Кулик Теория принятия решений 2007

Определение 2.2

Случайным событием (СС) [1, с.15] (или просто событием) называют всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти, и обозначают прописными (большими) буквами латинского алфавита, например, A.

ОТМЕТИМ [4, с. 16-17]. Фундаментальные условия, при кото-

рых определяются случайные события, это:

♦опыт можно повторять много раз;

♦исход опыта НЕпредсказуем;

♦относительная частота случайного события у с т о й ч и в а (при увеличении числа опытов она устойчиво колеблется около определенного значения – это определение не очень точно).

Определение 2.3

Чтобы (см. и ср. [1, с. 16-18]) сравнить между собой СС (в результате опыта) по степени возможности, надо связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число P и будем называть вероятностью события A и обозначать как P(A).

ОТМЕТИМ: Согласно аксиомам ТВ и следствиям из них:

P(Ω)≡1, P( )≡0, а также P( )≤P(A)≤P(Ω).

ВАЖНО ПОМНИТЬ. Есть ДВА подхода [17, с. 6] к вычислению вероятности СС, основанные на априорной (классической на базе симметрии опыта и равновозможности) и эмпирической (статистической на базе многократного повторения опыта) вероятности.

Определение 2.4

Достоверное событие (Ω) [1, с. 17, 42; 4, с. 17] — это событие (на-

пример, B и часто обозначаемое как Ω), которое обязательно произойдет, причем вероятность его наступления равна ЕДИНИЦЕ,

т.е. P(B)≡1 или P(Ω)≡1.

ОТМЕТИМ. Если P(A)=1, то это еще не означает, что событие A является достоверным событием:

например, если A – событие, состоящее в попадании в точку из интервала (0;4), то P(A)=0, но P(Ā)=1, так как P(A)+P(Ā) ≡1 и

Ā есть НЕдостоверное событие, хотя P(Ā)=1 [1, с. 91].

71

Определение 2.5

НЕвозможное событие ( ) [1, с. 17, 42; 4, с. 17] — это событие (например, A), которое никогда НЕ произойдет, причем вероятность его наступления равна НУЛЮ, т.е. P(A)≡0 или P( )≡0.

ОТМЕТИМ. Если P(A)=0, то это еще не означает, что событие A является НЕвозможным событием [1, с. 91]; если P(A)=0, то событие может произойти, но вероятность этого есть НОЛЬ [4, с. 17] (так, если A – это событие есть попадание в точку из интервала (0,1)); из P(A)=0 следует только то, что при неограниченном повторении опытов (т.е. увеличения объема выборки) событие A будет появляться сколь угодно редко [1, с. 91-92].

Определение 2.6

Практически достоверное (возможное) событие [1, с. 18-19] —

это событие A, для которого его вероятность наступления близка к единице: P(A)≈1.

Определение 2.7

ПрактическиНЕвозможное событие[1, с.18-19] — этособытие A,

для которого его вероятность наступления близка к нулю: P(A)≈0.

ОТМЕТИМ [1, с. 19-20]. Самый тонкий и трудный вопрос: насколько должна быть мала вероятность события, чтобы его можно было считать практически НЕвозможным? Ответ на этот вопрос выходит за рамки математической теории. На практике следует подходить к решению этого вопроса отдельно в каждом конкретном случае.

Пример 2.А (см. [6, с. 35]). Если взрыватель отказывает при выстреле с вероятностью 0.01, то при некоторых обстоятельствах еще можно мириться с этим и считать отказ взрывателя практически невозможным событием. А если парашют отказывает при прыжке человека с той же вероятностью 0.01, то очевидно, что нельзя счи-

тать этот отказ практически невозможным событием.

Определение 2.8(а)

Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу [6, с. 42].

ОТМЕТИМ. Если какое-то событие A практически НЕвозможное,

то противоположное ему событие Ā есть практически достовер-

72

ное, и наоборот [1, с. 18]. Справедливо P(A)+P(Ā) ≡1 и A+Ā есть полная группа событий (ПГС). Определение ПГС будет дано далее.

Определение 2.8(б)

Противоположным событию A называют событие Ā, состоящее в НЕпоявлении события A [1, с. 18, 43].

Определение 2.9

Равновозможные события [1, с. 23] — несколько событий в дан-

ном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания полагать, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое.

