Федоров Однофотонная вычислителная томография 2008
.pdfрошим», удобным в практическом применении и исследованным относятся многопинхольные коллиматоры, построенные на основе псевдослучайных и расширенных псевдослучайных таблиц.
4.6.2. Периодические (0, 1)-псевдослучайные последовательности и таблицы
и кодирующие устройства на их основе
Псевдослучайная последовательность из 1 и 0 может быть определена как строка (v,k,λ)-матрицы-циркулянта, которой называет-
ˆ
ся квадратная (0, 1)-матрица A порядка v, удовлетворяющая условию
ˆ ˆ т |
ˆ |
ˆ |
(4.6) |
AA |
= (k − λ)I |
+ λJ , |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
где т – знак транспонирования матрицы; I и |
J – квадратные мат- |
||
рицы порядка v: единичная диагональная и матрица из единиц. |
|||
Из (4.6) следует, что k |
и λ – целые числа, причем k равно ко- |
||
личеству единиц, а (v − k) |
– количеству нулей в каждой строке и в |
||
каждом столбце (v, k,λ) -матрицы. Необходимым условием существования (v, k,λ) -матрицы является выполнение соотношения
|
λ = k(k −1) /(v −1) . |
(4.7) |
|||||
Обратная (декодирующая) матрица имеет простой вид |
|
||||||
ˆ −1 |
= k |
−1 |
(k − λ) |
−1 |
ˆ т |
ˆ |
(4.8) |
A |
|
|
(kA |
− λJ ) . |
|||
Заметим также, что (0, 1)-матрицы-циркулянты с одной единицей или (v −1) единицами в каждой строке могут быть отнесены к
вырожденным (v, k, λ) -матрицам.
Первая матрица – единичная диагональная матрица Iˆ , которая одновременно является вырожденной (v,1,0)-матрицей- циркулянтом. Такая матрица описывает традиционный эксперимент, например, с гамма-камерой, снабженной однопинхольным коллиматором.
131
ˆ |
ˆ |
), которая также является |
Вторая матрица − это матрица ( J |
− I |
вырожденной (v,v −1,v − 2) -матрицей-циркулянтом. Она описыва-
ет кодирующее устройство, в котором все каналы, кроме одного, открыты.
Ассоциированной с любой (v, k, λ) -матрицей является инверсная матрица, в которой единицы заменены нулями, а нули – едини-
цами. |
Для получившейся |
после такой |
|
простой |
процедуры |
||||
′ ′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(v , k , λ ) -матрицы сохраняются все свойства первоначальной мат- |
|||||||||
рицы. |
Параметрами новой |
матрицы |
будут |
′ |
k |
′ |
= v − k |
и |
|
v = v |
|
||||||||
λ′ = (v − k)(v − k −1) /(v −1) . |
Поэтому |
для |
определения ПСП |
с |
|||||
k > v
2 достаточно знать ПСП с k < v
2 . Большинство известных
ПСП объединены в семейства, классификация которых приведена в рекомендуемой литературе.
Для построения кодирующего устройства достаточно определить соответствующую матрицу, являющуюся матрицей плана эксперимента. Если выбрана, например, (v, k,λ) -матрица-циркулянт,
то любая ее строка или столбец описывает функцию пропускания одномерного КУ.
Двумерное кодирующее устройство строится по тому же принципу, но на основе псевдослучайной таблицы (ПСТ).
Известны два способа (построчный и диагональный) преобразования одномерной псевдослучайной последовательности длиной v = m ×n в двумерную псевдослучайную таблицу размерности m ×n , образующую базовую часть коллиматора, и два вида соответствующих им мозаик (рис. 4.17).
Аналогично могут быть построены ПСТ размерности n × m . Примеры мозаичных устройств (например, коллиматоров) приведены на рис. 4.18.
Проиллюстрируем целесообразность использования удвоенных псевдослучайных последовательностей для одномерного сканирования и практически учетверенных мозаичных псевдослучайных таблиц для двумерного сканирования объекта.
