матан

ПРИМЕР 1. Сформулируем аналог критерия Коши сходимости для бесконечных произведений:

3

k=n

Однако,

e−ε = 1 − ε + ε2 − . . . > 1 − ε

2!

и

eε = 1 + ε + ε2 + . . . < 1 + 2ε.

2!

Таким образом, неравенство (4) может быть записано в виде

3m

1 − ε < pk < 1 + 2ε.

k=n

Глава 14

Функциональные последовательности и ряды

§1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов

Пусть {fn(x)}∞n=1 – последовательность функций с одной и той же областью определения E R.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Если для всех x E выполнено

lim fn(x) = f(x)

n→∞

то функция f(x), определенная таким образом на E, называется предельной функцией для последовательности {fn(x)} на E, а сама сходимость последовательности {fn(x)} к f(x) на E называется поточечной сходимостью.

2

ПРИМЕР 1. Последовательность {e−nx }∞n=1 на R поточечно сходится. При этом, предельная функция имеет вид

1, при x = 0 0, при x = 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Последовательность функций

{fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на E к f(x), если ε > 0

N(ε) : n > N(ε) и x E выполнено |fn(x) − f(x)| < ε.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим последовательность {xn}∞n=1. Очевидно, что предельной функцией является

1, при x = 1 f(x) = | |

0, при x < 1.

При остальных значениях x предельной функции не существует.

Покажем, что на любом отрезке [−h, h], где 0 < h < 1, сходимость является равномерной. Пусть вначале x [−h, h], где 0 < h < 1. Зададим ε > 0. Найдем N(ε) такое, что при всех n > N(ε) выполняется

|xn − 0| < ε,

т.е.

|xn| < ε.

Для всех x [−h, h] справедливо неравенство

|xn| ≤ hn.

Выясним, при каких значениях n выполнено hn < ε. Для этого необходимо, чтобы

n ln h < ln ε,

т.е. при

n > ln ε ln h

необходимое соотношение выполнено (здесь учтено, что ln h

– отрицательное число). Выбирая, например,

N(ε) = lnlnhε + 1

получаем требуемое.

Итак, мы доказали, что функциональная последовательность {xn} сходится равномерно на отрезке [−h, h], где 0 < h < 1.

Покажем, что последовательность {xn} сходится неравномерно на интервале (−1, 1) (тем более на [0, 1]). Для этого необходимо, чтобы ε1 > 0 такое, что N найдутся натуральное число n > N и x (−1, 1) для которых

|xn − 0| ≥ ε.

Выберем ε = 12 . Тогда необходимо выполнение неравенства

|xn| ≥ 12.

получаем требуемое.

ПРИМЕР 3. Рассмотрим последовательность функций fn(x) = nx с областью определения E = R. Очевидно, что пре-

дельная функция f(x) = 0. Несложно показать (покажите!), что данная функциональная последовательность сходится к нулю неравномерно на R.

Заметим, что если в качестве области определения взять E = [a, b], то сходимость к нулю будет уже равномерная (проверьте!).

Рассмотрим ряд

∞

n=1

где Un(x) – функции с общей областью определения E. Пусть для всех x E ряд (1) сходится к сумме S(x). Тогда

S(x) есть поточечный предел последовательности частичных

сумм

k

Sk(x) = Un(x).

n=1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Говорят, что ряд

∞

Un(x)

n=1

сходится равномерно на E к своей сумме, если для любого ε > 0 найдется N(ε) : n > N(ε) выполнено

|Sn(x) − S(x)| < ε

для всех x E.

§2. Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и функциональных рядов

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно сходится к f(x) на множестве E. Тогда если E1 E, то {fn(x)}∞n=1 равномерно сходится к f(x) и на множестве E1.

Доказательство. Данное утверждение сразу следует из определения равномерной сходимости функциональной последовательности. Доказательство проведите самостоятельно.

сравнивая в точке x E функциональный ряд с числовым

∞

n=1

любом фиксированном x (по признаку сравнения). Таким образом у функционального ряда существует сумма

∞

при n → ∞ (т.к. числовой ряд сходится). Пользуясь предыдущей теоремой, получаем требуемое.

