Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011

жество (см. теорему 6.2).

Предположим теперь, что A не является ограниченным. Тогда для каждого " = n найдется элемент xn 2 A такой, что jjxnjj > n, n 2 N.

Рассмотрим открытые шары с центром в нуле On(0) = fx 2 Rn :

1

jjxjj < ng, n 2 N. Поскольку S On(0) = Rn, то семейство шаров O1(0),

n=1

O2(0), ... является покрытием множества Rn и, следовательно, покры-

m

S

тием множества A. Но при каждом m 2 N объединение On(0) не

n=1

содержит точку xm+1 2 A, так как jjxm+1jj > m + 1. Значит, из покрытия O1(0), O2(0), ..., On(0), ... множества A нельзя выделить конечное подпокрытие этого множества, что противоречит компактности A.

Поэтому A ограничено.

2) Достаточность. Пусть A Rn, A замкнуто и ограничено. Так как A ограничено, то существует число " > 0 такое, что для всех

множества A. Пусть xk = ( 1 ; :::; n ), k 2 N. Тогда при всех 1 l n, k 2 N:

q

j (lk)j j (1k)j2 + ::: + j (nk)j2 ":

Значит, каждая из последовательностей f (lk)g1k=1, 1 l n, является ограниченной. Согласно теореме Больцано–Вейерштрасса для последовательностей вещественных чисел, из ограниченной последовательности f (1k)g можно выбрать сходящуюся подпоследовательность f (1sk)g. Соответствующая последовательность f (2sk)g также является ограниченной, и потому из нее, в свою очередь, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Продолжив это рассуждение (учитывая, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится), получим n сходящихся последовательностей

41

j (1mk) 01j + ::: + j (nmk) 0nj:

Поэтому

замкнутости множества A элемент x0 2 A (см. теорему 4.2). Итак, из всякой последовательности точек множества A можно выделить подпоследовательность сходящуюся к точке из A. В силу теоремы 6.7 множество A компакт.

Аналогично доказывается теорема для комплексного пространства

Cn.

Определение 7.12. Пусть L1, L2 – линейные пространства. Отображение f : L1 ! L2 называется линейным отображением (линейным оператором), если для всех x 2 L1, y 2 L2, 2 R ( 2 C) выполняется f(x + y) = f(x) + f(y) и f( x) = f(x).

Утверждение 7.2. Пусть f : L1 ! L2 – линейное отображение линейных пространств. Тогда f(0) = 0.

Доказательство. Имеем f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0). Прибавим к обеим частям последнего равенства вектор f(0). Получим

f(0) + f(0) = f(0) + (f(0) + f(0)). Поэтому 0 = ( f(0) + f(0))+ +f(0) = 0 + f(0) = f(0).

Теорема 7.5. Пусть L = L(R) n-мерное линейное пространство и e1; :::; en его базис. Тогда отображение f : L(R) ! Rn, где f( 1e1 + ::: + nen) = ( 1; :::; n), является линейным отображением и взаимно однозначным соответствием между L и Rn; для L существуют такие числа A > 0, B > 0, что при всех x 2 L справедливо

Ajjf(x)jj jjxjj Bjjf(x)jj:

Доказательство. Поскольку e1; :::; en – базис L, то всякий элемент x 2 L однозначно представляется в виде x = 1e1 + ::: + nen, где1 2 R, ..., n 2 R. Поэтому для любых двух различных элементов x и y множества L их образы f(x) и f(y) различны. Так как для всякого ( 1; :::; n) 2 Rn элемент 1e1 +:::+ nen 2 L, то f(L) = Rn. Значит, это отображение является взаимно однозначным соответствием между L и Rn. Причем для всех x = 1e1 +:::+ nen 2 L, y = 1e1 +:::+ nen 2 L и всех 2 R имеем

42

f(x + y) = f(( 1 + 1)e1 + ::: + ( n + n)en) = (( 1 + 1); :::; ( n + n)) =

= ( 1; :::; n) + ( 1; :::; n) = f(x) + f(y);

f( x) = f( 1e1 + ::: + nen) = ( 1; :::; n) = ( 1; :::; n) = f(x):

Следовательно, f – линейное отображение.

