Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "МИФИ"

М.В. Медведева

Основы теории множеств и теории отображений

Рекомендовано УМО "Ядерные физика и технологии" в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Если A – произвольное множество элементов, то утверждение "элемент a принадлежит множеству A" принято записывать так: a 2 A. Если элемент a не принадлежит множеству A, то записывают a 62A. Если все элементы множества A принадлежат и множеству B, то говорят, что A является подмножеством множества B, и пишут A B. Если все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A, то говорят, что множества A и B равны, и пишут A=B. Итак, A=B тогда и только тогда, когда A B и B A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ;. Пустое множество является подмножеством любого множества A.

Определение 1.1. Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B. Записывают C = A [ B.

Замечание. Если x 2 A[B, то часто говорят: "элемент x принадлежит множеству A или множеству B". При этом в данном выражении допускается, что x принадлежит и множеству A и множеству B.

Определение 1.2. Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B. Записывают C = A \ B.

Если пересечение множеств A и B пустое, то есть A \ B = ;, тогда говорят, что множества A и B не пересекаются.

Из этих определений непосредственно следует, что операции объединения и пересечения множеств коммутативны и ассоциативны, то есть

A [ B = B [ A;

A \ B = B \ A;

(A [ B) [ C = A [ (B [ C);

4

(A \ B) \ C = A \ (B \ C):

Докажем не столь очевидные свойства этих операций.

Утверждение 1.1. Для любых множеств A и B выполняются

Доказательство. Докажем равенство (1). Если x 2 (A [ B) \ C, то по определению пересечения двух множеств получим x 2 (A [ B) и x 2 C. Отсюда следует, что элемент x принадлежит хотя бы одному из множеств A или B и при этом x принадлежит множеству C. Поэтому x принадлежит хотя бы одному из множеств A \C или B \C. Отсюда следует x 2 (A\C)[(B\C). Итак, получили, что множество (A[B)\C является подмножеством множества (A \ C) [ (B \ C).

Пусть теперь x 2 (A \ C) [ (B \ C). Это означает, что элемент x принадлежит хотя бы одному из множеств A \ C или B \ C. Следовательно, x принадлежит множеству C и при этом x 2 A или x 2 B. Значит, x 2 C и x 2 A [ B, то есть x 2 (A [ B) \ C. Итак, теперь получили, что множество (A \ C) [ (B \ C) является подмножеством множества (A [ B) \ C. Тогда (A \ C) [ (B \ C) = (A [ B) \ C.

Докажем равенство (2). Если x 2 (A \ B) [ C, то по определению объединения двух множеств получим x 2 A \ B или x 2 C. Отсюда следует, что или элемент x принадлежит и множеству A и множеству B, или x принадлежит множеству C. Поэтому x принадлежит хотя бы одному из множеств A или C и при этом принадлежит хотя бы одному из множеств B или C , то есть x 2 A [ C и x 2 B [ C. Значит, x 2 (A [ C) \ (B [ C). Итак, получили, что множество (A \ B) [ C является подмножеством множества (A [ C) \ (B [ C).

Пусть теперь x 2 (A [ C) \ (B [ C). Это означает, что элемент x принадлежит и множеству A [ C и множеству B [ C. Следовательно, x принадлежит или множеству C или множеству A и при этом принадлежит или множеству C или множеству B. Если x – элемент множества C, то по определению объединения двух множеств получим, что x 2 (A \B) [C. Если же x не является элементом множества C, то тогда x принадлежит множеству A и при этом множеству B, то есть x 2 A \ B, а значит, x 2 (A \ B) [ C. Итак, теперь получили, что множество (A [ C) \ (B [ C) является подмножеством множества

(A \ B) [ C. Поэтому (A [ C) \ (B [ C) = (A \ B) [ C. Утверждение доказано.

5

Определение 1.3. Разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B. Записывают C = AnB.

Разность множеств AnB, вообще говоря, не совпадает с разностью BnA. Например, для A = [0; 2] и B = [1; 3] множество AnB = [0; 1), а BnA = (2; 3], и потому AnB 6= BnA.

Определение 1.4. Если B является подмножеством A, то разность AnB называется дополнением множества B до множества A или просто дополнением множества B.

Заметим, что если B A, то A = (AnB) [ B.

Рис. 1.3

Определение 1.5. Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение множеств AnB и BnA. Записывают

A4B = (AnB) [ (BnA).

Утверждение 1.2. Для любых множеств A и B выполняется равенство A4B = (A[B)n(A\B), то есть множество A4B является дополнением множества A \ B до множества A [ B.

Доказательство. Пусть x 2 A4B. Если при этом x 2 AnB, то получим x 2 A, x 62B. Из определений объединения и пересечения множеств следует, что тогда x 2 A [ B, x 62A \ B. Поэтому x 2 (A [ B)n(A \ B). Если же x 62AnB, то тогда x 2 BnA, так как x 2 A4B = = (AnB) [ (BnA). Значит, x 2 B, x 62A. Отсюда получим x 2 A [ B, x 62A \ B, то есть x 2 (A [ B)n(A \ B). Это означает, что множество A4B является подмножеством (A [ B)n(A \ B).