1 ряд сходится равномерно, т.к. мажорируется сходящимся числовым рядом ( т.е. сверху ограничивается числовым рядом).

ПРИМЕР 2. Рассмотрим ряд

Исследуем его на равномерную сходимость на множестве E = R. Заметим, что x R и n N справедливы неравенства

Учитывая сходимость ряда

∞ 13 ,

n=1 n2

получаем, что первоначальный ряд сходится равномерно.

§3. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда

ТЕОРЕМА 3.1 (критерий Коши). Функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на E тогда и только тогда, когда ε > 0 N(ε) : m ≥ n ≥ N(ε) и x E выполняется |fm(x) − fn(x)| < ε.

Объединяя, получаем справедливость следующих соотношений

|fm(x)−fn(x)| = |fm(x)−f(x)+f(x)−fn(x)| ≤ |fm(x)−f(x)|+

+|f(x) − fn(x)| < ε.

Обратно, докажем, что последовательность сходится равномерно при условиях, что ε > 0 N(ε) : m ≥ n ≥ N(ε)

По критерию Коши для числовых последовательностей, при фиксированном x последовательность fn(x) сходится к предельной функции f(x).

В неравенстве (1) осуществим предельный переход по m → ∞. Получим, что для всякого ε > 0 найдется N(ε) такой, что для любого n > N(ε) и x E справедливо неравенство

|f(x) − fn(x)| ≤ ε.

Следовательно функциональная последовательность сходится равномерно.

Доказательство. Доказательство следует из предыдущей теоремы, т.к. последнее неравенство эквивалентно следующему

|Sm(x) − Sn(x)| < ε x E,

где

n

Sn(x) = Uk(x).

k=1

§4. Непрерывность суммы функционального ряда

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть функциональный ряд

∞

n=1

определен на [a, b). Если все функции Un(x) непрерывны в точке a и ряд (1) сходится равномерно на [a, b), то его сумма S(x) также непрерывна в точке a.

Доказательство. Отметим вначале справедливость неравенства

|S(x)−S(a)| ≤ |S(x)−Sn(x)|+|Sn(x)−Sn(a)|+|Sn(a)−S(a)|.

Зададим произвольно ε > 0. Т.к. ряд (1) сходится равномерно, то N(ε) : n > N(ε) выполняется

для всех x [a, b). И, в частности, это верно в точке a, т.е.

340 Глава 14. Функциональные последовательности и ряды

Фиксируем номер n0 > N(ε). Так как Un(x) – непрерывны в точке a, то частичная сумма Sn0 (x) тоже непрерывна в точ-

Объединяя неравенства (2), (3), (4) получаем, что при всех x : |x − a| < δ(ε) выполнено

|S(x) − S(a)| ≤ |S(x) − Sn0 (x)| + |Sn0 (x) − Sn0 (a)|+ +|Sn0 (a) − S(a)| < ε,

что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для каждой функциональной последовательности {fn(x)} существует ряд ∞n=1 Un(x), для которого она является последовательностью его частичных сумм. А именно,

U1(x) = f1(x), U2(x) = f2(x) − f1(x), . . . ,

Un(x) = fn(x) − fn−1(x), . . . .

Таким образом, любую теорему, доказанную для функциональных рядов, можно переформулировать в соответствующую теорему для функциональных последовательностей, и наоборот. В частности, справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть {fn(x)}∞n=1 – последовательность функций, заданных на интервале [a, b). Если все fn(x) непрерывны в точке a и последовательность сходится равномерно на [a, b) к f(x), то f(x) непрерывна в точке a.

Покажем на контрпримерах существенность требования равномерной сходимости в доказанных выше теоремах.

ПРИМЕР 1. Последовательность {xn} непрерывных на [0, 1] функций сходится (поточечно) к функции

Функция f(x) разрывна, следовательно в доказанных теоремах нельзя отказаться от равномерной сходимости.

ПРИМЕР 2. Последовательность {xn} непрерывных на [0, 1) функций сходится (поточечно) к непрерывной функции, равной тождественно нулю. Следовательно условие равномерной сходимости в теореме не является необходимым.