11. Электрон-фононное взаимодействие, основное состояние сверхпроводника.

Механизм сверхпроводимости был объяснен спустя 46 лет после его открытия, когда Бардин, Купер и Шиффер опубликовали свою те­о­рию. Важным экспериментальным фактом, подсказавшим природу это­го механизма, стал изотоп-эффект. Установлено, что разные изотопы одного и того же сверхпроводящего металла имеют разные крити­ческие температуры, причем выполняется зависимость Т_СМ^ = const, где М – массовое число изотопа,   0,5. Таким образом, стало понятно, что ионная решетка металла активно участвует в создании сверхпроводящего состояния. Заметим, что разница энергий сверхпроводящего и нормального состояния состав­ляет на единицу объема Н_СМ²/(8)  10⁵ эрг/см³ при характерном значении Н_СМ = 10³ Э. Поскольку в 1 см³ сверхпроводника содержится примерно 10²² электронов, на один электрон приходится энергия около 10^–17 эрг = 10^–5 эВ. Это на много по­рядков меньше энергии кулоновского взаимодействия электронов порядка 1 эВ, которой часто пренебрегают в квантовой теории метал­лов, где рассматривают электронный газ идеальным.

Отметим также, что рентгеновская кристаллография показала, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры никаких изменений в его кристаллической структуре не происходит. Не меняются и другие величины, зависящие от колебаний решетки, например, решеточная теплоемкость. Вместе с тем электронная теплоемкость при переходе в сверхпроводящее состояние резко меняется, то есть сверхпроводящее состояние не связано с каким бы то ни было изменением свойств кристаллической решетки, а обусловлено коренным изменением поведения электронов проводимости.

Кроме того, известно, что на частотах порядка 510¹¹ Гц коэффициент отражения сверхпроводников резко падает, сверхпроводник начинает поглощать излучение. В полупроводниках поглощается излучение, энергия фотона которого превосходит ширину запрещенной зоны. Следовательно, в сверхпроводниках существует какая-то энергетическая щель порядка 10^–4 эВ, что соответствует температуре около 1 К.

Таким образом, любая удовлетворительная теория сверхпроводимости должна объяснять следующие факты:

а) сверхпроводимость сопровождается глубокими изменениями в свойствах электронов сверхпроводимости – появляется дальний порядок и энергетическая щель;

б) свойства кристаллической решетки никак не меняются, но она играет важную роль в физике сверхпроводимости, что подтверждается изотоп-эффектом;

в) сверхпроводящий переход в нулевом магнитном поле – фазовый переход второго рода.

Первый шаг на пути создания микроскопической теории сверх­проводимости сделал в 1960 г. Фрёлих, который показал, что вза­и­мо­дей­с­т­вие электронов с решеткой может связать два электрона так, что между ними возникает прямое взаимодействие. В постули­рованном взаимодействии один электрон возбуждает колебания ре­шетки, то есть испускает фонон, который немедленно поглощается другим электроном. При определенных условиях это взаимодействие будет давать притяжение между электронами. Если такое взаимодействие окажется сильнее кулоновского отталкивания, возникнет эффективное притяжение между электронами, ко­торое приведет к образованию энергетической щели, дальнего порядка и сверхпроводящего состояния.

Рассмотрим свободный электрон металла с волновым вектором К₁, распространяющийся по кристаллу при температуре Т = 0. В ка­кой-то момент времени он возбуждает нормальное колебание решет­ки, иначе говоря, испускает фонон, которого раньше не существовало, с импульсом q и переходит в какое-то другое состояние с волновым вектором K₂. При этом должен выполняться закон сохранения импульса:

К₁ = K₂ + q.

Почти в тот же момент этот фонон будет поглощен другим электроном с волновым вектором К₃, который при этом перейдет в состояние К₄ (рис. 6.1). Итак, сначала существо­вали два электрона в состояниях К₁ и K₃, а в конце эти электроны оказались в состояниях К₂ и К₄, то есть произошло рассеяние электронов друг на друге, причем:

К₁ + K₃ = K₂ + К₄.

Но такое рассеяние означает взаимодействие. Его можно пояснить так. Первый электрон, пролетая по решетке, притягивает ионы; обладающие большой массой ионы продолжают движение и после того, как электрон пролетел, и создают в этом месте избыточный положительный заряд, притягивающий второй электрон.

Чтобы электрон перешел из состояния К₁ в состояние K₃, последнее должно быть свободно, как следует из принципа Паули. Поскольку электроны при Т = 0 заполняют все состояние вплоть до К_F, то такой переход возможен лишь вблизи по­верхности Ферми-сферы в К-пространстве радиуса К_F, ко­торой соответствует энергия Ферми . Рассмотрим, что значит "вблизи"? Из закона сохранения энергии следует, чтоЕ₁ – Е₂ = Е₄ – Е₃. При переходе электронов с одного энергетического уровня на дру­гой возникают колебания электронной плотности с частотой . Это колебание играет роль вынуждающей силы, возбуждающей колебания решетки за счет кулоновского притяжения положительных ионов к отрицательному заряду увеличенной плотности электронного облака.

Притяжение между электронами возникает, если колебания решетки находятся в фазе с вынуждающей силой. Это происходит в том случае, если частота вынуждающей силы  меньше частоты собственных колебаний решетки ₀. Поскольку частота собственных колебаний решетки ₀ не превосходит дебаевской частоты _D, условие притяжения между электронами можно записать в виде:

(6.1)

Поэтому закон взаимодействия электронов через фононы можно сформули­ро­вать так: электроны, энергия которых отличается от энер­гии Ферми не больше чем на величину , притягиваются друг к дру­гу с энергией взаимодействия –V, остальные электроны не взаимодействуют.