Кулик Теория принятия решений 2007

Пример 2.19 (см. и ср. [25, с. 73-74] №3.45)

Имеются 3 канала связи, сообщения по которым распределяются случайным образом (с равной вероятностью). Вероятность искажения сообщения при его передаче по 1-му каналу равна p1, по 2-му — p2, по 3-му — p3. Случайно выбран какой-то канал, и по нему передано k сообщений; ни одно из них не было искажено. Найти вероятность того, что (k+1)-е сообщение, переданное по тому же каналу, не будет искажено.

Решение

Шаг I

1). Введем (n=3) гипотезы и сформулируем событие A:

H1={сообщения передавались по 1-му каналу}, H2={сообщения передавались по 2-му каналу}, H3={сообщения передавались по 3-му каналу},

A={k сообщений не искажено}.

Априорные вероятности гипотез P(Hi) практически могут быть все определены из условия задачи:

P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3;

причем понятно, что P(H1)+P(H2)+P(H3)=1.

Требуется найти на этом шаге все P(Hi|A), где i=1, 2, 3.

2). Гипотезы H1 и H2 и H3 являются попарно несовместными, так как это следует из введенных нами гипотез (всего только n=3 гипотезы и иметь место может быть только одна из них), и образуют полную группу событий, так как H1+H2+H3= Ω.

3). Найдем все условные вероятности P(A|Hi), а затем и P(A):

P(A|H1)=(1– p1)k; P(A|H2)=(1– p2)k; P(A|H3)=(1– p3)k;

тогда

P(A)= ∑n {P(Hi ) P(A | Hi )}=⅓(1– p1)k+ ⅓(1– p2)k +⅓(1– p3)k.

i=1

131

4). Вычислим условные вероятности P(Hi|A):

5). Таким образом, выполнен Шаг I для решения всей задачи.

Шаг II

1). Введем еще (n=3) гипотезы и сформулируем другое событие B:

пусть H1|A=Ĥ1; H2|A=Ĥ2; H3|A=Ĥ3; B|A=V, где

Ĥ1={при событии A выбран 1-й канал},

Ĥ2={при событии A выбран 2-й канал},

Ĥ3={при событии A выбран 3-й канал},

B ={ (k+1)-е сообщение не искажено},

дополнительно обозначим

V ={ (k+1)-е сообщение, переданное по тому же каналу, не будет искажено}.

Пересмотренные априорные вероятности гипотез P(Ĥi) после наступления события A уже были вычислены ранее см. (2.1)

P(Ĥi)= P(Ĥi|A)=P(Hi|A),

причем также легко показать, что P(Ĥ1)+P(Ĥ2)+P(Ĥ3)=1. Требуется найти на этом шаге P(V), причем эта именно та вероятность, которую и требуется найти по условию задачи.

2). Гипотезы Ĥ1, Ĥ2 и Ĥ3 являются несовместными, так как это следует из введенных нами гипотез (всего только n=3 гипотезы и иметь место может быть только одна из них), и образуют полную группу событий, так как Ĥ1+Ĥ2+Ĥ3= Ω.

3). Найдем все условные вероятности P(B|AHi), а затем и P(V):

в задаче неявно предполагается, что искажения сообщений в канале происходят независимо от того, как были переданы

132

другие сообщения, а значит

P(B|AH1)=(1– p1); P(B|AH2)=(1– p2); P(B|AH3)=(1– p3).

Вычислим вероятность P(V):

P(V)=P(Ĥ1)P(V |Ĥ1) + P(Ĥ2)P(V |Ĥ1) + P(Ĥ3)P(V |Ĥ3)

или

P(B|A)=P(H1|A)P(B|AH1) +P(H2|A)P(B|AH2) +P(H3|A)P(B|AH3).

