Лапшинский Сборник задач и заданий с ответами, решениями 2011

Поток тепла от электрической плитки примерно 1 кВт/дм2 = 10 Вт/см2.

Таким образом, тепловыделение от поверхности современного процессора, как правило, превосходит тепловыделение от поверхности электрической плиты. Для снижения энергопотребления процессора необходимо уменьшать напряжение питания и емкости конденсаторов (уменьшать размеры транзисторов).

ЧАСТЬ В. Микро- и наноэлектромеханические системы

Задача 10. Датчик – регистратор избыточного давления на основе углеродных нанотрубок. Используя предельно упрощенную модель, для оценки величины прогиба принимаем, что уровень критического давления, соответствующий первому переходу, не достигается, форма поперечного сечения, и объем оболочки нанотрубки при воздействии избыточного давления не меняются. Кроме того пренебрегаем электростатическими силами.

Рис. 1.18. Принцип работы датчика давления на основе углеродной нанотрубки

51

При анализе деформации трубки ее можно считать тонкостенным цилиндром. В этом случае напряжения допустимо положить равномерно распределенными по толщине оболочки. Под действием внешнего давления в сжимаемой оболочке возникают тангенциальные напряжения ζ, приводящие к деформации сжатия элементарных фрагментов оболочки, как показано на рис.1.18.

На этом рисунке показана половина цилиндра, что не нарушает общности анализа вследствие его симметрии относительно плоскости сечения по диаметру. Деформация цилиндра в целом характеризуется уменьшением длины его окружности и радиальным перемещением всех точек его поперечных сечений в сторону оси.

Абсолютная величина деформации, т.е. степень сжатия оболочки или соответствующее относительное уменьшение диаметра нанотрубки ε = δD = ΔD/D0 под действием напряжения ζ определяется законом Гука ε = ζ/E. Для того, чтобы оценить эту величину, необходимо определить значение напряжения ζ, как функцию давления P, диаметра D и толщины стенки t нанотрубки.

Чтобы найти эту связь снова обратимся к рис. 1.18. Рассмотрим условия равновесия кольца, вырезанного из трубки двумя поперечными плоскостями, разделенными промежутком X. Давление действует на внешнюю поверхность полукольца с направленной вниз силой F1, равной произведению PDX, а напряжения ζ создают в двух горизонтальных концевых сечениях полукольца две направленные вверх силы F2, каждая из которых равна ζtX. Приравнивая, получаем PDX = 2ζtX, откуда ζ = PD/(2t).

Таким образом, относительное изменение диаметра нанотрубки составит:

δD = PD0 /(2tE).

52

В принятой нами физической модели объем оболочки нанотрубки при появлении избыточного давления не меняется. При сохранении объема оболочки и уменьшении диаметра трубки ее длина увеличится и станет равной

LP = L0D0 /DP,

где: L0, D0 , LP, DP – соответственно, начальные и изменившиеся под действием давления значения длины и диаметра нанотрубки. Абсолютное значение изменения длины составит

ΔL = LP – L0 ≈ L0 δD.

Максимальную величину прогиба трубки можно грубо оценить, заменив реальную кривую, которая характеризует форму трубки при прогибе, ломаной линией, состоящей из 2 х отрезков. Тогда квадрат величины прогиба составит V2 ≈ L0 ΔL/2. Приравнивая V = H, получим

ΔL ≈ L0 δD ≈ 2H2/L0.

Отсюда окончательно

P ≈ 4tEH2/(D0L02).

Численная оценка избыточного давления P ≈ 0,74 ГПа. Можно использовать иную аппроксимацию формы кривой

нанотрубки под давлением, например, считая ее дугой окружности. Численная оценка при этом изменится незначительно.

Задача 11. Микроакселерометры. 1. Поскольку выходной сигнал датчика пропорционален разности емкостей С, то начать следует с нахождения связи между С и величиной смещения подвижных и неподвижных штырей:

53

С = NSε0 [1/(Z – ΔZ) – 1/(Z + ΔZ)].

Если можно пренебречь ΔZ2 по сравнению с Z2, то зависимость будет линейной:

С ≈ 2NSε0ε ΔZ/Z2.

Здесь S = LH – площадь обкладок конденсатора, ΔZ – абсолютное смещение, ε0 – электрическая постоянная (8,854 пФ/м), ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды. Считаем, что диэлектриком является воздух (ε = 1) и все конденсаторы (N ячеек) соединены параллельно, поскольку иных указаний в условии задачи нет.