ОТМЕТИМ. Два события A и B равновозможные, если P(A)=P(B).

Определение 2.10

Случаями (или шансами) называют события, обладающие тремя свойствами: они образуют полную группу, равновозможны и несовместны [6, с. 26].

Определение 2.11 Случай (или шанс) называется благоприятным (или благоприят-

ствующим) некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события [6, с. 26].

Определение 2.12

Схема случаев (или иначе — схема урн) [6, с. 26] – если какой-

либо опыт по своей структуре обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающую систему

равновозможных и исключающих друг друга исходов опыта. О

таком опыте говорят, что он сводится к схеме случаев (или иначе

— к схеме урн).

ОТМЕТИМ [6, с. 27]. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события A в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных случаев (m) к общему числу случаев (N), т.е. имеет место классическая формула для вычисления вероятности:

P(A)= mN .

73

Определение 2.13(a)

Случайная величина (СВ) [7, с. 26-28] — однозначную действи-

тельную функцию ξ=ξ(ω), определенную на основном множестве Ω, называют случайной величиной, если при каждом выборе действительного числа x множество {ξ<x} всех тех ω, для которых справедливо неравенство ξ(ω)<x, принадлежит к системе множеств

Ř (Ř – это алгебра множеств).

Определение 2.13(б)

Сходимость по вероятности [6, с. 31] — говорят, что случайная величина Xn сходится по вероятности к величине a, если при сколь угодно малом ε вероятность неравенства | Xn – a |< ε с увеличением n неограниченно приближается к единице:

lim P Xn −a < ε =1.

n→∞

ОТМЕТИМ [6, с. 31]. Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытов частота события не стремится к

вероятности события, а сходится к ней по вероятности.

Определение 2.14(a)

Полная группа событий (ПГС) [1, с. 43,45] — события A1, A2,…,

An образуют полную группу событий, если событие, образованное путем всех их объединения, образует достоверное событие Ω:

n

Ω= U{Ai }, а P(Ω)≡1, т.е. (см. [1, с. 22-23]) в результате опыта не-

i=1

избежно должно появиться хотя бы одно из них, т.е. одно или больше событий (ср. с определением из [15, с. 13; 9, с. 400]).

ОТМЕТИМ. В разных учебниках дается разное определение ПГС (например, требуется НЕ хотя бы одно из них [1, с. 22-23; 6, с. 25],

а одно и только одно событие [4, с. 11]). Если (см. [1, с. 23]) со-

бытия образуют полную группу событий, то опыт НЕ может кончиться помимо них! Если (см. [1, с. 23]) к полной группе событий добавить еще какие-то события, любые исходы опыта, то от этого свойство полноты группы событий не утрачивается!

ВАЖНО ПОМНИТЬ (см. [1, с. 22-23]). Специалисты обращают внимание на то, что в ПГС могут быть совместные события, не исключающие друг друга.

74

Определение 2.14(б)

Полная группа попарно несовместных событий (ПГПНС) [17, с. 9; 27, с. 66] — если события H1, H2,…, Hn, образующие ПГС, попарно несовместны, т.е. Hi∩Hj = при любых i≠j, то говорят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 2.Б. В АСОИУ, содержащей только 4 блока памяти (2 блока ОЗУ и 2 блока жестких дисков), случайно отказали 2 какихто блока памяти из 4. Здесь ПГС (два события):

ПГС ={A, B};

где

A={блоки однотипные};

B={блоки разнотипные}.

Добавим к ПГС еще одно событие: C={два блока ОЗУ}. Группа из трех событий: {A, B, C} является ПГС, так как обязательно наступит одно из них, либо A, либо B, а в случае, когда наступит событие C, одновременно с ним наступит и событие A.

Пример 2.В (см. и ср. [15, с. 19]). Показать, что события A, B − A и A + B образуют полную группу событий и попарно несовместны.

Решение

1). Проверим попарную несовместимость, т.е. надо показать, что:

A (B − A ) = ; A (A + B )= ; (B − A ) (A + B )= .

Действительно очевидно, что A (B − A)= . Далее с одной стороны, если ω A, то ω (A + B) и ω (A + B), а значит A (A + B)=. С другой стороны, если ω (B − A), то ω (A + B) и ω (A + B), а зна-

чит (B − A) (A + B)=.