Для исключения потери информации результат любого измерения должен отвечать одной из полных срок (v, k,λ) -матрицы-
циркулянта. Это может быть реализовано при пространственной модуляции излучения двумя способами (рис. 4.19).
132
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
а
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
б
1 |
7 |
13 |
4 |
10 |
11 |
2 |
8 |
14 |
5 |
6 |
12 |
3 |
9 |
15 |
в
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
13 |
4 |
10 |
|
1 |
7 |
13 |
4 |
11 |
2 |
8 |
14 |
5 |
|
11 |
2 |
8 |
14 |
6 |
12 |
3 |
9 |
15 |
|
6 |
12 |
3 |
9 |
1 |
7 |
13 |
4 |
10 |
|
1 |
7 |
13 |
4 |
11 |
2 |
8 |
14 |
5 |
|
11 |
2 |
8 |
14 |
д
Рис. 4.17. Построение ПСТ размерности m × n и соответствующих мозаик размерности (2m −1) × (2n −1) из ПСП длиной m × n (построение выполнено для
m × n = 5 × 3 = 15): а– исходнаяПСП; б– построчнаяПСТ(ПСТ-П); в– диагональная ПСТ (ПСТ-Д); г – мозаичная ПСТ-П; д – мозаичная ПСТ-Д
В первой схеме измерений при фиксированном поле изображения необходимо применять базовый коллиматор и ПЧД с линейными размерами, практически вдвое превышающими его размеры при использовании традиционных коллиматоров.
Во второй схеме применяют мозаичный КК, линейные размеры которого вдвое больше размеров базового коллиматора.
Обе схемы измерений предотвращают потерю информации для источников, расположенных не в центре поля изображения установки (например, гамма-камеры).
133
а б Рис. 4.18. Расположение открытых и закрытых ячеек мозаичных кодирующих
устройств размерности 17×19, построенных на основе ПСТ-П (а) и ПСТ-Д (б)
Таким |
образом, они обеспечивают реализацию цикличности |
|
матрицы |
ˆ |
и, следовательно, возможность простого декодирова- |
A |
||
ния результатов измерений. |
||
|
|
Рис. 4.19. Две схемы измерений при |
|
|
пространственной модуляции излучения: |
|
|
а – с ПЧД большой площади и |
|
|
коллиматором на основе ПСТ раз- |
|
|
мерности m ×n ; |
|
|
б – с ПЧД обычного размера и |
|
|
мозаичным коллиматором на основе ПСТ |
|
|
размерности (2m −1) ×(2n −1) . |
|
|
Обозначения: 1 – источник излучения, |
|
|
2 – КК, 3 – проекция КК на детектор, |
|
|
4 – ПЧД |
а) |
|
б) |
В первом способе необходимо в процессе декодирования просуммировать по определенному алгоритму данные в дополнительных ячейках ПЧД с данными в ячейках ПЧД, соответствующих центральной проекционной геометрии. Во втором способе восстановление цикличности происходит автоматически уже в процессе формирования изображения на детекторе. Поэтому второй способ предпочтительнее, так как стоимость ПЧД существенно возрастает с увеличением его размеров и сама возможность изготовления не-
134
которых типов ПЧД большой площади, необходимой для визуализации крупных объектов, проблематична. Кроме того, не нужны дополнительные вычисления, связанные с дополнительными ячейками детектора, а увеличение стоимости мозаичного коллиматора по сравнению со стоимостью базового практически не скажется на стоимости установки в целом.
4.6.3. Метод фокусных плоскостей
Рассмотрим матричный способ представления результатов измерений и их декодирования для ИКСИ, приведенной на рис. 4.16. Так как такая схема измерений – томографическая, введем понятие фокусной плоскости и осуществим дискретизацию. Пусть ПЧД состоит из набора m × n квадратных элементарных ячеек со стороной D , базовая часть кодирующего коллиматора представляет собой набор m × n квадратных ячеек со стороной d и источник в фокусной плоскости содержит m × n элементарных ячеек со стороной ∆.