Напомним, что в пространстве Rn мы рассматриваем норму

p

jj( 1; :::; n)jj = j 1j2 + ::: + j nj2 .

p

Обозначим число jje1jj2 + ::: + jjenjj2 = B. При всех x 2 L имеем jjxjj = jj 1e1 + ::: + nenjj j 1j jje1jj + ::: + j nj jjenjj

pp

j 1j2 + ::: + j nj2 jje1jj2 + ::: + jjenjj2 =jj ( 1; :::; n) jj B =B jjf(x)jj:

(Здесь мы использовали неравенство Коши–Буняковского для ве-

p

S = f( 1; ::: n) 2 Rn : j 1j2 + ::: + j nj2 = 1g:

Это множество замкнуто и ограничено. Следовательно, S – компакт (см. теорему 7.4). Рассмотрим также функцию

g : Rn ! R, g( 1; :::; n) = jj 1e1 +:::+ nenjj. При всех ( 1; :::; n) 2 Rn, ( 1; :::; n) 2 Rn имеем

+ ::: + e

функция g непрерывна на всем множестве Rn. Поскольку g непрерывна на компакте S, то на S она достигает своего минимума A (см.

1e1+:::+ nen 6= 0, и, значит, A = g( 1; :::; n) = jj 1e1+:::+ nenjj > 0. Возьмем произвольный вектор x 2 L, x 6= 0. Представим его в виде

43

p

j 1j2 + ::: + j nj2 A = A jjf(x)jj:

Для x = 0 имеем f(0) = 0, а потому jj0jj = A jjf(0)jj. Теорема доказана.

Аналогично доказывается теорема 7.6 для комплексного линейного пространства.

Теорема 7.6. Пусть L = L(C) n-мерное линейное пространство и e1; :::; en его базис. Тогда отображение f : L(C) ! Cn, где f( 1e1 + ::: + nen) = ( 1; :::; n), является линейным отображением и взаимно однозначным соответствием между L и Cn; для L существуют такие числа A > 0, B > 0, что при всех x 2 L справедливо

Ajjf(x)jj jjxjj Bjjf(x)jj:

Определение 7.13. Два линейных пространства L1 и L2 называются изоморфными, если существует линейное отображение f : L1 ! L2 являющееся взаимно однозначным соответствием между L1 и L2.

Из предыдущих двух теорем следует, что все вещественные (комплексные) конечномерные линейные нормированные пространства размерности n изоморфны Rn (Cn) и, следовательно, изоморфны друг другу. Поэтому во многих задачах n-мерные пространства можно рассматривать как различные реализации пространства Rn (Cn).

Определение 7.14. Нормы jj:::jj1 и jj:::jj2 в линейном пространстве L называются эквивалентными тогда и только тогда, когда существуют такие числа A > 0, B > 0, что при всех x 2 L справедливо

Ajjxjj1 jjxjj2 Bjjxjj1:

44

Теорема 7.7. В конечномерном линейном нормированном пространстве L(R) ( L(C) ) любые две нормы эквивалентны.

Доказательство. Пусть L = L(R) – вещественное n-мерное линейное пространство, e1; :::; en – его базис. И пусть в L заданы две нормы jj:::jj1 и jj:::jj2. Рассмотрим отображение f : L ! Rn такое, что для каждого элемента 1e1 + ::: + nen 2 L его образ f( 1e1 + ::: + nen) = = ( 1; :::; n). Тогда, по теореме 7.5 имеем f – взаимно однозначное соответствие между L и Rn и существуют такие числа A1 > 0, B1 > 0, A2 > 0, B2 > 0, что при всех x 2 L справедливо

A1jjf(x)jj jjxjj1 B1jjf(x)jj;

A2jjf(x)jj jjxjj2 B2jjf(x)jj:

p

(В Rn мы выбрали норму jj( 1; :::; n)jj = j 1j2 + ::: + j nj2 .) Отсюда следует

L(R). Аналогично доказывается теорема для комплексных конечномерных пространств.