2). Проверим, что эти три события образуют ПГС: Действительно, так как Ω =(A+B)+ A+B и A+B=A+(B−A),

то

Ω= A+(B − A)+(A+B), а значит, эти события образуют ПГС. ОТМЕТИМ. Событие ω — это элементарное событие [15, с. 9].

75

Пространство Ω элементарных событий (см. [1; 2; 7; 9; 33] и др.)

В теории вероятностей используют понятие пространства Ω

элементарных событий.

Для этого все возможное множество исходов некоторого опыта представляют в виде элементарных событий, так, чтобы все они были НЕсовместными событиями и при этом составляли полную группу событий (т.е. P(Ω)≡1).

Определение 2.15

Элементарное событие (ЭС) [9, с. 816] — исходное понятие. В

определении вероятностного пространства непустое множество Ω называется пространством элементарных событий, а его любая точка ω Ω называется элементарным событием.

ОТМЕТИМ (см. [9, с. 816]). При неформальном подходе множество Ω описывает множество всех исходов некоторого случайного эксперимента и ω соответствует элементарному исходу (экспе- римент заканчивается одним и только одним элементарным исхо-

дом; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг дру-

га).

ОТМЕТИМ (см. [15, с. 8-9]). При неформальном подходе исход испытания называется событием. Все те события, что могут произойти в результате выполнения комплекса условий, составляют

достоверное событие Ω. Те из событий, что нельзя разложить на составляющие их события, называются элементарными события-

ми.

ОТМЕТИМ (см. [15, с. 8-9]). Любое событие B из пространства элементарных событий Ω можно составить из элементарных событий.

ОТМЕТИМ (см. [33, с. 19]). Каждый неразложимый исход (идеа-

лизированного) опыта представляется одним и только одним ЭС. Совокупность всех ЭС называют пространством ЭС, а сами ЭС называют точками этого пространства. Все события, связанные с данным опытом, могут быть описаны с помощью ЭС.

76

ОТМЕТИМ. Использование показателя P(Ω) для оценки эффективности технической системы (например, АФИПС) бессмысленно, так как всегда P(Ω)≡1. Поэтому (на практике) множество Ω разбивают иногда на два (или несколько) НЕпересекающихся множества элементарных событий E1 и E2, т.е. E1∩E2 ≡ и E1 E2≡Ω. Тогда, можно принять, что:

P(E1) — это вероятность правильного ответа АФИПС; P(E2) — это вероятность НЕправильного ответа АФИПС. Например, подпространству (множеству событий) E1 соответствуют события правильного ответа АФИПС на запрос, подпространству (множеству событий) E2 соответствуют события НЕправиль-

ного ответа АФИПС на запрос.

ОТМЕТИМ. P(E1)+P(E2)≡1. Cпособ объединения событий в E1 и E2 зависит от конкретной практической задачи и цели, для достижения которой строится АФИПС. Так, в одном случае одно событие может быть отнесено в E1 а, в другом случае — в E2.

Пример 2.Г. Если в АФИПС нет требуемой информации, то в одном случае НЕвыдача ее в ответ на запрос может быть правильным ответом (ее там нет и, естественно, ее нет и в ответе АФИПС), а в другом случае это может быть НЕправильный ответ (то, что в системе нет нужной информации — плохо, так как она должна быть там, раз ее запрашивают).

ОТМЕТИМ. Иногда вводят E3 — третье множество событий: E1,

E2 и E3, т.е. E1∩E2≡ , E1∩E3≡ , E2∩E3≡ и E1 E2 E3≡Ω.

События из E3 соответствуют случаям отказа от принятия решения АФИПС (в теории распознавания образов это аналог зоны

НПВ – Не Представляется Возможным принять решение), когда АФИПС НЕ может по какой-то причине выдать пользователю ответ на его запрос. Например, АФИПС иногда выгоднее не отвечать, чем давать сомнительный ответ.

77

Пример 2.Д (см. и ср. [16, с. 106-107])

Рассмотрим эксперимент X с бросанием монеты, при котором происходит только выпадение герба или решетки. Пусть

H – выпадение герба;

T – выпадение решетки;

тогда

ΩX ={H, T}.

Рассмотрим эксперимент Y с бросанием монеты, при котором происходит только выпадение герба, решетки, или монета может встать на ребро. Пусть

H – выпадение герба;

T – выпадение решетки;

R – монета встала на ребро;

тогда

ΩY ={H, T, R}.

