Ю.Ф. Глазков Расчет на изгиб со сжатием (растяжением)
.pdf10
Эпюры QX и MY показаны на рис.7,в.
3.2. Подбор сечения по условию прочности
а. Определение геометрических характеристик поперечного сечения
Положение центра тяжести и моменты инерции (рис.8,а):
F1 = 2a 3a = 6a2; F2 = - 0,5 0,5a 2a = - 0,5a2; y1′ = 1,5a; y2′ = a + 1,333a = 2,333a;
x′C = |
|
6a2 1,5a − |
2 0,5a2 2,333a |
= 1,33a; |
|||||||
|
6a2 − 2 0,5a2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
J x = |
3a(2a)3 |
|
− |
2 |
2a(0,5a)3 |
|
− |
2 0,5a2 (0,833a)2 = 1,3a4 ; |
|||
12 |
36 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
J y = |
|
2a(3a)3 |
|
− |
2 |
0,5a(2a)3 |
|
+ |
6a2 (0,17a)2 − 2 0,5a2 (0,86a)2 = 3,26a4 . |
||
12 |
|
36 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б. Подбор сечения
Подбор сечения проиллюстрируем на примере сечения Справ, в котором действуют внутренние усилия N = -30 кН; Mx = 0,19 кН м: My =1,07 кН м. Предельные напряжения примем равными пределам прочности на растяжение σ Р = 120 мП и на сжатие σ с = 500 мПа [3, с.624]. Допускаемые напряжения [σ ]+ = 120 / 3 = 40 мПа; [σ ]- = = 500 / 3 = 167 мПа.
Так как определение абсолютных значений ax и ay, определяющих положение н.о. невозможно при неизвестном параметре а, то для определения положения опасных точек I и II найдем угол наклона н.о.
по отношению к оси x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tgα = − |
ay |
= − |
My Jx |
= − |
1,07 1,3a4 |
− 2,24; |
αα = − |
65,9 |
0 |
≈ − |
66 |
0 |
. |
ax |
Mx Jy |
0,19 3,26a4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На рис.8,б показано примерное положение н.о. с учетом того факта, что при N < 0 напряжения в центре тяжести сечения будут отрицательными. Там же показаны точки I и II, найденные как наиболее удаленные от н.о.
11
a) |
б) |
y′ |
II |
1,5a |
1,33a |
2,33a
C
y |
y |
1
н.о. α
2 |
2 |
I
0,833a x |
x |
Рис.8. Подбор поперечного сечения
Подбор размеров сечения по условию прочности в точке I:
σ |
I = |
N |
+ |
|
My |
|
xI + |
M |
x |
yI ≤ [σ ]+ ; |
|
||||||
|
F |
|
J y |
J x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
− |
|
30 |
|
+ |
|
1,07 |
|
1,67a + |
|
0,19 |
0,5a ≤ 40 |
103. |
|||||
|
5a2 |
|
3,26a4 |
1,3a4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решению этого неравенства удовлетворяет значение a ≥ 0,023м = 2,3см.
Подбор размеров сечения по условию прочности в точке II:
σ II |
= |
|
N |
+ |
My |
|
xII + |
M |
x |
yII ≤ [σ ]− ; |
|||||
|
F |
J y |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J x |
|
||||||
30 |
|
|
+ |
|
|
1,07 |
1,33a + |
|
0,19 |
a ≤ 167 103. |
|||||
5a2 |
|
|
|
3,26a4 |
1,3a4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12
Решению этого неравенства удовлетворяет значение a ≥ 0,016м = 1,6см.
Окончательно принимаем большее из этих значений: а = 2,3 см.
3.3.Построение ядра сечения
Определение абсолютных значений геометрических характеристик сечения:
F = 5 0,0232 = 26,5 10− 4 м2 ; J x = 1,3 0,0234 = |
36,4 10− 8 м4 ; |
|
J y = |
3,26 0,0234 = 91,2 10− 8 м4 ; ix2 = 36,4 10− |
8 / 26.5 10− 4 = 1,37 10− 4 м2 ; |
iy2 = |
91.2 10− 8 / 26,5 10− 4 = 3,44 10− 4 м2 . |
|
Определим положение полюса, соответствующего н.о.1 на рис.9,а. При координатах точек ее пересечения с главными осями аx1 = = 3,84 см и аy1 = ∞ , полюс, соответствующий этой н.о., имеет координаты
xp1 |
= − |
iy2 |
= − |
3,44 |
= − 0,90см; yp1 = − |
i2 |
= |
1,37 |
= 0. |
|
|
|
x |
|
|
||||||
ax1 |
3,84 |
|
|
∞ |
||||||
|
|
|
|
ay1 |
|
|
||||
Результаты вычислений координат полюсов, соответствующих нейтральным осям 1 – 4 (см. рис. 9,а), приведены в таблице, а ядро показано на рис.9,б.
