Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лабораторная работа 6ЭФ.docx
Скачиваний:
12
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
82.42 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный педагогический университет

имени И.Н. Ульянова»

Кафедра физики

Элементарная физика Лабораторная работа № 6 Изучение планирования эксперимента и графических методов обработки экспериментальных результатов при определении ускорения свободного падения

Ульяновск, 2012

Цели работы: 1) изучение методов планирования эксперимента;

2) освоение методов обработки экспериментальных результатов при построении графиков;

3) ознакомление с одним из методов определения ускорения свободного падения.

Оборудование: секундомер, математический маятник переменной длины, рулетка.

Краткая теория

Галилей, изучая свободное падение тел вблизи поверхности Земли, обнаружил, что независимо от их массы тела падают с одинаковым ускорением, равным 9,8 м/с2. Запишем формулу для ускорения свободного падения, используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения:

(1)

Как видно из формулы, ускорение свободного падения определяется только массой Земли и расстоянием от ее центра и не зависит от массы тела. На значение ускорения свободного падения влияют различные факторы: вращение Земли вокруг оси, отклонение формы Земли от сферической вследствие этого вращения, неоднородность распределения массы внутри Земли. Стандартным значением ускорения свободного падения принято считать таковое на уровне моря на широте Парижа, оно равно 9,81 м/с2.

Метод определения ускорения свободного падения. Существует много различных методов определения g. Мы воспользуемся методом математического маятника. Под математическим маятником понимается материальное тело массой m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити, длина которой значительно превышает размеры тела. Период колебаний математического маятника определяется длиной нити и ускорением свободного падения:

(2)

Определяя из эксперимента период малых колебаний Т и длину маятника ℓ, можно найти ускорение свободного падения:

(3)

Планирование эксперимента. Для того, чтобы грамотно провести эксперимент, нужно правильно выбрать метод измерения, приборы, число измерений, удовлетворяющие поставленной задаче. Так как метод измерения ускорения свободного падения уже задан, оценим, каковы должны быть условия измерения, чтобы получить минимальную погрешность результата. Используя (3), получим формулу для относительной погрешности косвенного измерения ускорения свободного падения:

(4)

Очевидно, что эта погрешность определяется наибольшим из слагаемых под корнем. Проще проанализировать возможную относительную погрешность длины, поэтому с нее и начнем. Минимальная относительная погрешность длины= ∆ℓ/ℓ может быть достигнута увеличением самой длины ℓ и уменьшением ее абсолютной погрешности ∆ℓ, однако эти два процесса находятся в противоречии (увеличение ℓ ведет к увеличению и ∆ℓ). Проведем численные оценки в двух вариантах: настольном (заводском) и настенном (самодельном). В заводском варианте шкала длин с ценой деления 1 мм, однако, локализовать положение центра масс с погрешностью меньше 2-3 мм вряд ли возможно. Максимальная длина маятника в этом варианте 50 см. Таким образом, минимальная относительная погрешность длины порядка 2,5 мм/500 мм = 0,005 = 0,5%. Для настенного варианта можно сделать максимальную длину маятника около 2 м, однако, и точность ее измерения не лучше 1 см, что приводит к той же относительной погрешности длины 1 см/200 см = 0,005 = 0,5%. Уменьшить погрешность измерения длины без применения более точных приборов и методов определения длины маятника нельзя. Эта погрешность и есть наименьшая относительная погрешность, с которой мы можем измерить ускорение свободного падения на данных установках.

Как видно из формулы (4), чтобы погрешность определения периода не увеличивала погрешности окончательного результата, достаточно период измерить с относительной погрешностью 0,1%. Этого можно достигнуть двумя методами (которые можно применить одновременно):

  1. Определить период по времени t нескольких колебаний N.

  2. Провести многократные измерения при постоянной длине.

Оценим их возможности. Исходя из формулы периода T = t/N получим:

= = ∆t/t = ∆t/NT (5).

Погрешность времени ∆t при отсутствии систематической погрешности складывается из инструментальной и случайной погрешности, а случайная погрешность складывается из погрешности при включении и выключении (∆tвкл) и воздействия прочих случайных факторов в процессе колебаний (∆tпроч):

(6).