Пусть W = (1− p1 )k +(1− p2 )k +(1− p3 )k ,

тогда

P(B|A) =(1− p1 )(1−Wp1 )k +(1− p2 )(1−Wp2 )k +(1− p3 )(1−Wp3 )k =

=(1− p1 )(1− p1 )k +(1− p2 )(1− p2 )k +(1− p3 )(1− p3 )k =

W

= (1− p1 )k +1 +(1− p2 )k +1 +(1− p3 )k +1 .

W

И окончательно получим следующее выражение:

P(B|A) = (1− p1 )k +1k+(1− p2 )kk+1 +(1− p3 )kk +1 .

(1− p1 ) +(1− p2 ) +(1− p3 )

4). Условные вероятности P(Ĥi | V) вычислять не требуется.

5). Таким образом, выполнен Шаг II для решения всей задачи. И тем самым вся задача полностью решена▄

133

Пример 2.20 (см. и ср. [4, с. 27])

В 5-ти одинаковых больших коробках упакованы ракеты для фейерверка. В 3-х из них (артикул S) синий цвет фейерверка дают 84 % ракет, остальные дают оранжевый цвет. В 2-х других (артикул Q) фейерверк оранжевого цвета дают 84 % ракет, остальные – синий. При транспортировке перепутались бирки с указанием артикулов на коробках.

Пиротехник взял одну коробку и высказал две гипотезы:

H1={выбрана коробка артикула S},

H2={выбрана коробка артикула Q}.

Пиротехник решил сделать из ракетницы несколько выстрелов, чтобы узнать, какая коробка ему досталась. Он будет считать гипотезу (H1 или H2) практически достоверной, если ее вероятность больше 0.98. Сколько нужно сделать выстрелов? Предполагается, что каждый раз при выстреле появляется оранжевый цвет.

Решение

Шаг I (первый выстрел дал оранжевый цвет)

1). Введем обозначение α=0.98. Две (n=2) гипотезы уже введены

H1={выбрана коробка артикула S},

H2={выбрана коробка артикула Q}.

Сформулируем событие A:

A={при 1-м выстреле наблюдается оранжевый цвет}.

Априорные вероятности гипотез P(Hi) практически могут быть вычислены из условия задачи:

P(H1)=3/5=0.6; P(H2)=2/5=0.4;

причем легко показать, что P(H1)+P(H2)=1.

Требуется найти на этом шаге P(Hi|A), где i=1, 2 и сравнить с α. 2). Гипотезы H1 и H2 являются несовместными, так как это следует из введенных нами гипотез (всего только n=2 гипотезы и иметь место может быть только одна из них), и образуют полную

группу событий, так как H1+H2= Ω.

3). Все условные вероятности P(A|Hi) уже практически известны из условия задачи, поэтому надо найти P(A):

P(A|H1)=0.16; P(A|H2)=0.84;

n

тогда P(A)= ∑{P (Hi ) P (A | Hi )}=0.6·0.16+0.4·0.84=0.432 .

i=1

4). Вычислим условные вероятности P(Hi|A):

134

причем P(H1|A)≈0.222<0.98=α и P(H2|A)≈0.778<0.98=α. 5). Таким образом, выполнен Шаг I для решения всей задачи.

Шаг II (второй выстрел дал оранжевый цвет)

1). Введем еще (n=2) гипотезы и сформулируем другое событие B:

пусть H1|A=Ĥ1; H2|A=Ĥ2; B|A=V, где

Ĥ1={при событии A выбрана коробка артикула S}, Ĥ2={при событии A выбрана коробка артикула Q}, B ={при 2-м выстреле наблюдается оранжевый цвет}.

Пересмотренные априорные вероятности гипотез P(Ĥi) после наступления события A уже были вычислены ранее:

P(Ĥ1)=P(H1|A)≈0.222; P(Ĥ2)=P(H2|A)≈0.778;

причем также легко показать, что P(Ĥ1)+P(Ĥ2)=1.

Требуется найти на этом шаге P(Ĥi| V), где i=1, 2, и сравнить с α.

2). Гипотезы Ĥ1 и Ĥ2 являются несовместными, так как это следует из введенных нами гипотез (всего только n=2 гипотезы и иметь место может быть только одна из них), и образуют полную группу событий, так как Ĥ1+Ĥ2=Ω.