Значения координат вершин ядра сечения
№ н.о. |
ax |
ay |
xp |
yp |
|
см |
см |
см |
см |
1 |
3,84 |
∞ |
-0,90 |
0 |
2 |
8,44 |
2,41 |
-0,41 |
-0,57 |
3 |
∞ |
2,30 |
0 |
-0,60 |
4 |
-3,08 |
∞ |
1,21 |
0 |
|
|
13 |
a) |
н.о.4 |
б) |
|
|
|
|
|
p.1 |
|
|
p.2 |
|
|
y |
|
|
p.3 |
|
|
p.4 |
|
|
н.о.3 |
н.о.1 |
|
|
x |
н.о.2 |
x |
Рис.9. Нейтральные оси (а) и ядро сечения (б) |
||
|
|
|
3.4. Определение напряжений |
||||||||||
|
Вычисление напряжений выполним в сечении D (N = -30 кН, |
||||||||||||
Mx = 0,25 кН м, My = 0,77 кМ м). |
|
||||||||||||
|
Положение нейтральной оси: |
||||||||||||
ax = |
− |
|
NJ y |
|
= |
− |
− 30 91,2 10− 8 |
= |
0,013м= 1,3cм; |
||||
M y F |
0,77 26,5 10− 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ay = |
− |
|
NJ |
x |
= |
− |
|
− 30 36,4 10− 8 |
|
= |
0,017м= 1,7 см. |
||
|
M x F |
|
0,25 26,5 10− 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14
а) |
б) |
II 
pD 2,5
52,9
1,7
y |
0,8 |
y |
1,3
σ
мПа |
I |
x |
x |
28,3
Рис.10. Эпюра нормальных напряжений (а) и положение полюса (б) в сечении D
|
Нормальные напряжения в опасных точках: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
σ |
I = |
− |
30 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
0,77 |
|
0,0384 + |
0,25 |
|
|
0,0115= |
28,3 103 кПа; |
||||||||||
26,5 10− |
4 |
|
|
91,2 10− 8 |
36,4 10− 8 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
σ |
II = |
− |
30 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
0,77 |
|
|
0,0306 − |
0,25 |
|
|
0,0230 |
= |
− 52,9кПа. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
26,5 10 |
− 8 |
|
91,2 10− 8 |
|
|
36,4 10− |
8 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Координаты полюса при внецентренном приложении сил N (в |
||||||||||||||||||||||||||||||
соответствии с изложенным на стр.5): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
xpD = |
|
|
M y |
= |
− |
0,77 |
= |
− |
0,025м= |
− |
2,5 |
см; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ypD = |
|
|
M x |
|
= |
− |
|
0,25 |
= |
− |
0,008м= |
− |
− 0,8см. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эпюра нормальных напряжений показана на рис.10,а, а положение полюса - на рис.10,б. Последний результат (рис.10,б) показывает хорошую согласованность положений полюса и нейтральной оси – полюс лежит вне ядра сечения, а нейтральная ось пересекает сечение.
15
Рекомендуемая литература
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление ма-
териалов: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 1995. – 560 с.
2. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. по-
собие для техн. вузов / И.Н. Миролюбов, С.А. Енгалычев, Н.Д. Сергиевский и др. – М.: Высш. шк., 1985. – 399 с.
3.Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопро-
тивлению материалов. – Киев: Наукова думка, 1975. – 704 с.
4.Моисеенко В.Д. Растяжение – сжатие: Метод. указания для выполнения расчетно – графических работ. – Кемерово: КузПИ, 1992. – 7 с.
5.Глазков Ю.Ф. Изгиб: Метод. указания для выполнения расчетнографических работ. – Кемерово: КузПИ, 1983. – 15 с.
16
Составитель Юрий Федорович Глазков
Расчет на изгиб со сжатием (растяжением)
Методические указания для выполнения расчетно-графического задания
для всех специальностей
Редактор З. М. Савина
ЛР № 020313 от 23.12.96.
Подписано к печати 10.11.99.
Формат 60 × 80 ⁄ 16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 1,0.
Тираж 100 экз. Заказ Кузбасский государственный технический университет.
650026. Кемерово, ул. Весенняя, 28.
Типография Кузбасского государственного технического университета.
650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4а.