Загребаев Методы обработки статистической информации в задачах контроля 2008

Пусть квадратная матрица T(i) имеет вид

где κ – скаляр; t ( j) – вектор; U – постоянная симметричная мат-

рица той же размерности, то справедливо следующее рекуррентное соотношение:

где ν – большое число.

Таким образом, оптимальный рекуррентный алгоритм будет состоять из двух вычисляемых формул

221

где Γ(i) вычисляется на каждом шаге рекуррентного процесса по формуле (3.4.42) при начальных условиях (3.4.43). Начальное при-

ˆ

ближение c0 может быть задано любым вектором соответствую-

щей размерности.

В заключение данного раздела запишем рекуррентный оптимальный алгоритм для линейного динамического объекта

Как известно, оптимальная настраиваемая модель, соответствующая данному объекту, имеет вид:

Подставляя (3.4.45) в рекуррентные соотношения (3.4.42), (3.4.44), получим:

222

3.4.5.Оптимальная функция потерь

Впредыдущем разделе была получена формула, которая отражает зависимость АМКО от функции потерь F(η) и плотности

распределения шумов f (η) при оптимальном (в смысле минимума АМКО) выборе матрицы B

Будем считать, что плотность распределения ошибок измерений известна. Тогда поставим задачу подобрать такую функцию потерь F * (ε) , которая обеспечит минимальное значение АМКО.

Для решения этой задачи отметим, что любую функцию потерь можно представить в виде суммы F *(ε) + λδF(ε) , где δF(ε) –

малая вариация функции потерь, λ – скалярный множитель. Тогда АМКО будет функцией скалярного параметра λ и плотности распределения f (η) . Учитывая, что f (η) определена природой шума,

АМКО будет функцией только одного параметра λ:

ϕ(λ) = V(F * (ε) + λδF(ε), f ) .

В этом случае условие экстремума АМКО имеет вид:

ϕ′(λ) λ=0 = 0 .

Рассмотрим, что представляет собой матрица ϕ(λ):

ϕ(λ) = V(F * +λδF, f ) =

223

Тогда

∞∞

=∫ f ′(η)δF′(η)dη ∫ f (η)F *′2 (η)dη.

−∞ −∞

Преобразуя последнее выражение, можно записать:

Внесем интегралы, стоящие в знаменателях, под интегралы числителей, тогда получим

224

Так как δF ′(η) может быть любой функцией, то

или, после умножения обеих частей (3.4.47) на F *′(η) , получим

Нетрудно заметить, что последнее выражение представляет собой равенство нормированных функций. Это равенство справедливо только в том случае, если сами функции пропорциональны. Таким образом, получаем

f (η)F *′2 (η) = k1 f ′(η)F *′(η) ,

где k1 – коэффициент пропорциональности. Отсюда следует, что

F *′(η) = k1 ff ′((η)) ,

η

т.е.

F *′(η) = k1 ff′((η)) = k1{ln f (η)}′.

η

И, следовательно, оптимальная функция потерь определяется соотношением:

F* (ε) = k1 ln f (η) η=ε + k2 .

Впоследнем выражении неопределенными оказываются коэффициенты k1 и k2 . Для их определения рассмотрим графики типо-

вых плотности распределения шума η и логарифма от плотности распределения (рис. 3.5).

Как правило, плотность распределения f (η) является четной функцией, а логарифм плотности распределения – четная убывающая функция, имеющая максимальное значение при η = 0. Таким

225

образом, для того, чтобы F ′* (ε) = k1 ff ′((ηη)) имела смысл функции

потерь, т.е. имела минимум при ε = 0 (что эквивалентно η = 0), необходимо условие k1 < 0 (рис. 3.6).

Рис. 3.5. Типичный вид плотности распределения (а) и логарифма плотности распределения шума η (б)

Рис.3.6. График зависимости функции потерь от невязок ε при k1 < 0 и k2 > 0

Что же касается параметра k2 , то он определяет минимальное значение F * (0) . При k2 > k1 ln f (0) всегда выполняется неравенство F * (ε) > 0 .

Таким образом, оптимальная функция потерь не единственна, а зависит от параметров k1 и k2 . Этот факт является следствием того, что АМКО зависит не от F(ε) , а от F ′(ε) .

226

Для задач идентификации конкретные значения этих параметров несущественны. Удобно принять k1 = −1, а k2 = 0 . Таким об-

разом, оптимальная функция потерь равна логарифму плотности распределения помех с обратным знаком:

Сравнивая полученный результат с оптимизируемым критерием в методе максимума правдоподобия при аддитивной помехе можно сделать вывод об их полной идентичности.

Приведем примеры оптимальных функций потерь и их производных.

1. Нормальная плотность распределения помех (плотность распределения Гаусса) при условии взаимной некоррелированности измерений

Функция потерь, согласно (3.4.49), будет иметь вид:

F *(ε) = ε2 / 2ση2 (i) + ln 2πση(i) ,

Поскольку положение экстремума не зависит от постоянного слагаемого ln 2πση(i) , то можно записать следующий оптимизируемый критерий:

Таким образом, при нормальном законе распределения использование оптимальной функции потерь эквивалентно применению метода наименьших квадратов.

2. Экспоненциальная плотность распределения помех (плотность распределения Лапласа) при условии взаимной некоррелированности измерений

f (η) = 2α1(i) exp[− η / α(i)] = L(0,α(i)) .

227

228

В данном случае получили модульную функцию потерь. Использование метода наименьших квадратов дает худшие асимптотические свойства оценок.

3. Дробная плотность распределения помех (плотность распределения Коши) при условии взаимной некоррелированности измерений

В этом случае имеем:

F * (ε) = ln(α(i)2 + ε2 ) + ln π / α(i) ,

Эти и некоторые другие виды функций потерь и их производные приведены в табл.3.1 [13].

3.4.6. Асимптотическая матрица ковариаций ошибок оценки при оптимальной функции потерь

Найдем, чему равна асимптотическая матрица ковариаций при

Подставив выражение (3.4.53) для оптимальной функции потерь в формулу для АМКО (3.4.40), получим:

229

∫ f ′(η)[− f ′(η) / f (η)]dη

−∞

Приводя подобные члены, окончательно получаем:

−∞

Выражение, стоящее в знаменателе (3.4.54), называется информацией Фишера и обозначается IF ( f (η)) , т.е.:

230