Из этой теоремы следует, что в конечномерном пространстве сходимость проследовательности, ее предел, непрерывность функции и т.д. не зависят от выбора нормы этого пространства. А именно: если последовательность элементов fang1n=1 конечномерного пространства L сходится к элементу a 2 L по одной норме, то эта же последовательность fang1n=1 сходится к этому же элементу a по любой другой норме пространства L. Если функция f отображает конечномерное пространство L в конечномерное пространство и f непрерывна в a 2 L с точки зрения одной нормы, то f непрерывна в a и по любой другой норме конечномерного пространства. Поэтому для изучения сходимости последовательностей и т.д. в конечномерном пространстве можно использовать, например, классическую норму jj 1e1 + ::: + nenjj =

p

= j 1j2 + ::: + j nj2 .

45

Для бесконечномерных пространств две нормы в одном и том же линейном пространстве могут быть не эквивалентными и если последовательность элементов сходится по одной норме, то эта же последовательность может не сходится по другой норме.

Пример. Рассмотрим пространство C[0; 1] – множество всех функций f : [0; 1] ! R непрерывных на отрезке [0; 1] с обычными операциями сложения и умножения на число: (f + g)(x) = f(x) + g(x), ( f)(x) = f(x). Это бесконечномерное линейное пространство. В нем определим две нормы:

ГЛАВА 8. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Определение 8.1. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x; y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы. Для всех x 2 E, y 2 E, z 2 E, 2 R :

1) (x; x) 0, при этом (x; x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

2)(x; y) = (y; x);

3)( x; y) = (x; y);

46

4) (x + y; z) = (x; z) + (y; z).

Определение 8.2. Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое (x; y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы. Для всех x 2 U, y 2 U, z 2 U, 2 C :

1) (x; x) 0, при этом (x; x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

2)(x; y) = (y; x);

3)( x; y) = (x; y);

4)(x + y; z) = (x; z) + (y; z).

Иначе говоря, задать скалярное произведение это задать вещественнозначную (комплекснозначную) функцию на произведении E E (U U) для которой справедливы указанные выше аксиомы.

Запись (x; x) 0 в определении унитарного пространства означает, что число (x; x) вещественное и неотрицательное.

Отметим, что в унитарном (евклидовом) пространстве для всех элементов x скалярное произведение (0; x) = (x; 0) = 0; для всех элементов x, y и чисел 2 C ( 2 R) справедливо равенство (x; y) = (x; y). Действительно, (0; x) = (0 x; x) = 0 (x; x) = 0, (x; 0) = (0; x) = 0,

(x; y) = ( y; x) = (y; x) = (y; x) = (x; y). Если – вещественное число, то = и тогда (x; y) = (x; y).

Пример. В линейном пространстве Rn определим

( ; ) = 1 1 + ::: + n n 2 R ;

где = ( 1; :::; n), = ( 1; :::; n). Получим евклидово пространство. Действительно, для всех векторов из Rn и всех вещественных чисел:

1)( ; ) = 21 + ::: + 2n 0, при этом ( ; ) = 0 тогда и только тогда, когда = ( 1; :::; n) = (0; :::; 0) = 0;

2)( ; ) = 1 1 + ::: + n n = 1 1 + ::: + n n = ( ; );

3)( ; ) = 1 1 + ::: + n n = ( 1 1 + ::: + n n) = ( ; );

4)( + ; ) = ( 1 + 1) 1 + ::: + ( n + n) n = 1 1 + ::: + n n +

+1 1 + ::: + n n = ( ; ) + ( ; ).

Пример. В линейном пространстве Cn определим

( ; ) = 1 1 + ::: + n n 2 C ;

где = ( 1; :::; n), = ( 1; :::; n). Получим унитарное пространство. Докажем это. Для всех векторов из Cn и всех комплексных чисел:

47

1)( ; ) = 1 1 + ::: + n n = j 1j2 + ::: + j nj2 0, при этом

( ; ) = 0 тогда и только тогда, когда = ( 1; :::; n) = (0; :::; 0) = 0;

2)( ; ) = 1 1 + ::: + n n = 1 1 + ::: + n n = ( ; );

3)( ; ) = 1 1 + ::: + n n = ( 1 1 + ::: + n n) = ( ; );

4)( + ; ) = ( 1 + 1) 1 + ::: + ( n + n) n = 1 1 + ::: + n n +

+1 1 + ::: + n n = ( ; ) + ( ; ).