Для фокусной плоскости при идеализированных условиях измерений (практически точечный пинхол в элементе (пикселе) КК или точечный источник в пикселе плоскости исследуемого объекта) должны выполняться следующие соотношения:
f = LD
(D − d ); ∆ = dD
(D − d ) , (4.9)
где f – расстояние от плоского источника или от фокусной плос-
кости объемного источника до детектора (фокусное расстояние) и L – расстояние от коллиматора до детектора.
Соотношения (4.9) отражают, например, условие точного проецирования любым пинхолом конечных размеров точечного источника, расположенного в центре пиксела фокусной плоскости, в элемент ПЧД. При этом точечные источники, находящиеся в соседних пикселах плоскости фокуса, проецируются в соседние элементы (ячейки) ПЧД.
Продолжив дискретизацию, представим трехмерное распределение источника излучения набором из M условных плоскостей с двумерным распределением. Присвоив каждой плоскости определенный порядковый номер i (i =1,2,..., M ), определим для i-й фо-
кусной плоскости дискретный аналог соотношения (4.2):
135
r(i) |
ˆ |
(i) |
, |
(4.10) |
ψ f |
= Aξ |
|
||
где ξ(i) = (ξ(ji ) , j =1,2,..,v) |
– дискретный аналог распределения ис- |
|||
точников излучения в фокусной плоскости; ψr(fi) = (ψ(fji) , j=1,2,...,v) – вектор измерений, учитывающий только излучение от фокусной
плоскости; |
ˆ |
′ |
– матрица плана, элементы кото- |
A = (a jj′, j, j =1,2,...,v) |
|||
рой a jj′ описывают число импульсов, зарегистрированное j -м
пикселом детектора от излучения j′ -го пиксела источника.
Для рассматриваемых идеализированных схем измерений эле-
менты матрицы ˆ могут принимать значения +1 и 0. Соотноше-
A
ние, заменяющее (4.4), можно записать в виде
|
|
~r |
(i) |
ˆ |
−1 r(i) |
, |
(4.11) |
|
|
ξ |
|
= A |
ψ f |
||
ˆ |
−1 |
|
|
|
|
ˆ |
|
где A |
|
– матрица, обратная матрице A . |
|
||||
Для плоского источника, расположенного в плоскости фокуса, при идеализированных условиях измерений (4.11) даст точное решение для дискретной версии изображения, а для объемного объекта на изображение в плоскости фокуса дадут вклад нефокусные плоскости.
При исследовании трехмерного объекта методом фокусных плоскостей производится M измерений, в каждом из которых в фокусе последовательно находится одна из плоскостей, параллельных плоскости детектора, на которые условно разбивается объект, т.е. последний сканируется в направлении, перпендикулярном плоскости детектора. Осуществив M последовательных перемещений измерительной системы относительно объекта или объекта относительно измерительной системы, получим M двумерных результатов измерений для выбранных плоскостей объекта. При малом шаге сканирования можно говорить об информационной достаточности измерений (равенстве числа неизвестных и экспериментальных данных). Так как при каждом измерении на его результат влияют излучения не только фокусной плоскости, но и всех нефокусных плоскостей, система уравнений, описывающая МФП, примет более сложный вид:
136
ψr(i) = ˆξr(i)
A
M ˆ |
(ii′)r |
(i′) |
, i =1,2,..., M . |
(4.12) |
+ ∑B |
ξ |
|
i′=1 i′≠i
r |
|
– вектор измерений, учитывающий |
|||||||
Здесь (ψ(i) )Т = (ψ(i) ,ψ(i) ,...,ψ(i) ) |
|||||||||
1 2 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
излучение от всех плоскостей; |
ˆ (ii′) |
= |
|
|
|
(ii′) |
|
– матрица, опреде- |
|
|
|
|
|||||||
B |
|
|
|
b jj′ |
|
||||
ляющая вклад i′-й нефокусной плоскости в i-е измерение, причем |
|||||||||
элементы этой матрицы определяются чисто геометрически из ис-
ˆ |
j, j′ =1, 2, ..., v . |
|
ходной матрицы A ; |
|
|
|
~r |
(i) ка- |
В соответствии с МФП томографические изображения ξ |
||
ждой фокусной плоскости получают, используя (4.11), умножением
ˆ |
−1 |
, аналитический вид кото- |
результатов измерений на матрицу A |
|
|
рой известен. |
|
|
Метод фокусных плоскостей позволяет улучшить сфокусированные изображения решением системы уравнений (4.12), что является следствием большей информативности полученных экспериментальных данных. Другое достоинство МФП – пространственное выравнивание масштаба по всем фокусным плоскостям, на которые разбивается трехмерное распределение, и простота использования мозаичного коллиматора.