3). Найдем все условные вероятности P(V |Ĥi)=P(B|AHi) и P(V):

P(V |Ĥ1)=P(B|AH1)=0.16; P(V |Ĥ2)=P(B|AH2)=0.84 .

Вычислим вероятность P(V):

P(V)=P(Ĥ1)P(V |Ĥ1) + P(Ĥ2)P(V |Ĥ2),

или

P(B|A)= P(H1|A)P(B|AH1) + P(H2|A)P(B|AH2).

Тогда P(V)=P(B|A)=0.222·0.16+0.778·0.84≈0.689 .

135

4). Вычислим условные вероятности P(Ĥi| V):

так как P(V)≠0 и P(Ĥi| V)= P(Ĥi)P(V |Ĥi) P(V)-1, где i=1, 2;

то P(Ĥ1| V)= P(Ĥ1)P(V |Ĥ1) P(V)-1 ≈0.222 0.16≈ 0.052; 0.689

P(Ĥ2| V)= P(Ĥ2)P(V |Ĥ2) P(V)-1 ≈0.778 0.84≈ 0.948; 0.689

причем P(Ĥ1| V)≈0.052<0.98=α и P(Ĥ2| V)≈0.948<0.98=α.

5). Таким образом, выполнен Шаг II для решения всей задачи.

Шаг III (третий выстрел дал оранжевый цвет)

1). Введем еще (n=2) гипотезы и сформулируем другое событие C:

пусть H1|AB=Ě1; H2|AB=Ě2; C|AB=W, где

Ě1={при событиях A и B выбрана коробка артикула S}, Ě2={при событиях A и B выбрана коробка артикула Q},

C ={при 3-м выстреле наблюдается оранжевый цвет}.

Пересмотренные априорные вероятности гипотез P(Ěi) после наступления события V уже были вычислены ранее:

P(Ě1)=P(Ĥ1| V)≈0.052; P(Ě2)=P(Ĥ2| V)≈ 0.948;

причем также легко показать, что P(Ě1)+P(Ě2)=1.

Требуется найти на этом шаге P(Ěi|W), где i=1, 2 и сравнить с α.

2). Гипотезы Ě1 и Ě2 являются несовместными, так как это следует из введенных нами гипотез (всего только n=2 гипотезы и иметь место может быть только одна из них), и образуют полную группу событий, так как Ě1+Ě2=Ω.

136

3). Найдем все условные вероятности P(W |Ěi)=P(C|ABHi) и P(W):

P(W |Ě1)=P(C|ABH1)=0.16; P(W |Ě2)=P(C|ABH2)=0.84 .

Вычислим вероятность P(W):

P(W)=P(Ě1)P(W |Ě1) + P(Ě2)P(W |Ě2),

или

P(C|AB)= P(H1|AB)P(C|ABH1) + P(H2|AB)P(C|ABH2).

Тогда P(W)=P(C|AB)= 0.052·0.16+0.948 ·0.84≈0.805 . 4). Вычислим условные вероятности P(Ěi| W):

так как P(W)≠0 и P(Ěi| W)= P(Ěi) P(W |Ěi)P(W)-1, где i=1, 2, то

P(Ě1| W)= P(Ě1)P(W |Ě1) P(W)-1 ≈0.0516 0.16≈ 0.0103; 0.805

P(Ě2| W)= P(Ě2)P(W |Ě2)P(W)-1 ≈0.9484 0.84≈ 0.9897; 0.805

причем P(Ě2| W)≈0.9897>0.98=α и P(Ě1| W)≈0.0103<0.98=α,

т.е. считаем гипотезу Ě2 практически достоверной, так как ее вероятность больше 0.98.

5). Таким образом, выполнен Шаг III для решения всей задачи. И тем самым вся задача полностью решена▄

ОТМЕТИМ. Результаты удобно оформить в виде таблицы

(табл.2.4).

