Ю.Ф. Глазков Расчет на изгиб со сжатием (растяжением)

1

1.Введение

Вслучаях, когда нагрузка на стержневые элементы инженерных конструкций имеет сложный пространственный характер (рис.1,а) или сама конструкция имеет сложный вид (рис.1,б), возникает состояние, которое называется изгибом со сжатием или растяжением (далее – изгиб со сжатием). В этих случаях в поперечных сечениях стержня одно-

временно действуют изгибающие моменты Мx, Мy, поперечные силы Qx, Qy и продольная сила N.

q

Рис.1. Типичные задачи изгиба со сжатием

Изгиб со сжатием является обычным состоянием у многих инженерных конструкций: зданий, сооружений, машин, аппаратов и т.д. Расчеты при изгибе со сжатием имеют ряд отличительных особенностей по сравнению с расчетами других состояний конструкций. Поэтому студенты механических специальностей должны иметь представление об основах таких расчетов.

В задании предполагается выполнение следующих расчетов: 1)определение внутренних усилий от заданной нагрузки; 2)определение нормальных напряжений в целях проверки проч-

ности или подбора сечения (по усмотрению преподавателя) по условию прочности;

3)построение ядра заданного сечения.

2. Основные понятия и сведения из теории

2

В задании могут быть использованы две основные расчетные схемы стержня, работающего на изгиб со сжатием (рис.2). В первом случае стержень нагружен системой продольных и поперечных нагрузок (рис.2,а), а во втором – одной силой, параллельной оси стержня и имеющей эксцентриситет “e” относительно этой оси (рис.2,в)

Рис.2. Расчетные схемы изгиба со сжатием

В первом случае приложенную нагрузку удобно привести к оси стержня с добавлением пар с моментами Мi = Pi ei от внецентренно приложенных сосредоточенных сил Pi (рис.2,в). После этого можно определить внутренние усилия N, Mx, My, Qx, Qy обычными способами, используя правила метода сечений. Если стержень обладает большой жесткостью, то обычно пренебрегают влиянием продольной нагрузки на изгибающие моменты и прогибы. В данных указаниях рассматриваются только такие случаи. Это позволяет определять внутренние усилия, применяя принцип независимости действия сил, когда общая нагрузка разделяется на три независимые группы: продольную и

3

две поперечные, действующие в главных плоскостях стержня. После этих преобразований внутренние усилия находят с помощью приемов, рассмотренных ранее при изучении тем “Растяжение-сжатие” и “Из-

гиб” [4,5].

При оценке прочности в большинстве расчетов учитывают только нормальные напряжения σ , возникающие в поперечном сечении, а касательными напряжениями обычно пренебрегают. Формула для определения нормальных напряжений имеет вид [1,2]

торая является плоскостью, не проходящей через начало координат. В практических расчетах бывает полезно найти положение нейтральной оси (н.о.) – прямой, лежащей в плоскости поперечного сечения, на которой выполняется условие

Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения возникают в точках I и II поперечного сечения (рис.3,б), наиболее удаленных от нейтральной оси.

My Mx x

x

н.о.

Рис.3. Распределение нормальных напряжений в поперечном сечении

Для оценки прочности конструкции обычно используют условия

где σ I, σ II – модули наибольших растягивающих и сжимающих нормальных напряжений в опасном сечении стержня, Па;

[σ ]+, [σ ]- - допускаемые напряжения на растяжение и сжатие для материала заданной конструкции, Па.

Частным случаем изгиба со сжатием является внецентренное сжатие (рис.2,б), когда продольная нагрузка Р действует на стержень с эксцентриситетом “e” относительно его продольной оси.

В этом случае рассмотренные ранее формулы (2.2) и (2.3) принимают следующий вид:

6

Контур ядра сечения можно определить как геометрическое место полюсов, соответствующих множеству нейтральных осей, касательных с контуру сечения (рис.5). Для конкретной нейтральной оси i после замера координат ax и ay положение соответствующего ей полюса можно определить по формулам

При построении ядра сечения полезно учитывать следующие правила:

1) ядро сечения строится только для выпуклой части контура сечения (пунктирная линия на рис.5);

2)вершине на контуре сечения соответствует прямая линия на контуре ядра сечения;

3)прямой линии на контуре сечения соответствует вершина на контуре ядра сечения;

4)кривой на контуре сечения соответствует кривая на контуре ядра сечения.

y

ayi

pi ypi

Рис.5. К построению ядра сечения

3. Пример расчета

Для стойки (рис.6,а) необходимо найти внутренние усилия от заданной нагрузки и подобрать сечение заданной формы (рис.6,б) по условию прочности. Материал конструкции – серый чугун марки

7

СЧ 12 – 28. Коэффициент запаса прочности принять равным n = nв = 3,0. Построить ядро подобранного сечения и построить эпюру нормальных напряжений в одном из сечений стержня.

3.1.Определение внутренних усилий

После переноса продольных нагрузок Р1 и Р2 на ось стойки к изгибающей нагрузке добавляются две пары сил с моментами М1 =

=Р1e1 = 30 0,02 = 0,6 кН м и М2 = Р2e2 = 50 0,04 = 2,0 кН м.

Вдальнейшем нагрузка разбита на три группы: продольную и

две изгибающие. Эти нагрузки показаны на рис.7.

Рис.6. Схемы нагрузок (а) и поперечного сечения (б) к примеру расчета

а. Определение продольных сил N

Уравнение равновесия:

Σ z = 0; HA –P2 – P1 =0;

HA = P1 + P2 = 80 кН.

8

Qx

1,54

0,95

My

1,05 0,77

Рис.7. Схемы нагрузок и эпюры внутренних усилий

9

Продольные силы по участкам:

N1 = -HA = -80 кН; N2 = -P1 = -30 кН.

б. Определение внутренних усилий Мх и Qy

Уравнения равновесия:

Σ mB = 0; -VAY 1,3 + P3 0,5 – M1 = 0; VAY = (2,0 0,5 – 0,6) / 1,3 = 0,308 кН.

Σ mA = 0; VBY 1,3 – P3 0,8 – M1 = 0;

VBY = (2,0 0,8 – 0,6) / 1,3 = 1,69 кН.

Поперечные силы QY по участкам:

Q1Y = VAY = 0,308 кН; Q2Y = - VBY = -1,69 кН.

Изгибающие моменты MX в характерных сечениях:

MCX = VAY 0,6 = 0,308 0,6 = 0,19 кН м; MDX = VAY 0,8 = 0,308 0,8 = 0,25 кН м; MBX = - M1 = - 0,6 кН м.

Эпюры QY и MX показаны на рис.7,б.

в. Определение внутренних усилий QX и MY

Уравнения равновесия:

Σ mB = 0; VAX 1,3 – M2 = 0; VAX = VBX = M2 / 1,3 = 1,54 кН.

Поперечные силы QX по участкам:

Q1X = Q2X = - VAX = - 1,54 кН.

Изгибающие моменты MY в характерных сечениях:

MCYлев = - VAX 0,6 = - 1,54 0,6 = - 0,93 кН м; MCYправ = VBX 0,7 = 1,54 0,7 = 1,07 кН м; MDY = VBX 0,5 = 1,54 0,5 = 0,77 кН м.