4.6.4. Аппаратная функция ИКСИ
Аппаратная функция позволяет определить основные параметры томографа и сравнивать их, например, в зависимости от типа, размерности и других параметров используемых коллиматоров. Определим аппаратную функцию (АФ) ε(x, y, z, x0 , y0 , z0 ) как получен-
ное по формуле (4.5) изображение точечного источника, располо-
женного в точке (x0 , y0 , z0 ) . |
|
Для заданного пространственного |
распределения источников |
f (x, y, z) = δ(x − x0 ) δ( y − y0 ) δ(z − z0 ) |
получим |
137
ε(x, y, z, x0 , y0 , z0 ) |
= |
|
|
1 |
|
(z −L)2 |
∫∫ |
|
|
|
exp[i(ux +vy)] |
× |
||||||||||
|
4π2 |
|
(z0 −L)2 |
|
|
|
z |
−L |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp i(ux0 +vy0 ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 −L |
|
|||
|
|
|
|
|
z |
0 |
(z −L) |
z |
0 |
(z −L) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
H |
−u |
|
L(z0 −L),−v |
L(z0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
−L) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dudv. |
|
(4.13) |
||
|
|
|
H(−uz / L,−vz / L) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Так как в плоскости z ≠ z0 истинное изображение точечного источника, расположенного в плоскости z = z0 , равно тождественно
нулю, достаточно рассмотреть максимальное отклонение АФ от нуля:
ε1(z, x0 , y0 |
, z0 )= max { |
|
ε(x, y, z0 , x0 , y0 , z0 ) |
|
}. |
(4.14) |
|
|
|||||
|
x,y |
|
|
|
|
|
Целесообразно найти дискретное представление АФ в МФП и
более детально исследовать ее свойства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть точечный источник располагается в i0 -й плоскости в |
|
j0 -й |
|||||||||||||||||||||||||||||
точке: ξr(i) = δ |
ii |
ξr |
|
(i,i |
0 |
=1,2,..., M ) , ξ(i) |
= ((ξ |
J |
|
) ,(ξ |
J |
|
|
) |
2 |
,...,(ξ |
J |
|
) |
v |
) и |
||||||||||
|
|
|
|
j |
0 |
|
|
|
|
|
J |
0 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ξj0 = δjj0 |
( j =1,2,...,v) , |
где δij |
– символ Кронекера. Тогда для ре- |
||||||||||||||||||||||||||||
зультатов измерений можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
r(i) |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
(ii0 ) |
] |
ξj0 |
, i =1,2,..., M , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ψ |
|
|
|
=[δii0 A |
+(1 − δii0 )B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а для восстановленного изображения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
~r(i) |
= A |
−1 r |
(i) |
|
|
r |
|
|
|
ˆ |
−1 ˆ |
(ii0 )r |
|
|
, |
i =1,2,..., M . |
|
|
|
|
|||||||||||
ξ |
|
ψ |
|
= δii0 ξj0 + (1 |
− δii0 )A |
|
B |
ξj0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
По определению дискретное представление АФ есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
δjj0 |
|
|
|
|
v |
|
|
− |
(ii |
|
) |
, |
|
(4.15) |
|||||||
|
ε(j,i, j0,i0 )= ξ(ji) = δii0 |
+(1−δii0 )∑a jj1′bj′j00 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j′=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i,i0 =1,2,...,M ; |
j, j0 =1,2,...,v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
138
Индексы j и j0 задают двумерные координаты элементарной
ячейки в плоскости восстановленного изображения и исходного источника соответственно.
