матан

и что необходимое условие сходимости ak → 0 ряда (1) не выполняется.

iii) Рассмотрим два ряда

Первый из этих рядов расходится, но для него

1

limn→∞ n+11 = 1.

n

Для второго ряда

но ряд сходится.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим ряд

∞ 2n .

n=1 n!

Воспользуемся признаком Коши. Имеем

На самом деле можно доказать (попробуйте!), что

lim √1 = 0,

n→∞ n n!

но это достаточно затруднительно. Попробуем воспользоваться признаком Даламбера. Имеем

и

limn→∞ an+1 = 0. an

Ряд сходится. ПРИМЕР 2. Исследовать на сходимость ряд

∞ n!

n=1 nn .

Доказательство. Мы имеем

ЛЕММА 8.2 (Признак Дирихле). Предположим, что

n

k=1

ниченную последовательность; ii) b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn ≥ . . .;

iii) limn→∞ bn = 0.

∞

Тогда ряд akbk сходится.

k=1

Доказательство. Пусть нам задано произвольное число ε > 0. Выберем постоянную M > 0 так, чтобы для любого n = 1, 2, . . . выполнялось |An| ≤ M. По ε1 = 2Mε > 0 найдем номер

N(ε) такой, что при всех n > N(ε) было выполнено

q

≤|An||bn − bn+1| + |Aq||bq+1| + |Ap−1||bp| ≤

n=p

q

≤ M (bn−bn+1)+Mbq+1+Mbp = M(bp−bq+1+bq+1+bp) ≤ ε.

n=p

Пользуясь критерием Коши, получаем нужное.

УПРАЖНЕНИЕ 1 (признак сходимости Абеля). До-

∞

казать, что если ряд bn сходится, а числа an образуют

n=1

монотонную и ограниченную последовательность

|an| ≤ const (n = 1, 2, . . .),

Применим признак Дирихле (иногда его называю признаком Дирихле-Абеля). Пусть {an} – последовательность числите-

лей этого ряда, а {b } – знаменателей. Тогда частичные сум-

n

мы ряда n = 1an ограничены, а именно, для всех n выполнено

|An| ≤ 2.

С другой стороны, bn = n1 → 0 при n → ∞. Таким обра-

зом, наш ряд сходится условно (ряд из модулей, очевидно, расходится).

и ряд сходится. Если x кратно 2π, то ряд превращается в гармонический и расходится.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Докажите, что ряд в предыдущем примере сходится условно (при x не кратном 2π).

УПРАЖНЕНИЕ 3. Предположим, что последовательность {an} монотонно убывает и стремится к нулю. Исследуйте на сходимость следующие ряды

Доказательство. Переобозначим члены ряда

a11 + a12 + . . . + a1k + a21 + . . . = c1 + c2 + . . . + ck + ck+1 + . . . ,

т.е. ck(n−1)+l = anl. Обозначим через Cn – n−ю частичную

∞ ∞

сумму ряда ci, а Bm – m−ю частичную сумму ряда bi.

i=1 i=1

αn = ckm+1 + . . . + ckm+l = am1 + . . . + aml. Учитывая, что aml при любом l – бесконечно малая величина при m → ∞,

получаем,

|αn| ≤ |am1| + . . . + |aml| → 0

при n → ∞. Таким образом, при n → ∞ выполнено

Cn = Cmk + αn → B + 0 = B.

§10. Умножение рядов

Пусть заданы два ряда

В правой части данной цепочки неравенств стоит произведение частичных сумм рядов

Тем самым, абсолютная сходимость рядов (1), (2) влечет абсолютную сходимость ряда (3). Теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Показать, что в условиях теоремы сумма ряда (3) равна произведению сумм A · B.

ПРИМЕР 2. Если оба ряда (1) и (2) сходятся лишь неабсолютно, то невозможно гарантировать сходимость ряда (3). К примеру, ряд

Несложно показать (покажите, например, пользуясь методом

неопределенных коэффициентов!), что

Также можно доказать (докажите!), что при n → ∞, мо-

нотонно возрастая, величина |cn| стремится к 0, монотонно

∞

§11. Теорема Римана

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Пусть даны два ряда

Если ряд (1 ) получается из ряда (1) путем перестановки конечного либо бесконечного множества элементов, то говорят, что ряд (1 ) есть перестановка ряда (1).

суть перестановки ряда (2).

Следующая теорема кажется на первый взгляд абсолютно парадоксальной, поскольку противоречит всей нашей предыдущей математической практике. Еще со школы нам известно правило "от перестановки мест слагаемых сумма не меняется". Однако формулируемая ниже теорема говорит, что если ряд сходится неабсолютно, то от перестановки (бесконечного числа) слагаемых может не только измениться сумма, но и посредством подходящей перестановки она может быть сделана каким угодно наперед заданным числом.

ТЕОРЕМА 11.1. Предположим, что ряд (1) сходится неабсолютно. Тогда каково бы ни было наперед заданное число L, конечное либо бесконечное, найдется перестановка ряда (1), имеющая суммой L.

Доказательство. Мы будем предполагать, что все члены ряда (1) отличны от нуля, поскольку нулевые члены ряда на