Таблица 2.4. Результаты расчета

137

2.7. Примеры неправильных решений

Рассмотрим еще раз пример 2.16 (см. задачу №94 из [3, с. 32]). В 1-й урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во 2-й урне содержится 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят

один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Правильный ответ: 1/2.

Решение №А (неправильное, хотя ответ правильный) 1). Введем (n=4) гипотезы и сформулируем событие A:

H1={два белых шара},

H2={черный шар из 1-й урны и белый шар из 2-й урны}, H3={белый шар из 1-й урны и черный шар из 2-й урны}, H4={два черных шара},

A={взят белый шар}.

Априорные вероятности гипотез P(Hi) есть:

P(H1)=P(H2)=P(H3)=P(H4)=1/4; причем P(H1)+P(H2)+P(H3)+P(H4)=1.

Требуется найти P(A).

2). Гипотезы H1, H2, H3 и H4 попарно несовместны (всего только n=4 гипотезы и иметь место может быть только одна из них) и образуют полную группу событий, так как H1+H2+H3+H4= Ω.

4). Условные вероятности P(Hi|A) вычислять не требуется.

5). И тем самым задача решена▄

Пояснения к решению. Вероятности P(Hi) не равны 1/4; вероятности P(A|H2) и P(A|H3) найдены неверно (правильное решение см. выше под №1 в примере 2.16).

138

Решение №Б (не совсем корректное, хотя ответ правильный) 1). Введем (n=3) гипотезы и сформулируем событие A:

H1={два белых шара},

H2={черный шар из 1-урны и белый шар из 2-урны}, H3={белый шар из 1-урны и черный шар из 2-урны},

A={взят белый шар}.

Априорные вероятности гипотез P(Hi) практически могут быть вычислены из условия задачи:

Требуется найти P(A).

2). Гипотезы H1, H2 и H3 попарно несовместны.

3). Найдем все условные вероятности P(A|Hi), а затем и P(A):

P(A|H1)=1; P(A|H2)=P(A|H3)=1/2;

4). Условные вероятности P(Hi|A) вычислять не требуется.

5). И тем самым задача решена▄

Пояснения к решению. Потеряна одна гипотеза

H4={два черных шара},

т.е. n=4, и не проверено, что все Hi образуют полную группу событий, т.е. H1+H2+H3+H4=Ω; вероятность P(H4) =102 1620 = 20032 = 254 ; вероятность P(A|H4)=0 (правильное решение см. выше под №1 в

примере 2.16).

139

Решение №В (неправильное, хотя ответ правильный) 1). Введем (n=3) гипотезы и сформулируем событие A:

H1={два белых шара},

H2={два разных шара},

H3={два черных шара}, A={взят белый шар}.

Априорные вероятности гипотез P(Hi) есть:

P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3; причем P(H1)+P(H2)+P(H3)=1.

Требуется найти P(A).

2). ГипотезыH1, H2 иH3 являются попарно несовместными, так как это следует из введенных нами гипотез (всего только n=3 гипотезы и иметь место может быть только одна из них), и образуют полную группу событий, так как H1+H2+H3= Ω.

3). Найдем все условные вероятности P(A|Hi), а затем и P(A). Заметим, что:

•при гипотезе H1 событие A достоверно, а поэтому соответствующая условная вероятность равна единице, P(A|H1)=1;

•при гипотезе H2 событие A происходит с вероятностью 1/2 (так как по условию задачи из двух шаров наудачу взят один шар), а значит P(A|H2)=1/2;

•при гипотезе H3 событие A невозможно, а поэтому соответствующая условная вероятность равна нулю P(A|H3)=0.

Тогда можно вычислить вероятность события A:

4). Условные вероятности P(Hi|A) вычислять не требуется.

5). И тем самым задача решена▄

Пояснения к решению. Вероятности P(Hi) не равны 1/3; вероятности P(A|H2) и P(A|H3) найдены верно (правильное решение см. вы-

ше под №2 в примере 2.16).

140