Практическое занятие №3
Решение задач и по основным теоремам теории вероятностей
1) Студент, выйдя из дома за 30 минут до начала занятий, может
приехать в институт автобусом, троллейбусом или трамваем. Все эти варианты равновозможны. Вероятность приехать на занятия вовремя для этих видов транспорта соответственно равна 0.99, 0.98 и 0.9. Какова вероятность, что студент приедет на учебу вовремя?
Пусть событие А заключается в том, что студент не опоздает на занятия. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:
Н1- студент поехал автобусом; Н2- студент поехал троллейбусом;
Н3- студент поехал трамваем.
Чтобы использовать формулу полной вероятности, необходимо знать вероятности каждой из гипотез и условные вероятности события А для каждой из гипотез.
Так как гипотезы образуют полную группу событий, то суммарная вероятность всех гипотез равна 1.
По условию задачи все гипотезы равновероятны, следовательно
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3.
Условные вероятности события А для каждой из гипотез даны по условию задачи:
Р(А|Н1)=0.99; Р(А|Н2)=0.98; Р(А|Н3)=0.9
Следовательно, по формуле полной вероятности,
P( A) 0.99 13 0.98 13 0.9 13 0.96
2) Перед экзаменом студент с равной вероятностью может спрятать шпаргалку в одно из трех мест: в ботинок, в карман и в рукав. Вероятность вытащить на
экзамене шпаргалку незаметно для преподавателя в первом случае составляет 0.4, во втором – 0.6, в третьем – 0.55. Студент, придя на экзамен, благополучно достал шпаргалку и списал ответ. Какова вероятность, что он достал шпаргалку из ботинка?
Событие А в этой задаче заключается в том, что студент благополучно достал шпаргалку. Это событие произошло в результате опыта.
Оно могло осуществиться только вместе с одной из гипотез: Н1- достал шпаргалку из ботинка;
Н2- достал шпаргалку из кармана; Н3- достал шпаргалку из рукава.
В данной задаче требуется определить вероятность того, что студент достал шпаргалку из ботинка, если известно, что он незаметно списал. Т.е. требуется определить условную вероятность первой гипотезы, при условии, что событие А имело место.
Для этого используем формулу Байеса.
По условию задачи все гипотезы равновероятны, следовательно
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3.
Условные вероятности события А для каждой из гипотез даны по условию задачи:
Р(А|Н1)=0.4; Р(А|Н2)=0.6; Р(А|Н3)=0.55 |
|
||||||
Тогда |
|
0.4 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
P(H1 | A) |
|
|
|
|
3 |
|
0.26 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
||
0.4 |
3 |
0.6 |
3 0.55 |
3 |
|
||
государственные органы, 30 % - банки, 60 % - физические лица. Вероятности не возврата кредита для них соответственно равны 0.01, 0.05, 0.2. Найти вероятность события А – не возврата очередного кредита и вероятность события В - что кредит не возвратил некоторый банк, если известно, что событие А произошлоРешение: Гипотезами. в этой задаче будут:
Н1- кредит взял государственный орган; Н2- кредит взял банк; Н3- кредит взяло физическое лицо.
Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности.
Найдем вероятности гипотез:
Р(Н1)=0.1; Р(Н2)=0.3; Р(Н3)=0.6
Условные вероятности события А для каждой из гипотез даны в задаче:
Р(А|Н1)=0.01; Р(А|Н2)=0.05; Р(А|Н3)=0.2.
Тогда: P( A) 0.1 0.01 0.3 0.05 0.6 0.2 0.136
Вероятность события В - это условная вероятность гипотезы Н2 : Р(Н2/А). Находим ее по формуле Бейеса:
P(H 2 / A) 0.3 0.05 1 0.136 9
4) Известно, если монета упадет орлом, студент идет пить пиво, если монета
упадет решкой – студент идет на свидание с девушкой, если монета встанет на ребро, он пойдет в библиотеку, а если повиснет в воздухе – студент отправится на лекции. Если бы все эти исходы опыта были равновозможными, то какова была бы вероятность, что при пяти бросаниях монеты 1) трижды выпала необходимость идти на лекцию и 2) хотя бы один раз выпала такая необходимость?
В данной задаче проводится серия из 5 независимых опытов, причем вероятность того, что монета повиснет в воздухе в каждом опыте составляет р= 1/4. Тогда вероятность противоположного события
составит q=3/4.
