Федоров Однофотонная вычислителная томография 2008

Простые методы коррекции ослабления излучения основаны на вычислении произведений или суммировании оппозитных проекций. К первому приему относятся коррекция по среднему геометрическому оппозитных проекций, эффективная лишь для случая, когда на линии проецирования находится не более одного источника, и коррекция с помощью гиперболического синуса (sh-коррекция), эффективная при близком к равномерному распределению источника вдоль линии проецирования. Два других известных метода используют не произведение, а сумму оппозитных проекций. При этом подынтегральный множитель в этой сумме, зависящий от µ, заменяется некоторой константой. Различие между методами (коррекция по среднему арифметическому максимального и минимального значений подынтегрального выражения и по его интегральному среднему) заключается в способе выбора этой константы. Дополнительных предположений о распределении источников излучения вдоль линии проецирования во втором приеме не делается. Для краткости рассмотрим лишь коррекцию по среднему геометрическому, а для других методов приведем окончательные формулы.

Коррекция по среднему геометрическому. Пусть на линии проецирования находится только один точечный источник, т.е. f (ζ)= Cδ(ζ − ζ0 ). Тогда в отсутствие поглощающей среды:

p(ξ, θ)µ = 0 = p(− ξ, θ + π)µ = 0 = C ,

а при ее наличии:

p(ξ,θ)µ ≠ 0 = C exp[−µ(L2 −ζ0 )],

p(− ξ, θ + π)µ ≠ 0 = C exp [µ(L1 − ζ0 )].

151

Легко определить, что выражением для скорректированной про-

~(ξ θ)

екции p , , совпадающей с проекцией, полученной в отсутствие

поглощающей среды, является среднее геометрическое значение оппозитных проекций, умноженное на известный множитель:

Существенно, что скорректированная проекция не зависит от позиции точечного источника на линии проецирования.

Коррекция с помощью sh (sh-коррекция). Допустив равно-

мерное распределение источников излучения на линии проецирования, т.е. f (ζ)= C , получим для скорректированной проекции

× p(ξ, θ)p(− ξ, θ + π).

Коррекция по минимуму и максимуму. Определив макси-

мальное и минимальное значения подынтегрального множителя в сумме оппозитных проекций (5.6) и (5.7), получим выражение для

Коррекция по интегральному среднему. Если заменить по-

дынтегральный множитель на его интегральное среднее, получим

Фактически рассмотренные методы коррекция являются геометрическим или арифметическим средним двух измерений, преимущества и недостатки которых были исследованы при спектрометрии излучений человека и ОФЭВТ. Улучшая результаты, эти методы коррекции работают недостаточно эффективно и не решают в целом проблему компенсации поглощения излучения средой,

152

если неизвестен характер распределения источника, т.е. искомая информация. Более хорошие результаты следовало ожидать от итерационных алгоритмов компенсации ослабления излучения в среде.

Метод корректирующей матрицы. Действительно, лучшие ре-

зультаты среди приближенных методов коррекции ослабления излучения в среде, по-видимому, были получены при использовании корректирующей матрицы. Метод корректирующей матрицы базируется на следующем соображении. Рассмотрим точечный источник, находящийся в точке (x0 , y0 ) :

s(x, y) = Cδ(x − x0 ) δ( y − y0 ) .

Перепишем (5.3) для проекции в виде

∞ ∞

p(ξ,θ)= ∫ ∫s(x, y)δ(ξ−xcosθ−ysinθ)e−µ(L2 +xsinθ−ycosθ)dxdy =

−∞−∞

∞ ∞

=∫ ∫Cδ(x −x0)δ(y −y0)δ(ξ−xcosθ−ysinθ)e−µ(L2 +xsinθ−ycosθ)dxdy =

где lθ = L2 + x0 sin θ − y0 cos θ, ξθ = x0 cos θ + y0 sin θ.

Применив к проекциям (5.8) метод фильтрованных обратных проекций для РВТ с фильтром Рамачандрана и Лакшминарайянана, получим

153

Выполнив операцию обратного проецирования, в точке (x0 , y0 ) найдем:

где M – общее количество проекционных лучей, проходящих через точку (x0 , y0 ) .

Использование корректирующей матрицы выглядит следующим образом. Сначала восстанавливается нулевое приближение s0 (x, y) к искомой функции при помощи методов РВТ. Затем с ис-

пользованием элементов корректирующей матрицы находят первое приближение

s1(x, y) = c(x, y) s0 (x, y).

По найденному приближению вычисляют проекционные данные p1(ξ, θ) и определяют их отклонение по формуле

pe1(ξ, θ)= p(ξ, θ)− p1(ξ, θ).

По этому отклонению находят отклонение распределения se1 (ξ, θ), также используя методы РВТ.

154

Второе приближение s2 (ξ, θ) с учетом отклонения se1(ξ, θ) определяется формулой

s2 (x, y) = s1(x, y) + c(x, y) se1(x, y) .

Затем процесс коррекции повторяется. Как показали исследования, такой итерационный процесс сходится очень быстро, за 1 – 2 итерации. Кроме того, применение корректирующей матрицы не только компенсирует ослабление излучения в веществе, но и снижает разброс результатов при плохой статистике измерений. Далее будут рассмотрены точные методы обращения экспоненциального преобразования Радона с учетом сделанных ранее ограничений – пренебрежения геометрическим фактором ослабления излучения и неоднородностью среды.

