§6. Алгебра матриц
Материал этого раздела особенно полезен тем, кто хочет хорошо освоить дисциплину «Алгебра и геометрия» и успешно сдать экзамен.
6.1. Транспонирование матриц
Для транспонирования матрицы нужно ввести какой-либо идентификатор, затем ввести оператор присваивания и в появившийся слот ввести идентификатор транспонируемой матрицы. Этот идентификатор окажется охваченным синим контуром. Не снимая контур, нажмите клавиши <Ctrl>+<1>. Введется символ транспонирования (рис. 2.19). Просмотрите результат: строки и столбцы поменяются местами.
Транспонирование изучено.
2
A= 5
1
C := AT
4 |
5 |
6 |
|
Исходная матрица. |
|
7 |
8 |
9 |
|
Число строк |
=3, |
|
число столбцов |
=4 |
|||
−7 |
6.8 |
9.3 |
|
|
|
Операция транспонирования
(клавиши <Ctrl>+<1>)
|
2 |
5 |
1 |
|
Транспонированная матрица. |
|
|
4 |
7 |
−7 |
|||
C = |
Число строк |
=4, |
||||
|
|
|
|
число столбцов |
=3 |
|
|
5 |
8 |
6.8 |
|
|
|
|
6 |
9 |
9.3 |
|
|
|
Рис. 2.19. Транспонирование матрицы.
6.2. Умножение матрицы на скаляр
Согласно аксиомам алгебры матриц умножение на скаляр состоит в том, что на него умножается каждый элемент матрицы. Например, введите операцию умножения на скаляр как на параметр (рис. 2.20). Затем выведите идентификатор матрицы-произведения с каким-либо значением параметра. Вы увидите результат умножения.
Умножение на скаляр изучено.
39
2 |
4 |
5 |
6 |
|
|
Исходная |
A = 5 |
7 |
8 |
9 |
|
|
матрица-сомножитель |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−7 |
6.8 9.3 |
|
|
||
Ввод операции умножения на скаляр D(α) := α A |
||||||
|
20 |
40 |
50 |
60 |
Результат умножения |
|
D(10) = |
|
|
|
|
|
матрицы на скаляр 10 |
50 |
70 |
80 |
90 |
|||
|
10 |
−70 |
68 |
93 |
|
|
Рис. 2.20. Умножение матрицы на скаляр.
6.3. Операции умножения матриц
Запомните общее простое правило проверки размерностей мат-
риц, при которых умножение возможно.
Подпишите размерности под матрицами и проследите, чтобы внут-
ренние цифры были одинаковыми Внешние цифры дадут размерность результата (рис. 2.21).
Рис. 2.21. Правило размерностей для умножения матриц.
6.3.1. Умножение матрицы на вектор справа и слева. Согласно правилам матричной алгебры возможно умножение матрицы на вектор справа. В результате получится вектор, содержащий столько же строк, сколько исходная матрица. Умножение возможно только тогда, когда число столбцов матрицы-сомножителя точно совпадает с числом элементов вектора (при попытке умножить матрицы, не согласованные по размерности, выведется сообщение об ошибке – такое же, как показано на рис. 2.17).
40
Для умножения матрицы на вектор слева его нужно предварительно транспонировать. Результат умножения – строка с таким же числом элементов, сколько столбцов у исходной матрицы. Умножение слева возможно только тогда, когда число элементов вектора точно совпадает с числом строк матрицы-сомножителя. Сделайте упражнение, показанное на рис. 2.22.
Умножение матрицы на вектор изучено.
Умножение матрицы на вектор справа. |
|
|
2 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
||
Сомножители: матрица А и вектор В. |
A := |
|
5 |
7 |
8 |
9 |
|
B := |
|
−1 |
|
Размерности согласованы: |
|
|
|
1 |
|||||||
число столбцов А = числу элементов В = 4 |
|
|
1 |
−7 |
6.8 |
9.3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
Формула произведения матриц: F := A B |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Результат: произведения |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
матрицы на вектор есть вектор |
F = |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Попытка умножить матрицу на вектор слева. |
|
5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F1 := BT A |
|
|
|
|
|||||
Несогласованность размерностей: число элементов |
|
|
|
|
|
||||||
вектора НЕ равночислу строк матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сообщение об ошибке. |
|
|
|
|
|
The number of rows and/or column |
|||||
|
|
|
|
|
in these array do not match |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Умножение слева с согласованными размерностями: G := BT AT
Результат умножения - строка: |
G = ( −3 −3 5.5) |
Рис. 2.22. Умножение матрицы на вектор справа и слева.
6.3.2.Умножение вектора на вектор (частный случай п. 6.3.1).
Размерности векторов могут не совпадать. Второй вектор-сомножитель должен транспонироваться. Результат умножения – матрица, число ее строк равно числу элементов первого вектора-сомножителя, а число столбцов – числу элементов второго вектора-сомножителя. Сделайте упражнение, показанное на рис. 2.23.
Умножение вектора на вектор изучено.
6.3.3.Скалярное произведение векторов. Операция может быть вы-
полнена только с векторами одинаковой размерности. Первый векторсомножитель нужно транспонировать. Результат умножения – скаляр. Важное замечание: Mathcad выводит результат не в форме числа, а в
форме матрицы размерности 1×1. При некоторых вычислениях нужно указывать номер элементаэтой«матрицы». Сделайте упражнение порис. 2.23.
Скалярное произведение изучено.
41
Неудачная попытка умножить матрицу на скаляр (особенности Mathcad: скалярное произведение трактуется как матрица, поэтому Mathcad считает что не соблюдается
правило размерностей)
Так нужно «обмануть» Mathcad: указать номер элемента «матрицы» - скалярного произведения (индекс вводится скобкой [ )
Рис. 2.23. Умножение вектора на вектор. Скалярное произведение векторов.
6.3.4. Умножение матриц совершается аналогично умножению матрицы на вектор (п. 6.3.1). Важнейшее требование – соблюдение правила размерностей матриц-сомножителей. При работе со сложными формулами не поленитесь подписать размерности под матрицами, как показано на рис. 2.21: это спасет Вас от многих ошибок.
Упражнение – в разделе 6.6.
Умножение матриц изучено.
6.4. Сложение матриц
Сложение матриц может быть выполнено только с матрицами одинаковой размерности. При нашей работе с Mathcad выявилась ошибка, допущенная его авторами: Mathcad считает возможной операцию сложения матрицы со скаляром (прибавляет этот скаляр к каждому элементу матрицы). Такая операция в алгебре матриц запрещена.
Упражнение – в разделе 6.6.
Сложение матриц изучено.
42