Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011
.pdf
Теорема 8.3 (равенство параллелограмма). В унитарном (евклидовом) пространстве для всех элементов x, y выполняется равен-
ство jjx + yjj |
2 |
+ jjx yjj |
2 |
|
|
2( x |
2 + |
jj |
y |
|
2) |
. |
|
|
|
|
|
= |
2jj jj |
|
2jj |
|
|
|
|
||||||
Доказательство. jjx+yjj +jjx yjj |
= (x+y; x+y)+(x y; x y) = |
||||||||||||||
= (x; x) + (x; y) + (y; x) |
+ (y; y) + (x; x) |
|
(x; y) |
|
(y; x) + (y; y) = |
||||||||||
2 |
|
2 |
). |
|
|
|
|
|
|
||||||
= 2(x; x) + 2(y; y) = 2(jjxjj |
|
+ jjyjj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Эта теорема является обобщением известной в геометрии теоремы о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
Как показывает следующий пример, не во всяком нормированном пространстве выполняется равенство параллелограмма.
Рис. 8.1
Пример. В пространстве C[0; 1] с нормой jjfjj = max jf(x)j возь-
x2[0;1]
мем f(x) = x и g(x) 1.
Имеем jjf +gjj2+jjf gjj2 =22+12 = 5, 2(jjfjj2+jjgjj2)=2(12+12)=4. Значит, jjf + gjj2 + jjf gjj2 6= 2(jjfjj2 + jjgjj2).
Этот пример также показывает, что не во всяком нормированном пространстве можно ввести скалярное произведение так, чтобы
p
jjxjj = (x; x) (если бы можно было ввести скалярное произведение таким образом, то в этом пространстве выполнялось бы равенство параллелограмма).
Значит, в C[0; 1] с нормой jjfjj = max jf(x)j нельзя ввести соответ-
x2[0;1]
ствующее скалярное произведение. Однако, в линейном пространстве
|
|
|
|
|
= v |
|
|
|
|
|
C[0; 1] норма |
jj |
f |
jj |
2 |
1 |
j |
f(x) |
2 dx соответствует скалярному произ- |
||
|
|
|
uZ |
j |
|
|
||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Z
p
ведению (f; g) = f(x)g(x) dx (то есть jjfjj2 = (f; f) ).
0
Пример. В линейном пространстве Rn со скалярным произведе-
p
нием ( ; ) = 1 1 +:::+ n n соответствующая норма jj jj = ( ; ) =
p
=j 1j2 + ::: + j nj2. Но если в Rn взять jj jj1 = j 1j + ::: + j nj или
51
||μ||∞ = max |μk|, то соответствующего скалярного произведения не
1≤k≤n
существует (можно привести пример векторов для которых в этом случае не выполняется равенство параллелограмма).
Список рекомендуемой литературы
1.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ, 1987.
2.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
————————————————————–
Редактор Е.Г.Станкевич
Подписанов впечатьпечать15.12.2010Формат. Формат60 ×6084х 841/1/16. . ПечПеч. л..л3,25. . .Уч.-.-изд.. л. 3,25.. Тираж770770экзэкз. .
Изд. .№№1/4/73. Заказ. Заказ№ 26№.
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ". 115409, Москва, Каширское ш., 31.
ООО "Полиграфический комплекс "Курчатовский". 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42.