Мы не можем заранее утверждать, что величина ΔZ мала по сравнению с Z, и выходной сигнал линейно зависит от смещения подвижных частей конденсаторов. Тем не менее, сделаем такое интуитивно кажущееся разумным предположение для упрощения анализа, а затем проверим его истинность. В случае выполнения условия линейности ΔZ =

СZ2/(2NSε0ε).

При максимальном измеряемом ускорении 2g по условию задачи Сmax = 0,25 фФ, поэтому наибольшее смещение ΔZmax ≈ 5 нм. Это составляет всего 0,4 % от величины зазора, поэтому условие линейности выполняется. Значение предельного измеряемого ускорения специально ограничено величиной 2g для того, чтобы величина относительного отклонения была малой, и зависимость между величиной регистрируемого ускорения и величиной изменения емкостей можно было считать линейной. Предел прочности много больше – свыше 1000 g.

Основываясь на сделанном предположении, получим, что при ускорении равном g, величина смещения составит половину от максимальной ΔZ ≈ 2,5 нм или 0,2% от величины зазора.

54

2. Для оценки предельных параметров предварительно определим величину динамического диапазона устройства D

= 2g/1мg = 2000. Тогда

ΔCmin ≈ 250 аФ/D ≈ 0,125 аФ = 125 зФ (зептофарада).

Минимальное обнаруживаемое смещение на уровне пороговой чувствительности

ΔZmin ≈ 5 нм/D ≈ 0,0025 нм.

Это более чем на порядок меньше средних межатомных расстояний. Такое разрешение принципиально невозможно достичь в каждом цикле регистрации, а лишь суммированием полезных сигналов и подавлением мешающих сигналов путем усреднения регистрируемых данных за очень большое число измерений, т.е. ценой увеличения времени каждого измерения, применяя метод синхронного или фазового детектирования.

3. Исходя из полученной величины динамического диапазона, минимальную разрядность можно оценить величиной

log2(D) ≈ 11 бит.

4. Акселерометры рассмотренного типа, которые позволяют измерять статическое ускорение, можно использовать в качестве инклинометров, т.е. устройств для определения угла отклонения какого-либо направления от вертикали путем измерения проекции ускорения свободного падения на это направление. По измеренной величине X угол отклонения от вертикали вычисляется как arccos(X/g).

Акселерометры, позволяющие измерять лишь динамические ускорения, например, регистраторы уровня вибраций, не могут применяться в качестве инклинометров.

55

Решения задач олимпиады 2010 года

ЧАСТЬ А. Физика полупроводников: выбор правильного ответа из нескольких

Правильные ответы заданий для части А

ЧАСТЬ Б. Физика наномира: электрические свойства нанообъектов

Задача №6. Емкость металлической наночастицы

Ответ: C = 4 0 r = 1,113 10–10x10–9 = 1,113 10–19 Ф.

Задача №7. Емкость наноконденсатора. Ответ:

C = 0 S/d = 7,854 10–19 Ф,

E = Q2./2C = (1,6 10–19)2/(2.7,854 10–19) = 0,163 10–19 Дж

= 0,102 эВ.

Задача №8. Радиус наночастицы. Начнем с расчета массы:

56

ЧАСТЬ В. Современная нанотехника, наноустройства и наносистемы

Задача №9. Запоминающее устройство (ЗУ) на основе телескопических нанотрубок. Число элементов изображения, которое в соответствии с условиями задачи нужно хранить в ЗУ:

N = 640х 480 = 307200.

Объем информации, который необходимо хранить для того, чтобы закодировать все состояния системы, имеющей S состояний, или объем информации, который может хранить одна ячейка, имеющая S состояний, по формуле Хартли24 (частный случай формулы Шеннона):

IS = log2 (S).

Число градаций яркости пикселей G = 81 (от 0 до 80 с шагом 1). Количество информации в данных о яркости пикселя

Is = log2 (G) ≈ 6,3 бит.

Длина двоичного слова, кодирующего все значения яркости, получается округлением Is в большую сторону, т.е. 7 бит. Или проще: с помощью 6 бит можно закодировать 26 = 64

24 Формулы Хартли и Шеннона входят в программу школьного курса по информатике, однако при решении данной задачи их использование не является обязательным.