Пусть теперь x 2 (A [ B)n(A \ B). Тогда x 2 A [ B, x 62A \ B. Если при этом x 2 A, то тогда x 62B (иначе x 2 A \ B), а значит, x 2 AnB. Если же x 62A, то тогда x 2 B, так как x 2 A [ B.

6

И, значит, x 2 BnA. Получили, что x 2 AnB или x 2 BnA, то есть x 2 (AnB)[(BnA) = A4B. Это означает, что множество (A[B)n(A\B) является подмножеством A4B.

Поэтому A4B = (A [ B)n(A \ B). Утверждение доказано.

Аналогично понятиям объединения и пересечения двух множеств определяются понятия объединения и пересечния любого (конечного или бесконечного) числа множеств. Если задано множество M и каждому 2 M сопоставлено некоторое множество A , то говорят, что

= S 1 ; 1 = (0; 1).

2[3;+1)

Далее при доказательстве некоторых теорем будет использоваться следующая теорема, которая называется принципом двойственности.

Теорема 1.1 (принцип двойственности). Пусть задано семейство множеств A , 2 M. Тогда для любого множества B выполняется:

7

чению дополнений).

нению дополнений).

S

разности множеств следует, что x 2 B и x 62 A . Значит, x не

2M

принадлежит ни одному из множеств A и при этом принадлежит множеству B, то есть элемент x принадлежит каждому из множеств

x 2 BnA . Поэтому x 2 B и для всех 2 M выполняется x 62A , то

x не принадлежит множеству A . То есть x принадлежит хотя бы

S

одному из множеств BnA . Отсюда следует, что x 2 (BnA ).

2M

8

S

Пусть теперь x 2 (BnA ). Тогда для некоторого 2 M имеем

2M

x 2 BnA . Значит, x 2 B и x 62A для некоторого 2 M, то есть

В некоторых вопросах используется понятие произведения множеств.

Определение 1.8. Множество всех упорядоченных пар (a; b), где a 2 A, b 2 B, называется произведением множеств A и B и обозначается A B.

То есть A B = f(a; b) : a 2 A; b 2 Bg. Отметим, что A B, вообще говоря, не совпадает со множеством B A.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ (ОТОБРАЖЕНИЯ)

Пишут f : A ! B, y = f(x).

Элемент y называют образом элемента x. Образом множества X A при отображении f называется множество всех элементов f(x), где x 2 X. Этот образ обозначается f(X). Записывают f(X) = = ff(x) 2 B : x 2 Xg.

Если y 2 B, то множество всех элементов x из A для которых f(x) = y называется прообразом элемента y и обозначается f 1(y), то есть f 1(y) = fx 2 A : f(x) = yg. Аналогично определяется понятие прообраза для всякого множества Y B: прообразом множества Y при отображении f называется множество всех элементов из A, образы которых принадлежат Y , то есть f 1(Y ) = fx 2 A : f(x) 2 Y g. Прообраз множества может оказаться пустым множеством.

9

Пример. Рассмотрим отображение f : R ! R, f(x) = x2. Для

Теорема 2.1. Пусть задано отображение f : A ! B. Тогда для любых множеств M1 B и M2 B выполняется

f 1(M1 [ M2) = f 1(M1) [ f 1(M2)

(прообраз объединения двух множеств равен объединению их прообразов).

Доказательство. Пусть x 2 f 1(M1 [M2). Тогда f(x) 2 M1 [M2

и, значит, f(x) 2 M1 или f(x) 2 M2. Поэтому x 2 f 1(M1) или x 2 f 1(M2). Следовательно, x 2 f 1(M1) [ f 1(M2).

Если x 2 f 1(M1) [ f 1(M2), то тогда x 2 f 1(M1) или x 2 f 1(M2). Поэтому f(x) 2 M1 или f(x) 2 M2. Следовательно,

f(x) 2 M1 [ M2. Отсюда получим x 2 f 1(M1 [ M2).

Это означает, что f 1(M1 [ M2) = f 1(M1) [ f 1(M2).

Теорема 2.2. Пусть задано отображение f : A ! B. Тогда для любых множеств M1 B и M2 B выполняется

f 1(M1 \ M2) = f 1(M1) \ f 1(M2)

(прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов).

Доказательство. Пусть x 2 f 1(M1 \M2). Тогда f(x) 2 M1 \M2, то есть f(x) 2 M1 и f(x) 2 M2. Значит, x 2 f 1(M1) и x 2 f 1(M2).

Отсюда следует, что f 1(M1 \ M2) = f 1(M1) \ f 1(M2).

Теорема 2.3. Пусть задано отображение f : A ! B. Тогда для любых множеств M1 A и M2 A выполняется

f(M1 [ M2) = f(M1) [ f(M2)

(образ объединения двух множеств равен объединению их образов).

Доказательство. Рассмотрим y такой, что y 2 f(M1 [ M2). Найдется x 2 M1 [ M2 для которого f(x) = y. Тогда x 2 M1 или x 2 M2.

10