По формуле Бернулли находим вероятность того, что при 5 бросаниях монеты трижды
случится это событие: |
C |
3 |
|
1 |
3 |
|
3 |
|
2 |
P |
5 |
|
|
|
|
|
|
0.09 |
|
3,5 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти вероятность того, что при 5 бросаниях хотя бы один раз монета повиснет в воздухе, перейдем к вероятности противоположного события - монета ни разу не повиснет в воздухе: Р0,5 .
Тогда искомая вероятность будет: Р=1- Р0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность Р0,5 опять найдем по формуле Бернулли: |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
5 |
P |
C |
|
0.24 |
|||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,5 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда вероятность искомого события составит P 1 0.24 0.76
5) В ящике 10 лампочек по15 Вт, 10 – по 25 Вт, 15 – по 60 Вт и 25 – по 100 Вт. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка имеет мощность более 60 Вт, если известно, что число ватт на взятой лампочке – четное.
Решение.
Пусть событие А состоит в том, что лампочка имеет мощность более 60 Вт, а событие В – что число ватт является четным. Но
«более 60 Вт» – это в данном случае |
100 Вт и, значит, Р(АВ) = |
||
25 = 5 , |
|
|
|
60 |
12 |
|
|
а «четное число ватт» – это 60 и 100 Вт, т.е. Р(В) = 40 |
= 2 |
||
|
|
60 |
3 |
|
Искомая вероятность Рв(А) = Р(АВ) = 5 : 2 = 5 . |
||
|
|
Р(В) 12 3 8 |
|
Ответ: 5 . 8
6) За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень.
Решение.
Считаем, что все 5 выстрелов производятся независимо друг от друга. «Успех» означает попадание в мишень при одном выстреле.
Его вероятность p = 0,1. «Неудача» означает выстрел мимо мишени.
Ее вероятность равна q = 1-0,1 = 0,9.
Число k «успехов» отлично от нуля: kЄ {1,2,3,4,5}, n =5, p = 0,1, q = 0,9.
А – событие, заключающееся в том, что при 5 выстрелах будет хотя бы 1 попадание.
Тогда Ā – событие, при котором число «успехов» равно нулю, т.е.стрелок все 5 раз «промазал».
0 |
0 |
5 |
5 |
Р(А) = 1- Р(Ā) = 1- Р5(0) = 1- С5·0,1·0,9 = 1- 0,9 ≈ 1-0,5905 ≈ 0,4095
Ответ: 0,4095.
7) Найти вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза.
Решение.
«Успех» означает выпадение «орла» и его вероятность p = 0,5. «Неудача» означает выпадение «решки» и ее вероятность q = 0,5. Бросания предполагаем независимыми друг от друга.
Это частный случай общей схемы Бернулли, в котором n=9, k = 4, p = 0,5, q = 0,5.
По формуле Бернулли
4 4 9-4 |
9 |
|
|
|
|
Р9(4) = С9(0,5)(0,5) = 9! · (1) = 6·7·8·9 |
· 1 = 7·2·9 |
= 63 ≈ 0,246 |
|||
4!5! |
2 |
1·2·3·4 |
512 |
512 |
256 |
Ответ: 0,246.
8) За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень.
Решение.
Считаем, что все 5 выстрелов производятся независимо друг от друга. «Успех» означает попадание в мишень при одном выстреле.
Его вероятность p = 0,1. «Неудача» означает выстрел мимо мишени.
Ее вероятность равна q = 1-0,1 = 0,9.
Число k «успехов» отлично от нуля: kЄ {1,2,3,4,5}, n =5, p = 0,1, q = 0,9.
А – событие, заключающееся в том, что при 5 выстрелах будет хотя бы 1 попадание.
Тогда Ā – событие, при котором число «успехов» равно нулю, т.е.стрелок все 5 раз «промазал».
0 0 5 5
Р(А) = 1- Р(Ā) = 1- Р5(0) = 1- С5·0,1·0,9 = 1- 0,9 ≈ 1-0,5905 ≈ 0,4095
Ответ: 0,4095.
9) Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?
Решение: Здесь n=8;
m=5; p=0,6;
q=1-0,6=0,4.
Используя формулу (13'), имеем