Пример. В линейном пространстве C[0; 1] определим

1

Z

(f; g) = f(x)g(x) dx 2 R ;

0

где f 2 C[0; 1], g 2 C[0; 1]. Получим бесконечномерное евклидово пространство. Действительно, для всех функций из C[0; 1] и всех вещественных чисел:

1) (f; f) = R f2(x) dx 0. Если f 0, то (f; f) = R 02 dx = 0.

Докажем, что если (f; f) = 0, то f 0. От противного. Предположим, что в некоторой точке x0 2 [0; 1] значение f(x0) = a 6= 0. Поскольку функция f непрерывна на [0; 1], то f непрерывна в точке x0. Поэто-

му для " = ja2j найдется такое > 0, что для всех x 2 (x0 ; x0 + )

выполняется jf(x) f(x0)j < ja2j (если x0 = 0, то берем x 2 [0; );

если x0 = 1, то берем x 2 (1 ; 1]). Значит, при x 2 (x0 ; x0 + )

имеем ja2j < f(x) a < ja2j, то есть a ja2j < f(x) < a + ja2j, и потому jf(x)j > jaj ja2j = ja2j. Тогда

48

1

f 0.

Итак, (f; f) = 0 тогда и только тогда, когда f 0.

11

ZZ

2) (f; g) = f(x)g(x) dx = g(x)f(x) dx = (g; f).

00

ZZ

Теорема 8.1 (неравенство Коши–Буняковского). В унитарном (евклидовом) пространстве для всех элементов x, y выполняется

пространства. Если y = 0, то (x; y) = 0 и (y; y) = 0, а потому неравенство Коши–Буняковского выполняется. Если y 6= 0, то возьмем число

= ((x;y; yy)) 2 C (или R). Поскольку число (y; y) вещественное, то

Имеем

0 (x+ y; x+ y) = (x; x+ y)+( y; x+ y) = (x; x)+(x; y)+ (y; x+ y) =

= (x; x)+ (x; y)+ (y; x)+ (y; y) = (x; x)+ (x; y)+ (x; y)+j j2(y; y) =

49

Поэтому j(x; y)j2 (x; x) (y; y). Отсюда следует утверждение теоремы.

Всякое унитарное или евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле

p

jjxjj = (x; x) . Действительно,

p

jjxjj = (x; x) 0, причем jjxjj = 0 тогда и только тогда, когда (x; x) = 0, то есть x = 0;

pp

jj xjj = ( x; x) = j j2(x; x) = j j jjxjj;

pp

jjx + yjj = (x + y; x + y) = (x; x) + (x; y) + (y; x) + (y; y)

q

p p p

(x; x)+j(x; y)j+j(y; x)j+(y; y) (x; x)+2 (x; x) (y; y)+(y; y)=

p

=jjxjj2 + 2jjxjj jjyjj + jjyjj2 = jjxjj + jjyjj.

p

Учитывая jjxjj = (x; x) , неравенство Коши–Буняковского можно записать следующим образом.

Теорема 8:10 (неравенство Коши–Буняковского). В унитарном (евклидовом) пространстве для всех элементов x, y выполняется неравенство j(x; y)j jjxjj jjyjj.

Поскольку всякое унитарное (евклидово) пространство является

и к унитарным (евклидовым) пространствам.

Теорема 8.2. Пусть в унитарном (евклидовом) пространстве по-

следовательности элементов fxng и fyng сходятся, причем lim xn =x,

k!1

lim yn = y. Тогда последовательность f(xn; yn)g сходится к (x; y).

k!1

Доказательство. Поскольку последовательность fyng сходится, то она ограничена ( см. теорему 7.3). Значит, существует такое число " > 0, что при всех n 2 N выполняется jjynjj < ". Используя неравенство Коши–Буняковского, получим

0j(xn; yn) (x; y)j = j(xn; yn) (x; yn) + (x; yn) (x; y)j =

=j(xn x; yn) + (x; yn y)j j(xn x; yn)j + j(x; yn y)j

jjxn xjj jjynjj + jjxjj jjyn yjj jjxn xjj " + jjxjj jjyn yjj:

= " 0 + jjxjj 0 = 0. Поэтому lim j(xn; yn) (x; y)j = 0. Следовательно,

n!1

последовательность f(xn; yn)g сходится и lim (xn; yn) = (x; y).

n!1

50