Основное состояние сверхпроводника

Напомним основные свойства электронов проводимости в нормальных металлах. Почти всегда можно пренебречь взаимодействием между электронами и считать, что каждый электрон имеет индивидуальную энергию Е и импульс . Поскольку волновая функция электрона должна удовлетворять определенным граничным условиям, в данной области энергий существует конечное число разрешенных состояний, в каждом из которых энергия и импульс электрона определены с точностью, допускаемой соотношением неопределенностей. Вероятностьf того, что данное состояние с энергией Е заполнено, дается распределением Ферми – Дирака:

(6.2)

Точки, соответствующие волновым векторам электронов К, образуют в трехмерном импульсном пространстве сферу Ферми с радиусом .

Вслед за предположением Фрелиха, что взаимодействие между электронами может осуществляться посредством фононов, следующий шаг сделал Купер. Он рассмотрел случай, когда к металлу при абсолютном нуле добавляются два электрона, которые в силу принципа Паули занимают состояния с K > K_F. Купер показал, что если между этими электронами есть притяжение, хоть и слабое, то они могут образовывать связанное состояние, их полная энергия при этом будет меньше 2E_F.

Рассмотрим для начала случай двух невзаимодействующих элект­ро­нов с волновыми векторами К₁ и К₂. Их волновая функция

(r₁, К₁, r₂, К₂), определяющая веро­ятность того, что электрон с волновым вектором К₁ находится вблизи точки r₁, в то время как электрон с волновым вектором К₂ находится вблизи точки r₁, является произведением двух одноэлектронных волновых функций (r₁, К₁) и (r₂, К₂). Опуская далее зависимость от координат, запишем для кратности:

(К₁, К₂) = (К₁)(К₂).

Волновые функции (К), по сути, – функции Блоха. Если же между парами электронов существует взаимодействие, вызывающее рас­се­я­ние электронов с последующим изменением их волновых функций, это приводит к "смешиванию" волновых функций, а двухэлектронная вол­но­вая функция превращается в сумму волновых функций, отвечаю­щих широкому интервалу волновых векторов:

(6.3)

Коэффициенты |a_ij|² описывают вероятность обнаружить в любой момент времени электроны с индивидуальными волновыми векторами К_i, К_j. Естественно, при этом должен выполняться закон сохранения импульса К_i + К_j = K = const.

Для того чтобы было возможным рассеяние электронов из сос­то­яния (К₁, К₂) в состояние (К₃, К₄), необходимо, чтобы состояние (К₁, К₂) сначала было заполнен­ным, а состояние (К₃, К₄) – пустым. То есть вектора К₁ и К₂ должны лежать вблизи поверхности Ферми в тонком слое толщиной порядка К, определенной формулой (6.1). Поэтому при фиксированном K = К₁ + К₂ участвовать в переходах могут только электроны, лежащие в заштрихованной области (рис. 6.2), которая образована пересечением слоев толщиной 2К вокруг поверхностей Ферми, центры которых разнесены на K. Очевидно, что число таких электронов имеет острый максимум при К = 0, когда эти слои совпадают. Поэтому в сумме (6.2) можно оставить только слагаемые, отвечающие условию К = 0, то есть К_i = –К_j. Обозначая (К_i)(–К_i) = _i, перепишем формулу (6.3) в виде:

. (6.4)

Рис. 6.1. Электрон-фононное

Взаимодействие Рис. 6.2. Взаимодействующие

электроны

Индексом n здесь занумерованы все возможные пары электро­нов с волновыми векторами (К, –К), лежащие в узком шаровом слое К вблизи поверхности Ферми. Энергию в состоянии Ф можно записать в виде:

,

где – оператор Гамильтона,– оператор потенциальной энергии взаимодействия,– кинетическая энергия электронов. С учетом формулы (6.4), обозначая, получимЕ = Е_К + V, где

(6.5)

потенциальная энергия взаимодействия электронов.