5.3. Метод фурье-синтеза

Обобщим метод фурье-синтеза, рассмотренный в РВТ, на экспоненциальное преобразование Радона. Запишем выражение для проекции (5.5) в полярных координатах:

−∞ −∞

∞ 2π

=∫ ∫ s(r,ϕ)δ[ξ − r cos(ϕ − θ)]e µr sin (ϕ-θ)rdrdϕ.

0 0

Найдем одномерный фурье-образ P(χ, θ, µ) проекции p(ξ,θ) по

переменной ξ, указывая в явном виде зависимость от коэффициента ослабления µ, так как представляет интерес взаимосвязь

P(χ, θ, µ) и P(χ, θ, µ = 0) :

155

Аналогично

функций:

χ′(χ, θ) = χ1′ (χ, θ) + iχ′2 (χ, θ) ,

θ′(χ, θ) = θ1′ (χ, θ) + iθ′2 (χ, θ),

где χ1′ , χ′2 , θ1′ , θ′2 – вещественныефункциивещественныхаргументов.

При этом достаточно найти хотя бы один набор таких функций. Равенство (5.9) выполняется, если

µr sin(ϕ − θ′) − iχ′r cos(ϕ − θ′) = − iχr cos(ϕ − θ),

или

µr sin[ϕ − (θ1′ + iθ′2 )] −i(χ1′ + iχ′2 )r cos[ϕ − (θ1′ + iθ′2 )] = −iχr cos(ϕ − θ).

С использованием известных соотношений

sin(θ1 + iθ2 ) = sinθ1chθ2 + i cos θ1shθ2 , cos(θ1 + iθ2 ) = cos θ1chθ2 − i sin θ1shθ2

разделим действительную и мнимую части:

µsin(ϕ − θ1′)chθ′2 + χ′2 cos(ϕ − θ1′)chθ′2 + χ1′sin(ϕ − θ1′)shθ′2 = 0,

−µcos(ϕ − θ1′)shθ′2 + χ′2 sin(ϕ − θ1′)shθ′2 − χ1′ cos(ϕ − θ1′)chθ′2 =

=−χcos(ϕ − θ).

Из первого равенства получим

( µchθ′2 + χ1′shθ′2 ) sin(ϕ − θ1′ ) = ( − χ′2chθ′2 ) cos(ϕ − θ1′ ) .

156

Так как ϕ может быть произвольным, для выполнения этого равенства необходимо выполнение условий:

χ′2chθ′2 = 0,

χ1′shθ′2 + µchθ′2 = 0.

Следовательно, χ′2 = 0 и µ = − χ1′shθ′2 chθ′2 . Из второго равен-

ства следует

− χ1′ cos(ϕ − θ1′) = − χcos(ϕ − θ)chθ′2 .

Чтобы исключить из последнего соотношения ϕ, котороеможет быть

Соотношение (5.10) является основным функциональным уравнением в методе фурье-синтеза для ОФЭВТ. Далее с использованием соотношений, полученных в методе фурье-синтеза для РВТ, можно записать

В результате, метод фурье-синтеза после соответствующей модификации позволяет обратить экспоненциальное преобразование Радона. При реализации этого метода некоторое затруднение может вызвать получение значений P(χ, θ,µ) при комплексных зна-

чениях аргумента θ , которое может быть преодолено следующим образом. Рассмотрим аналитическую функцию Φ(θ) = P(χ,θ,µ)

157

при фиксированных значениях χ и µ. Так как Φ(θ) – периодическая функция с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье:

Тогда при комплексных значениях θ = θ1 + iθ2

Необходимо отметить, что при суммировании встретятся слагаемые с большими значениями первого экспоненциального множителя (при k > 0 ), что может привести к большим вычислительным погрешностям. Однако физическая природа проекций помогает решить эту проблему. Так как в отсутствие ослабления излучения справедливо равенство

P(ξ,θ) = P(−ξ,θ + π) ,

можно записать

P(χ,θ,µ = 0) = P(−χ,θ + π,µ = 0) = P (χ,θ + π,µ = 0) .

(* – знак комплексного сопряжения).

Далее

158

Из сравнения полученных выражений следует вывод, что

= q0 + ∑∞ (−1)k q*-k e−k arsh(µ ρ)eikψ + ∑∞ q−k e−k arsh(µ ρ)e−ikψ =

Теперь ряд может быть просуммирован без больших вычислительных погрешностей.

5.4. Метод фильтрованных обратных проекций

Рассмотрим метод фильтрованных обратных проекций (метод одномерной фильтрации) для экспоненциального преобразования Радона. Запишем выражение для отфильтрованной проекции f (ξ, θ) в следующем виде:

В этом выражении одномерная функция ядра свертки h1µ (ξ) по-

ка неизвестна и подлежит определению. На втором шаге, как и при обращении преобразования Радона, необходимо выполнить операцию обратного проецирования.

159

Модифицируем определение обратной проекции таким образом, чтобы в определенной мере скомпенсировать ослабление излучения в среде. Для этого умножим обратную проекцию на экспоненциальный множитель:

b(x,y,θ)= f (x cosθ + ysin θ,θ)e−µ(−xsin θ + y cos θ) .

Подставив в (5.12) выражения для проекции и обратной проекции, получим

×exp[−µ(−(x − x0 )sin θ +(y − y0 )cos θ)] dθ,

т.е. должно выполняться соотношение

160