Глава 3

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ РИСКА

_____________________________________________________

3.1. ВВЕДЕНИЕ

Согласно принципу несовместимости, сформулированному основоположником теории нечетких множеств Л. Заде, сложность системы и точность, с которой ее можно проанализировать традиционными методами, находятся в состоянии взаимного противоречия [39]. Другими словами, по мере возрастания сложности системы наша способность формулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведении уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым точность и смысл становятся взаимоисключающими. Этот принцип явился одной из главных предпосылок появления нечеткой математики и ее базы – теории нечетких множеств.

3.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Неопределенная информация может иметь различные формы. Неопределенность может быть обусловлена сложностью, неведением, случайностью различного типа. Она может быть следствием неточности, невозможности провести адекватные измерения (т.е. ошибок измерений, интерполяции и экстраполяции, различных допущений), недостатка знаний или неясности, как, например, нечеткость, присущая нашему естественному языку общения. На практике, как правило, независимо от реального характера информации, предполагают случайный характер неопределенности измерений, что обусловливает использование теории вероятностей как базовой теории для выражения неопределенности.

230

Вместе с тем, вероятностные методы оказались малоэффективными в случаях, когда неопределенности неслучайной природы играют решающую роль. Этим объясняется интерес, появившийся в 60-70 годах прошлого века к моделям неопределенности, альтернативным вероятностным. К их числу можно отнести субъективную вероятность [40], верхние и нижние вероятности Демпстера [41], правдоподобие и доверие Шеффера [42], которые обобщают конструкции Демпстера, а также возможность Заде [43], базирующуюся на его теории нечетких множеств [44].

Всоответствии с современными математическими представлениями неопределенность измерений может быть отнесена к одному из двух типов: случайному (вероятностному) и нечеткому. В первом случае используется теория вероятностей, во втором – теории, базирующиеся на теории нечетких множеств (например, теория возможностей).

Внастоящее время вероятностный подход является доминирующим при представлении и обработке результатов измерений. К его недостаткам можно отнести следующее:

представление погрешностей измерений как случайных погрешностей далеко не всегда является обоснованным;

закон распределения погрешностей, как правило, постулируется неоправданно (в большинстве случаев предполагается нормальный закон);

вероятностный подход очень трудно агрегировать с другими подходами, используемыми при компьютерной обработке информации. Это является барьером на пути создания интеллектуальных средств измерений.

Все более широкое использование интеллектуальных средств измерений, вмешательство человека (эксперта) с его субъективизмом в процесс измерений и обработки результатов приводит к тому, что фактически характеристики погрешности являются нечеткими. Однако методические руководства рекомендуют обрабатывать их как вероятностные характеристики неких генеральных совокупностей, которым, в свою очередь, приписываются некие законы распределений.

Альтернативами вероятностному подходу могут служить интервальный анализ и нечеткий подход. Интервальный подход не на-

231

шел широкого применения в метрологии, возможно из-за существенно завышенных оценок погрешности при большом числе составляющих, что делает его использование нецелесообразным. Нечеткий же подход не может быть использован как единственная альтернатива вероятностному подходу до тех пор, пока не будет решен ряд вопросов теоретического и практического характера.

На практике, как правило, приходится иметь дело как со статистическими параметрами, так и с нечеткими. Типичный пример: метрологический анализ результатов измерений, осуществляемый с использованием модели объекта. В этом случае априорная информация об объекте, представляемая экспертом на основе своего опыта, корректно формализуется как нечеткая. Характеристики же погрешности средств измерений представляются как вероятностные. Другой пример: оценка погрешности результатов математической обработки измеренной информации, например, при решении некорректных задач, когда опыт или интуиция используется для введения априорной информации и/или для прекращения процесса получения решения.

Заметим, что интеллектуальные системы измерений, как правило, оперируют с нечеткими переменными [45]. Поэтому при их метрологическом анализе необходимо рассмотрение и учет (агрегирование) различных факторов: характеристик погрешностей входных данных, вклада в погрешность математической обработки, априорной информации и средств искусственного интеллекта.

С учетом вышесказанного рассмотрение возможности введения теорий, использующих нечеткие множества, в рамки теории погрешностей наряду с теорией вероятностей представляется разумным и своевременным. Переосмыслению теории погрешностей и теории измерений с позиции теории нечетких множеств посвящен целый ряд публикаций, например, [46,47,48]. Отметим в этой связи, что простое объединение теорий невозможно в силу различия аксиоматики, применяемого математического аппарата и используемых критериев. В этой связи введение в международные документы ИСО и в отечественные рекомендации понятия «неопределенность» (вместо «погрешность») представляется целесообразным шагом в попытке сблизить вероятностный и нечеткий подходы.

232