Исаенкова Лабораторная работа Рентгенографическое 2007

нальным компонентам тензора деформаций εij. Во избежание путаницы γ названы «техническими» сдвиговыми деформациями, а ε23, ε31 и ε12 – тензорными сдвиговыми деформациями. Следует заметить, что матрица технических деформаций

не образует тензора.

5.2. Ориентационно-зависимые свойства монокристалла

При использовании тензоров напряжения и деформации закон Гука в обобщенной форме имеет вид:

где коэффициенты упругой жесткости Cijkl и упругой податливости Sijkl образуют тензоры четвертого ранга. Тензор четвертого ранга имеет 34 = 81 независимую компоненту. Однако число компонентов тензора упругости из-за симметрии тензоров деформации и напряжения сокращается с 81 до 36, а из-за термодинамических соображений число их уменьшается до 21. Дальнейшее уменьшение связано с симметрией кристалла, так что в кубической сингонии их всего три.

Коэффициенты упругости Cijkl и Sijkl (5.30) и (5.31) удобнее записать с помощью матричных обозначений вместо тензорных

(табл. 5.1).

21

Матрицы cij и sij являются взаимно-обратными, т.е. cijsjk = δik, где δik − единичная матрица.

Вследствие симметрии кристалла некоторые из компонентов cij и sij становятся равными нулю или равными друг другу, а число независимых среди неравных нулю коэффициентов уменьшается.

Матрицы коэффициентов упругости для кристаллов кубической сингонии имеют вид:

Если использовать более привычные величины: E − модуль Юнга, G − модуль сдвига и ν − коэффициент Пуассона, получим

В кубических кристаллах вводят параметр упругой анизотропии

Тензорное представление физических свойств, в частности, крайне необходимо для описания анизотропных материалов. Это означает, что если мы вырежем испытываемый образец с ориентацией его осей g из анизотропного материала (рис. 5.3), то свойства, например, коэффициенты податливости Sijkl в уравнении (5.33), бу-

22

Соответствующие изменения коэффициентов податливости, т.е. компоненты тензора четвёртого ранга Sijkl, можно представить в виде

где Smnop0 – коэффициенты податливости, определенные в исходной

системе координат KА. Если предположить, что рассматриваемое тело монокристаллическое, то оси системы координат KА выбирают параллельными осям кристалла, например, [100], [010], [001] для кубических кристаллов.

Заслуживает внимания упрощенное изображение анизотропии физических свойств. Если из тела вырезать образец в направлении m = [mnp] = {θ, φ}, то величина, обратная модулю Юнга, в выбран-

[mnp]. Свойства, зависящие от направления, можно представить поверхностью. Для свойств, описываемых тензорами второго ранга (таких как электропроводность), поверхность будет выглядеть эллипсоидом, а для тензоров четвёртого ранга, например, для обрат-

23

ного модуля Юнга

представляет собой поверхность четвёртой степени.

На рис. 5.4 показаны поверхности модуля Юнга для ряда металлов. Такая поверхность не полностью характеризует анизотропию упругих свойств. Для полного описания ани-

а б зотропию модуля Юнга необходимо дополнить ориентационной зависимостью модулей сдвига.

Чтобы определить модуль Юнга

Отметим, что для кубической сингонии модуль Юнга не является изотропным. Для ГЦК металлов модуль Юнга увеличивается при движении от <100> к <111>, тогда как у ОЦК металлов, за исключением тантала, модуль Юнга при движении от <100> к <111> уменьшается. Наиболее изотропным является вольфрам, а среди

24

и упругие свойства изотропного тела характеризуют всего два коэффициента упругости с11 и с12 или s11 и s12. Упругие характеристики некоторых гексагональных монокристаллов приведены в табл. 5.3.

Таблица 5.2

25

5.3. Анизотропия упругих свойств поликристаллических материалов

В технике главным образом используются поликристаллические материалы. К тому же, очень часто они ещё и многофазны. Далее для простоты изложения будем рассматривать однофазные поликристаллические материалы. Их свойства, прежде всего, определяются свойствами отдельных кристаллов и способом их объединения (агрегирования) в поликристалл. Объединение кристаллов можно описать, учитывая их размер, форму, кристаллографическую ориентацию и взаимодействие друг с другом.

Физические свойства отдельных кристаллов должны зависеть от параметров их агрегирования. Например, дислокационная субструктура и, следовательно, пластичность кристаллов зависит от их ориентации, как это наблюдается для кристаллитов холоднокатаного металлического листа. В первом приближении, мы считаем, что все кристаллы характеризуются одинаковыми свойствами. Тогда свойство поликристалла схематично можно представить рис. 5.5.