57

состояния (градаций яркости), с помощью 7 бит – 128, поэтому, чтобы не потерять информацию требуется 7 бит.

Следовательно, если элементы памяти (ЭП) ЗУ обычные 1- битовые (двоичные), то на каждый пиксель изображения для хранения данных о его яркости требуется 7 ЭП, а общий объем ЗУ при этом составит VD = 7 ∙ N = 2 150 400 ЭП.

Теперь перейдем к рассмотрению троичных (число состояний одного ЭП равно трем) ЭП на нанотрубках. Состояния ЭП можно кодировать, например, как 1, 2, 3.

Число состояний группы из 2-х ячеек равно 32 = 9 (1-1, 1-2, 1-3, 2-1, 2-2, 2-3, 3-1, 3-2, 3-3). Аналогично можно убедиться,

что число состояний группы из 4-х ячеек равно 34 = 81. Поэтому элемент ЗУ, состоящий из 4-х троичных ЭП, может хранить полную информацию о яркости одного пикселя. Тогда требуемое число ЭП в ЗУ составит:

VT = 4∙N = 1 228 800.

Для ответа на поставленный в задаче вопрос сравним число ЭП в обычном двоичном ЗУ и ЗУ на нанотрубках:

VD – VT = 2150400 – 1228800 = 921600

(или 3 ∙ N = 921600) ЭП.

Таким образом, с информационной точки зрения троичное ЗУ на нанотрубках для данного случая экономичней обычного примерно на 42,8%.

Задача №10. Измерение удельного сопротивления нанотрубок. При измерении двухзондовым методом вносится погрешность из-за конечного сопротивления контактов зондов. Фактически вместо Rx измеряется Rx + Rp1 + Rp2. Относительная погрешность метода:

Ε1 ≈ (Rp1 + Rp2)/ (Rx + Rp1 + Rp2).

.

58

Погрешность достигает максимального значения при минимальной величине Rx, т.е. в данном случае для образца №3 (Rx ≈ 200 Ом). При указанной величине контактного сопротивления ≈ 5 кОм, относительную погрешность измерения, если бы был использован двухзондовый метод, можно оценить следующим образом:

ε1 ≈ 2∙5∙103 ∙100% /(2∙5∙103 + 200) = 98%,

т.е. погрешность недопустимо велика, что исключает саму возможность проведения измерений.

Рис.1.19. Эквивалентные схемы измерений:

(а) – двухзондовым и (б) – четырехзондовым методами с указанием контактных сопротивлений (Rp1 – Rp4)

59

При использовании четырехзондового метода и при

условии Rвх >> (Rx + Rp1 + Rp2), очевидно, что Rx = Vизм/Iизм, поскольку ток на участке подключения всех 4-х зондов один и

тот же. Погрешность из-за контактных сопротивлений не влияет на результат, поэтому его в рассматриваемом приближении можно считать точным, т.е. ε2 ≈ 0.

Если рассматривать вопрос о существенном разбросе экспериментальных данных по измерению удельного сопротивления нанотрубок, то такой разброс значений объяснятся тем, что нанотрубки могут иметь различный тип проводимости. Некоторые из них могут вести себя как металлы, а другие как полупроводники. Такова особенность «мира» нанотрубок.

Задача №11. Фотоприемные устройства (ФУ) на квантовых ямах (наногетероструктурах). Начнем с теории.

Рассмотрим процессы, происходящие в структуре фотоприемника, показанной на рис.1.16. Оптическое излучение мощностью P0 падает нормально на поверхность первого узкозонного слоя многослойной структуры фотоприемника. На этой границе часть мощности излучения

(R1P0) отражается, а оставшаяся проходит в полупроводник. При прохождении через слой узкозонного полупроводника часть мощности поглощается, а оставшееся излучение частично отражается от границы раздела узкозонного и

широкозонного полупроводника (коэффициент отражения R2), а оставшееся излучение проходит в широкозонный полупроводник. Через широкозонный полупроводник излучение проходит свободно без каких-либо изменений, а на границе со вторым слоем узкозонного полупроводника и в самом этом слое происходят те же процессы, что уже описаны выше. Аналогичные процессы происходят во всех слоях узкозонного полупроводника многослойной наногетероструктуры.

Мы рассмотрели прямое прохождение пучка оптического излучения. Теперь рассмотрим, что будет с отраженными пучками. Излучение, отраженное от верхней поверхности

60