Загребаев Методы обработки статистической информации в задачах контроля 2008

наименьших квадратов), а на участках (−∞,η0 ) , (η1,∞) – модульная (метод наименьших модулей).

Рис. 3.12. График оптимальной функции потерь

Для определения η0 , η1 и k в формуле (3.5.66) воспользуемся

условиями теоремы Хубера (3.5.52) и (3.5.53). Запишем их для приближенно нормального распределения помехи:

Из условия (3.5.68) получаем значения η0 и η1 :

Подставим (3.5.69) в условие (3.5.67):

261

Тогда уравнение (3.5.70) можно преобразовать к виду

Достоинством последней записи является то, что она не зависит от параметра ση2 .

Полученное уравнение не может быть решено аналитически и решается численно. Результаты решения, соответствующие различным α, приведены в табл. 3.7.

Преобразуем выражение (3.5.65) и (3.5.66), используя обозначе-

ния (3.5.69):

262

где = ξ ση .

Запишем теперь рекуррентный алгоритм, соответствующий этой функции потерь для идентификации параметров линейного регрессионного объекта. Для этого воспользуемся абсолютно оптимальным рекуррентным алгоритмом, полученным в предыдущем разделе (см. формулы (3.4.61а) и (3.4.61б)), подставив в качестве f (η)

оптимальную на классе плотность распределения f * (η) , опреде-

ляемую соотношениями (3.5.73). Произведя несложные преобразования, получим:

263

I F* – фишеровская информация, соответствующая оптимальной на классе плотности распределения f * (η) (3.5.73), которая определяется формулой [4].

Подставляя полученное выражение для фишеровской информации в рекуррентные соотношения (3.5.79), запишем окончательную форму рекуррентного алгоритма для оценивания параметров регрессионного объекта при условии, что на систему действует случайная помеха, имеющая приближенно нормальный закон распределения:

Для инициализации рекуррентного процесса используются на-

чальные приближения оцениваемого параметра ˆ

b (0) и матрицы Γ(0) . Окончание рекуррентного процесса связано с прекращением

нормального функционирования объекта идентификации, в частности, с получением достоверной информации от датчиков.

Для тестового примера был выбран регрессионный объект

y(i) = b1u1(i) +b2u2 (i) +b3u3 (i) + η(i)

с параметрами

b1 = 4 ; b2 = 6,5 ; b3 =8 .

264

Входные воздействия u1(i) , u2 (i) , u3 (i) имели нормальный закон распределения: Mu1 = 2 , σu21 =100 ; Mu2 = 4,5 , σu22 =100 ; Mu3 = 6 ,

Оценка эффективности алгоритма Хубера по сравнению с обычным рекуррентным алгоритмом с квадратичной функцией потерь проводилась при следующих статистических характеристиках распределений:

1.ση = 0,5; α = 0,1; σηвыбр = 10;

2.ση = 0,5; α = 0,1; σηвыбр = 50;

3.ση = 0,5; α = 0,1; σηвыбр = 100;

4.ση = 0,5; α = 0,3; σηвыбр = 10;

5.ση = 0,5; α = 0,3; σηвыбр = 50;

6.ση = 0,5; α = 0,3; σηвыбр = 100.

На рис.2.2.5 представлены графики сходимости сглаженной ошибки оценки по двум алгоритмам: алгоритм с использованием теоремы Хубера и рекуррентный алгоритм, соответствующий методу наименьших квадратов.

Из графиков видно, что эффективность использования рекуррентного алгоритма с использованием теоремы Хубера возрастает с увеличением вероятности выброса α и с увеличением интенсивности выброса. При больших α и σηвыбр (рис. 3.13) обычный рекуррентный алгоритм практически неработоспособен, тогда как алго-

265

ритм Хубера обеспечивает достаточно хорошую сходимость оценок к истинным значениям параметров.

α = 0,1, ση = 0,5, σηвыбр = 10: а – линейный алгоритм; б – алгоритм Хубера а)

α = 0,1, ση = 0,5, σηвыбр = 50: а – линейный алгоритм; б – алгоритм Хубера б)

Рис. 3.13. Зависимость сглаженной ошибки оценки от номера измерений

(см. также с. 267 – 268)

266

3.6. Применение методов оценивания параметров при обработке реакторной информации

3.6.1. Метод максимума правдоподобия при аппроксимации макрополей нейтронов

Многоточечная информация о плотности потока нейтронов, снимаемая N внутриреакторными датчиками, расположенными в

точках с координатами r1, ..., rN , обрабатывается с целью представления поля нейтронов [10] в виде:

i=1

где {ψi (rG)} – набор известных линейно независимых функций; {Ai } – набор коэффициентов, подлежащих определению.

Отметим, что согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям представление (3.6.1) справедливо не для самого поля нейтронов, а лишь для его отклонения от какого-либо начального или заданного распределения, т.е. достаточно хорошо линейным

набором функций {ψi (rG)} можно описать лишь функцию

δϕ(rG,t) = ϕ(rG, τ + t) − ϕ(rG,t) = ∑k Aiψi (rG) ,

i=1

что и необходимо при исследовании динамических свойств объекта и системы регулирования. Подразумевая это обстоятельство, в дальнейшем будем говорить о восстановлении поля нейтронов.

Итак, требуется определить неизвестный вектор A , если набор функций {ψi (rG)} известен и выбран таким образом, чтобы линейная комбинация функций ψi (r ) давала возможность описать лю-

бое распределение плотности потока нейтронов, встречающееся при эксплуатации реактора. Отметим, что специфика внутриреакторнойG информации состоит в том, что вектор показаний датчиков

C носит, вообще говоря, случайный характер. Задача сводится к нахождению оценки вектора A по однократной реализации случайного вектора C . Плотность вероятности этого случайного век-

269

тора в предположении, что он имеет нормальныйG закон распределения при данном значении параметра A , есть

тами которого являются математические ожидания плотности потока

ˆ

метричная корреляционная матрица измерений; K – определитель

корреляционной матрицы.

Следуя принципу максимума правдоподобия, необходимо подобрать вектор μ так, чтобы плотность вероятности наблюдаемой

совокупности значений c1, ..., cn была максимальной, т.е.

Отсюда получается система линейных уравнений максимума правдоподобия

Для получения системы уравнений относительно вектора A

В виде скалярного произведения двух векторов:

270