определение величины , можно оценить, что при ширине барьера w = 10^–9 м коэффициент прохождения равен 10^–6.

Рис. 7.1. Потенциальный барьер Рис. 7.2. Энергетическая диаграмма

Вспомним теперь, что в состоянии теплового равновесия уровни Ферми в приведенных в контакт металлах совпадают. Если же к одно­му металлу приложить потенциал u относительно другого, то уровень Ферми в металлическом катоде поднимется относительно уровня Ферми в металлическом аноде на величину eu (рис. 7.2). Пусть число электронов в интервале dW пропорционально числу за­полненных состояний слева от барьера, то есть N₁(W – eu)f(W – eu)dW, где N₁(W) – плотность энергетических состояний, а f(W) – функция Ферми вида (6.2), энергия отсчитывается от уровня Ферми металла, расположенного справа от барьера. Однако, электроны могут двигаться вправо лишь при условии, что там есть незаполненные состояния, то есть ток через барьер должен быть также пропорционален N₂(W)(1 – f(W)). Вводя вероятность прохождения через барьер Р₁₂(W), получим для элемента тока, протекающего слева направо, выражение:

dj₁₂ ~ Р₁₂(W)N₁(W – eu)N₂(W)f(W – eu)(1 – f(W))dW.

Аналогично можно получить выражение для элемента тока, текущего справа налево:

dj₂₁ ~ Р₂₁(W)N₁(W – eu)N₂(W)f(W – eu)(1 – f(W – eu))dW.

Полагая, что Р₁₂(W) = Р₂₁(W) = Р(W), так как электрон имеет такую же вероятность пройти через барьер справа налево, как и слева направо, найдем полную плотность тока:

Предположим далее, что при малом по сравнению с E_F/e внешнем напряжении вероятность перехода Р(E) не зави­сит от энергии, и, положив плотность состояний равной своему зна­чению на поверхности Ферми, то есть N₁(W – eu) = N₁(0) и N₂(W) = N₂(0), получим:

(7.2)

где А – постоянная, определяемая величиной вероятности Р и геометрией перехода. При малых напряжениях функцию Ферми (6.2) можно раз­ложить в ряд

f(W – eu) – f(W) = –eudf/dW,

и при не слишком большой температуре (k_BT << E_F) аппроксимировать ее производную df/dW дельта-функцией, в результате получим:

I = AN₁(0)N₂(0)eu. (7.3)

Таким образом, переход металл – изолятор – металл подчиняется закону Ома, то есть ток и напряжение связаны линейной зависимостью.