Так как фокусное расстояние при измерениях в методе фокусных плоскостей остается неизменным, аппаратная функция ε(j,i, j0 ,i0 ) будет зависеть только от разности (i − i0 ) . Приняв, что
сканирование в перпендикулярном к плоскости детектора направлении происходит с одинаковым шагом h , можно записать
ε(j,i, j0 ,i0 )= ε(j, j0 , ∆z), |
(4.16) |
где ∆z = h(i −i0 ) – расстояние между плоскостью восстановленного изображения и плоскостью исходного источника.
Так как в плоскости i ≠ i0 истинное изображение точечного источника, расположенного в плоскости i = i0 , равно тождественно ну-
лю, достаточно рассматривать максимальное отклонение аппаратной функцииот нуля:
ε1(j0 |
, ∆z)= max{ |
ε(j, j0 , ∆z) |
|
}. |
(4.17) |
|
|||||
|
j |
|
|
|
|
Томографические качества ИКСИ для произвольного расположения точечного источника можно характеризовать с помощью верхней и нижней границ аппаратных функций:
ε1(в) (∆z)= max{ε1 ( j0 , ∆z)};
j0
ε1(н) (∆z)= min{ε1 ( j0 , ∆z)}.
j0
Средняя (усредненная) аппаратная функция равна
v
ε1(ср)(∆z)= (1
v)∑ε1 (j0 , ∆z).
j0 =1
(4.18)
(4.19)
Приведенные выражения для АФ соответствуют идеальным условиям измерений: точечному источнику, находящемуся в центре
139
пиксела, и пинхолу, занимающему всю элементарную ячейку коллиматора.
Аппаратные функции ИКСИ практически невозможно рассчитать аналитически, поэтому они были исследованы компьютерным моделированием. При этом определялся вклад в плоскость фокуса каждого из точечных источников в отдельности, расположенных в центрах условных пикселов плоскостей объекта, представляющего собой параллелепипед с размерами mD × Dn × s , где s – высота (толщина) объекта. При расчетах приведенных результатов полагали: сторона ячейки детектора D = 8 мм, коллиматора d = 4 мм, расстояние между коллиматором и детектором L = 20 см, фокусное расстояние f = 40 см. Таким образом, фокусная плоскость располагалась на расстоянии 20 см от коллиматора, и толщина s объекта не могла превысить 20 см. Чтобы получить результаты для других идеализированных условий измерений, достаточно выполнить масштабный пересчет в соответствии с основными соотношениями МФП. Примеры АФ приведены на рис. 4.20 и 4.21.
Фокусирующие свойства ИКСИ во многом определяются такими параметрами как глубинное разрешение δz , равное ширине АФ на половине высоты около плоскости фокуса, и максимальная амплитуда ложных пиков tz , вычисляемая как отношение максимального значения АФ в области ложных пиков к ее значению при ∆z = 0 . Параметр tz характеризует максимальное влияние нефокусных плоскостей на изображение в плоскости фокуса. Параметры δz и tz рассчитывали отдельно для верхних и нижних границ и
средних аппаратных функций ИКСИ (соответственно δ(zв) , tz(в) ,
δ(zн) , tz(н) , δ(zср) , tz(ср) ).
Инверсные таблицы дают АФ, совпадающие с АФ для основных таблиц, несмотря на то, что количество открытых пинхолов, или среднее пропускание коллиматоров могут сильно отличаться.
Результаты модельных расчетов показывают, что формула
δ(zt) 4dDL /[(D − d )2 (m + n)] |
(4.20) |
хорошо описывает глубинное разрешение δ(zср) , определенное по усредненной АФ (рис. 4.22).
140