Рассмотрим эксперимент Z с бросанием монеты, при котором происходит только выпадение герба, решетки, монета может встать на ребро или зависнуть в воздухе. Пусть

H – выпадение герба;

T – выпадение решетки;

R – монета встала на ребро;

V – монета зависла в воздухе;

тогда

ΩZ ={H, T, R, V}.

ВАЖНО ПОМНИТЬ. Специалисты обращают внимание на то (см. [16, с. 106-107]), что пространство исходов (т.е. ЭС) эксперимента не всегда очевидно и однозначно. Может существовать целый набор таких пространств. На практике окончательный выбор пространства исходов (т.е. ЭС) эксперимента зависит от человека (т.е. экспериментатора).

ОТМЕТИМ (см. [16, с. 107]). Необходимо следить за тем, чтобы все практически осуществимые исходы (т.е. ЭС) эксперимента были включены в пространство исходов (ЭС) исследуемой модели.

ВАЖНО ПОМНИТЬ (см. [16, с. 107]). Выводы и прогнозы, полученные по модели, для которой ошибочно сформулировано пространство исходов, могут оказаться на практике ложными.

78

Пусть (см. работу [5, с. 17]) в результате осуществления однородных условий произведены m серий опытов (в каждой серии опытов было Ni однородных испытаний, в которых наблюдалось случайное событие A (т.е. фиксировалось, произошло или нет это событие A). Среди Ni испытаний событие A происходило Ni(A) раз, а Ni(Ā)={Ni–Ni(A)} раз это событие не происходило. При больших значениях Ni относительные частоты Ni(A)/Ni обладают стати-

стической устойчивостью в том смысле, что имеют место сле-

где P(A) мы называем вероятностью события A, причем на ПРАКТИКЕ эта вероятность события A может быть очень МАЛА (близка к 0), и поэтому его можно считать практически невозможным. Тогда могут быть сформулированы ДВА основных принципа

(см. работу А.Н. Колмогорова [5, с. 4] и работы [1, с. 19; 5, с. 18]),

лежащих в основе теории принятия статистических решений.

Принцип практической уверенности (см. работы [1, с.19; 5, с.18;

10, с. 224; 7, с. 5-7])

В основе применяемых на ПРАКТИКЕ всех выводов и рекомендаций (получаемых с помощью теории вероятностей) лежит так назы-

ваемый следующий принцип практической уверенности [1, с. 19]:

Если вероятность события A в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие A вообще невозможно, т.е. не рассчитывать на его появление.

Принцип статистической устойчивости относительных частот

Многовековая практика убедительно показала, что для массовых случайных событий может быть сформулирован следующий прин-

цип статистической устойчивости относительных частот [5, с. 18]:

В длинных сериях однородных испытаний относительные частоты случайного события A колеблются около некоторого числа P(A), которое мы называем вероятностью события A.

79

Несовместность и независимость событий

Пусть события A и H принадлежат пространству элементарных событий Ω, причем P(H)>0.

Определение 2.16

Уловная вероятность события [6, с. 46] — вероятность события

A, вычисленная при условии, что имело место другое событие H,

называется условной вероятностью события A и обозначается

P(A|H).

ОТМЕТИМ (см. [12, с. 443]). Иногда используют другой символ в обозначении условной вероятности события A — P(A/H). Далее мы будем использовать только обозначение — P(A|H).

ОТМЕТИМ (см. [14, с. 53-54]). P(A|H) называется условной веро-

ятностью события A при условии H (при гипотезе H) и вычисляется по следующей формуле:

P (A | H )= P (A ∩H ) . P (H )

ОТМЕТИМ [16, с. 124]. Если P(H)=0, то условная вероятность события A при условии H не определена.

Определение 2.17

Несовместные события [6, с. 26] — несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Определение 2.18

Зависимые события [6, с. 46] — событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет, т.е. (см. [1, с. 53])

P(A|B)≠P(A).

Определение 2.19(а)

Независимые события (см. и ср. [6, с. 45; 16, с. 124]) — событие A

называется стохастически НЕзависимым от события B (или про-

сто независимым), если вероятность события A НЕ зависит от того, произошло событие B или нет, т.е. (см. [1, с.53]) P(A|B)=P(A). ОТМЕТИМ [16, с. 124]. Можно показать, если A независимо от B, то и B независимо от A.

80