В поликристаллическом материале каждый кристалл оказывается в стесненных условиях (например, внешние напряжения) и реагирует на него в соответствии со своими физическими свойствами (тензор упругости). Так как кристаллы контактируют

друг с другом реакция одного кристалла может оказать влияние на всех своих соседей (т.е. деформация одного кристаллита влечёт за собой возникновение напряжений в соседних кристаллах). В некоторых случаях это взаимодействие кристаллов пренебрежимо мало. Это касается, например, парамагнитных свойств. В таком случае каждый кристалл испытывает только внешнее воздействие. В других случаях, например, упругие и пластические свойства, взаимодействие кристаллов существенно, и поэтому его необходимо учитывать.

26

5.3.1. Усреднение свойств без учёта взаимодействия зерен между собой

Рассмотрим простой случай отсутствия взаимодействия соседних кристаллов. Тогда каждый кристалл оказывается под воздействием одного и того же внешнего влияния, т.е. напряжения σkl определяются выражением (5.38). Тогда отклик εij зависит только от коэффициентов податливости Sijkl(g), где g – кристаллографическая ориентация отдельного кристалла. «Отклики» всех кристаллов необходимо усреднить, так чтобы определить среднее свойство. Для этого необходимо воспользоваться функцией распределения кристаллитов по ориентациям (ФРО), которая определяет относительную объёмную долю кристаллитов с ориентацией g (рис. 5.6):

Рис. 5.6. Ориентационное распределение кристаллитов

в поликристаллическом материале: KА – система координат образца;

KВ – система координат кристалла (зерна)

Тогда свойство поликристаллического агрегата представляет собой среднее взвешенное значение коэффициентов монокристалла:

Рассмотрим макроскопическое свойство в некотором направлении образца y = [y1 y2 y3] = {αβ}. Если известно свойство монокристалла S(hkl) в некотором кристаллографическом направлении, а dΩ - элемент телесного угла, то свойство в выбранном направлении m запишется следующим образом:

где

27

является функцией распределения нормалей [hkl] кристаллов и выражается через ФРО как

Заслуживает внимания тот факт, что функция анизотропии монокристалла S(θγ) = S(hkl) должна удовлетворять симметрии кристалла, тогда как усреднённое свойство должно характеризовать симметрию образца.

Обе симметрии полностью независимы друг от друга. Без детального рассмотрения текстуры, можно только сказать, что функция свойств поликристалла S(αβ) будет располагаться где-то между максимальными и минимальными величинами функции свойств монокристалла, как схематически показано на рис. 5.7.

5.3.2. Расчёт анизотропии свойств поликристалла с учётом взаимодействия зёрен между собой

Чаще всего взаимодействием кристаллов пренебречь нельзя, т.е. каждый кристаллит «чувствует» влияние соседних зёрен. Взаимодействие с соседними зёрнами выражается в изменении напряжений σ , действующих на рассматриваемый кристаллит, на величину Δσ. Последняя величина отличается для каждого кристалла. Она может зависеть от ориентации рассматриваемого кристаллита g, а также от формы, размера, способа распределения зёрен и ориентации соседних зёрен. Тогда среднее значение деформации (отклика) для всех зёрен можно записать следующим образом:

28

где Sijkl – простое усреднение в соответствии с уравнением (5.48). Так как σkl (g, t) из выражения (5.51) зависит от большого числа

параметров t помимо ориентации рассматриваемого кристаллита g,

~

истинная средняя величина S зависит именно от этих структурных параметров, в числе которых текстура. Несколько теорий~ предло-

жено для оценки истинного среднего значения величин Sijkl . При-

ближение к истинному значению упругих свойств можно получить следующим образом: закон Гука можно сформулировать двумя способами:

Первый случай реализуется во всех кристаллах, которые представляют собой плоские пластины, перпендикулярные направлению воздействия напряжений (рис. 5.8, а), а второй – соответствует кристаллам, вытянутым в направлении воздействия напряжений

29

(рис. 5.8, б). В действительности такие случаи не встречаются. Зёрна чаще бывают равноосными. Тогда можно рассчитать среднее из двух экстремальных величин:

Такие усреднения по Хиллу обычно оказываются ближе всего к истинным величинам свойств в поликристаллических материалах (рис. 5.9). Иными словами, истинные величины определяются свойствами отдельных кристаллитов и действительным способом их взаимодействия.

× - Ройсс

□- Фойгт

-Хилл(S)

◊- Хилл(C)

• - эксперимент

Рис. 5.9. Сопоставление расчётных и измеренных зависимостей изменения модуля Юнга в плоскости прокатанного медного листа

(НП – направление прокатки)

30