3. Функции и линии регрессии.

    Пусть  и  - две случайные непрерывные величины, находящиеся в корреляционной зависимости. Это значит, что каждому значениюx случайной величины  соответствует вполне определенное распределение вероятностей величины . Плотность распределения величины  при условии, что , называется условной плотностью распределения случайной величины .     Вычислим для данного случая так называемое условное математическое ожидание  величины  при условии, что .Согласно определению математического ожидания непрерывной случайной величины, имеем

[см. формулу (40)]. Каждому возможному значению x случайной величины  соответствует определенное значение условного математического ожидания . Таким образом, мы получаем функцию  переменной x. Эта функция y=f(x)называется функцией регрессии величины  на , а ее график - линией регрессии  на .     Аналогично определяется условное математическое ожидание величины  при условии, что :

где  - условная плотность вероятности случайной величины  при условии, что .     Функция x=g(y) называется функцией регрессии величины  на , а ее график - линией регрессии  на .     Cледует иметь в виду, что функции y=f(x) и x=g(y) не являются обратными по отношению друг к другу.     Если обе функции  и  линейны, то линиями регрессии являются прямые. В этом случае говорят, что случайные величины  и  связаны линейной корреляционной зависимостью. Можно показать, что уравнение прямой регрессии  на имеет следующий вид:

(74)

где  - условное математическое ожидание случайной величины  при . Аналогично записывается уравнение прямой регрессии  на :

(75)

где  - условное математическое ожидание случайной величины  при .     Величины

(76)

называются коэффициентами регрессии соответственно  на  и  на .     Из формул (76) следует, что

(77)

Равенство (77) показывает, что оба коэффициента регрессии имеют одинаковые знаки. Если они положительны (отрицательны), то с возрастанием аргумента возрастают (убывают) соответствующие условные математические ожидания.     Если , то, как следует из уравнений (74) и (75),  и , т.е. в этом случае условные математические ожидания постоянны и равны соответствующим математическим ожиданиям случайных величин  и .     Замечание. Можно доказать, что если система двух случайных величин имеет нормальное распределение, то эти величины находятся в линейной корреляционной зависимости.

4. Анализ линейной корреляции по опытным данным.

    Одной из задач математической статистики является исследование корреляционной зависимости между случайными величинами. Пусть проведено n опытов, в результате которых получены следующие значения системы величин :

(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_i, y_i), ..., (x_n, y_n).

   За приближенные значения , ,  и  принимают их выборочные значения , ,  и  [см. формулы (66) и (67)]:

(78)

(79)

   Выборочными коэффициентами корреляции называют число , определяемое соотношением:

(80)

   Можно показать, что  сходится по вероятности к коэффициенту корреляции .     Заменяя в соотношениях (76) величины ,  и  их выборочными значениями ,  и  [см. формулы (79) и (80)], получим приближенные значения коэффициентов регрессии:

(81)

   Подставляя в уравнения (74) и (75) приближенные значения коэффициентов регрессии и используя соотношения (78) и (81), получим уравнения эмпирических прямых регрессий:

 на :

(82)

 на :

(83)

   При большом числе опытов для упрощения подсчета значений , , ,  и коэффициента корреляции  поступим следующим образом (см. § 9, п. 2, замечание).     Диапазоны изменения наблюдаемых значений случайных величин  и  разобьем соответственно на интервалы

]X₀, X₁[, ]X₁, X₂[, ..., ]X_i-1, X_i[, ..., ]X_k-1, X_k[

и

]Y₀, Y₁[, ]Y₁, Y₂[, ..., ]Y_j-1, Y_j[, ..., ]Y_s-1, Y_s[

Каждое из наблюдаемых значений , попавших в i-й (j-й) интервал, считаем приближенно равным середине этого интервала c_i (d_j). Пусть  () - число значений , попавших в в i-й (j-й) интервал, а x₀ и y₀ - произвольные числа, близкие к серединам диапазонов изменения значений  и . Полагая u_i=c_i-x₀ и v_j=d_j-y₀ и используя формулы (70) и (71), получим:

(84)

где

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции  по формуле (80) сначала запишем выражение  в новых переменных u_i=c_i-x₀ и v_j=d_j-y₀. Обозначим через m_ij число наблюдаемых значений пар , у которых значения  попали в i-й интервал] X_i-1,X_i [, а значения  - в j-й интервал ] Y_j-1,Y_j [. Каждое из этих значений  и  заменим соответствующими серединами c_i и d_jинтервалов ] X_i-1,X_i [ и ] Y_j-1,Y_j [. Тогда

где сумма в правой части равенства распространена на все возможные пары чисел (i,j), причем i пробегает значения от 1 до k, а j - от 1до s. После преобразований в результате получим

Итак, окончательная расчетная формула для выборочного коэффициента корреляции имеет вид

 Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола () сосны и ее высотой () было исследовано 26 сосен. Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22,5 до 28,5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см. Разбивая диапазон изменения высоты сосны на интервалы длиной 1 м, а диапазон изменения диаметра ствола на интервалы длиной 4 см, получим таблицу, приведенную вразделе 9.1. Эта таблица называется корреляционной. В каждой ее клетке стоит число сосен, диаметр ствола и высота которых находится в указанных границах (числа m_ij). При подсчете статистических характеристик примем высоту всех сосен, попавших в данный интервал, равной середине с_i этого интервала, а диаметр ствола - равным середине d_j cоответствующего интервала. Подсчет выборочных средних, дисперсий и коэффициента корреляции производим по формулам (84) и (85). Для подсчета , ,  и  составляем две вспомогательные таблицы, принимая x₀=25 и y₀=34, т.е. u_i=c_i-25 и v_j=d_j-34.

Номер интервала Середина интервала ci высоты 1 23 -2 2 4 -4 8 2 24 -1 4 1 -4 4 3 25 0 6 0 0 0 4 26 1 6 1 6 6 5 27 2 5 4 10 20 6 28 3 3 9 9 27     26   17 65

Номер интервала Середина интервала dj диаметра 1 22 -12 2 144 -24 288 2 26 -8 5 64 -40 320 3 30 -4 5 16 -20 80 4 34 0 3 0 0 0 5 38 4 4 16 16 64 6 42 8 5 64 40 320 7 46 12 2 144 24 288     26   -4 1360

Из первой таблицы для высоты сосны  получаем

Из второй таблицы для диаметра ствола сосны  находим

Для подсчета  составляем новую таблицу. В каждой ее клетке (справа) указано число m_ij сосен, имеющих одни и те же значения u_i а v_j, а слева указано произведение m_iju_iv_j. Последний столбец состоит из суммы всех m_iju_iv_j при постоянном j. Как видно из таблицы 

	ui
vj	-2	-1	0	1	2	3
-12	48 \ 2						48
-8		16 \ 2	0 \ 1	-16 \ 2			0
-4		8 \ 2	0 \ 2		-8 \ 1		0
0			0 \ 2	0 \ 1			0
4			0 \ 1	4 \ 1	16 \ 2		20
8				16 \ 2		72 \ 3	88
12					48 \ 2		48
							204

Используя формулу (85), найдем выборочный коэффициент корреляции:

По формулам (81) находим приближенные значения коэффициентов регрессии:

   По формулам (82) и (83) найдем эмпирические уравнения прямых регрессий.     Уравнение прямой регрессии  на  имеет вид

y-33,85=3,81(x-25,65), или y=3,81x-63,88

   Это уравнение дает зависимость среднего значения диаметра ствола от его длины.     Уравнение прямой регрессии  на  имеет вид

x-25,65=0,15(y-33,85), или x=0,15y+21,57

   Последнее уравнение дает зависимость среднего значения длины ствола от его диаметра.