Выражение V_{n, m} называется матричным элементом перехода из состояния _n в состояние _m: . В нашем случае это означает переход из состояния_n, в котором ячейки (К_n, –К_n) заняты, а ячейки (К_m, –К_m) пусты, в состояние _m, в котором ячейки (К_m, –К_m) заняты, а ячейки (К_n, –К_n) пусты. Коэффициент a_n здесь обозначает амплитуду состояния _n, а коэффициент a_m - амплитуду состояния _m. Введем в рассмотрение некоторую функцию v_n² волнового вектора К – вероятность того, что пара состояний (К_n, –К_n) занята. Тогда амплитуду состояния, в котором ячейки (К_n, –К_n) заняты, а ячейки (К_m, –К_m) пусты, можно записать в виде:

,

где u_n² =1 – v_n². Аналогично a_m = v_mu_n. Теперь, используя формулу (6.5), можно записать полную энергию сверхпроводника в виде:

. (6.6)

Первое слагаемое здесь – полная кинетическая энергия электронов в сверхпроводнике, E_n – энергия электрона в ячейке К_n, отсчитанная от уровня Ферми, то есть

,

второе слагаемое - средняя потенциальная энергия взаимодействия электронов, где матричный элемент V_{n m} определен формулой (6.5).

Найдем теперь такую функцию v_n², которая минимизирует полную энергию сверхпроводника E_S, то есть приравняем к нулю частную производную . Положим в соотношении (6.6)V_{n m} = –V для всех К_n и К_m, лежащих в шаровом слое толщиной К около поверхности Ферми, то есть будем считать, что энергия взаимодействия электронов не зависит от их импульсов и что это – притяжение. Тогда из формулы (6.6) получаем условие минимума:

,

откуда находим:

, (6.7)

где обозначено

. (6.8)

Штрих на сумме означает, что суммирование ведется только по тем состояниям К_n, которые лежат в шаровом слое толщиной К около поверхности Ферми, где отличен от нуля матричный элемент взаимодействия.

Уравнение (6.7) можно свести к квадратному уравнению относительно v_n²:

где

. (6.9)

Тогда

. (6.10)

Знак минус в формуле (6.10) поставлен из физических соображений, так как при K_n   очевидно, что v_n  0, a W_n  E_n, как это следует из формулы (6.9).

График функции v_n² изображен на рис 6.3. Видно, что даже при температуре абсолютного нуля минимум энергии достигается тогда, когда распределение электронов "размазано" на некотором интервале энергий порядка 2₀. Мы знаем, что без электрон-фононного взаимодействия минимуму энергии отвечает распределение Ферми, имеющее при T = 0 вид ступеньки: f(K < K_F) = 1, f(K > K_F) = 0. Фактически, "размазывая" распределение, природа идет на некоторый проигрыш кинетической энергии, зато появляются заполненные ячей­ки над поверхностью Ферми и пустые под ней, появляется взаимодействие, уменьшающее полную энергию системы. Состояние, описываемое распределением (6.10), называется основным состоянием сверхпроводника. Для того чтобы найти его энергию, вычислим сначала величину ₀. Из соотношений (6.8), (6.9) и (6.10) получаем:

.

Таким образом, приходим к уравнению относительно ₀:

От суммирования по К здесь удобно перейти к интегрированию по шаро­вому слою около сферы Ферми. Обозначая N(0) плотность состоя­ния около энергии E_F, получим уравнение:

или

. (6.11)

Для большинства сверхпроводников N(0)V < 0,3, и можно приближенно записать:

. (6.12)

Часто величину ₀ выражают в Кельвинах, то есть фактически ищут величину ₀/k_B, где k_B – постоянная Больцмана. Обозначая , получим:

.

Как правило, Т_D ~ 100 К; N(0)V ~ 0,3, тогда ₀ ~ 4 К.

Вспомним, что в нормальном состоянии при Т = 0 заполнены все ячейки с K < K_F, а выше все ячейки пустые. Поэтому энергия основного состояния образца в нормальном состоянии без электрон-фононного взаимодействия составляет:

Будем отсчитывать энергию основного состояния сверхпроводника от энергии основного состояния нормального металла и найдем W = E_S – E_N. С учетом формул (6.6) и (6.10) получим:

(6.13)

Учитывая определение ₀ (6.8), находим:

.

Отсюда легко получить:

.

Вновь переходя от суммирования к интегрированию, получаем:

Поскольку , используя равенство (6.11), находим:

. (6.14)

Таким образом, разность энергий между сверхпроводящим и нормаль­ным состоянием отрицательна, то есть сверхпроводящее состояние энергетически более выгодно. Учитывая формулу (1.2), получим:

,

или

. (6.15)

В 1 см³ металла содержится около 10²² электронов, а ширина зоны проводимости составляет около 10 эВ, поэтому N(0) ~ 10³³ 1/(Эргсм³). При ₀ ~ 10 К ~ 10^–15 Эрг, получим Н_CM(0) ~ 100 Э.