Инструментальная погрешность не изменяется при увеличении числа измерений и ее вклад в можно уменьшить только увеличением числа колебаний в каждом измерении (только метод 1), случайная уменьшается обратно пропорционально корню из числа измерений и может быть уменьшена обоими методами. Погрешности инструментальная и включения-выключения не изменяются при изменении числа колебаний, а поскольку с увеличением числа колебаний общее время увеличивается прямо пропорционально числу колебаний, тем самым согласно (5) будет уменьшаться относительная погрешность периода , причем приблизительно обратно пропорционально числу измерений (а не корню из N, как при увеличении числа измерений по 2 методу). Таким образом, первый метод для уменьшения вклада в предпочтительнее второго.

Оценим минимальное число колебаний в одном опыте, полагая = 0. Положим инструментальную погрешность равной цене деления секундомера (в действительности она, по-видимому, несколько больше).

Тогда в настольном варианте ∆tинстр = 0,001 с, включение и выключение секундомера осуществляется с помощью светового датчика и погрешность ∆tвкл того же порядка (0,001 с), из (2) при ℓ = 0,5 м период приблизительно равен 1,5 с, тогда из (5) N = ∆t/(εТ∙Т) ≈ , т.е. достаточно и одного колебания, но все же лучше измерить время 10 колебаний. В настенном варианте ∆tинстр = 0,01 с, однако включение и выключение секундомера осуществляется вручную и погрешность ∆tвкл следует взять равной 0,1 с, да и то при некоторой тренировке. Пусть период равен 3 секундам, тогда N = ∆t/(εТ∙Т) ≈ , т.е. нужно порядка 30 колебаний. Влияние числа колебаний в каждом измерении и числа измерений на вклад ∆tпроч в εТ приблизительно одинаково - εТ уменьшается обратно пропорционально корню из того и другого, поэтому дальнейшее уменьшение εТ будем проводить вторым методом – увеличением числа измерений.

Если измерения проводятся при постоянных условиях (в нашем методе неизменна длина маятника и число колебаний), число измерений, необходимое для достижения требуемой погрешности ∆tслуч, можно оценить следующим образом: измерив величину t несколько раз (например, 5), можно оценить среднеквадратичную погрешность отдельного измерения

σ = St = , где (7)

Можно считать, что при дальнейших измерениях полученная величина σ существенно изменяться не будет, а будет только уточняться (она зависит только от условий опыта, которые постоянны). Из теории известны соотношения между среднеквадратичными отклонениями отдельного измерения σ, выборочного среднего σm и случайной погрешностью ∆tслуч:

St ≈ σm ≈ σ/, ∆tслуч(m) = St∙tα,m = σ∙ tα,m/ (8),

где m – требуемое число измерений (здесь оно неизвестно), а tα,m – коэффициент Стьюдента. Из (8) видно, что ∆tслуч с увеличением числа измерений уменьшается обратно пропорционально корню из числа измерений. Таким образом:

m ≈ (σ/σm)2 ≈ (σ/ St)2 ≈ (σ ∙tα,m/∆tслуч)2 (9)

Поскольку коэффициент Стьюдента слабо зависит от числа измерений, по формуле (6) и таблице коэффициентов Стьюдента можно получить оценку требуемого числа измерений, если заранее задать требуемую случайную погрешность и надежность α.

Оценим требуемую случайную погрешность для наших установок. исходя из выбранного числа колебаний N в одном измерении максимальная погрешность для настольного варианта ∆t = εТ∙t = εТ∙N∙T = 0,001∙10∙1,5 с = 0,015 с ≈ ∆tслуч, для настенного - ∆t = εТ∙t = εТ∙N∙T = 0,001∙30∙3 с = 0,09 с ≈ ∆tслуч ( согласно (6), т.к. в обоих случаях инструментальная погрешность значительно меньше случайной).

Следует учесть, что формулы (7) и (9) является только оценочными, поэтому число измерений в эксперименте лучше сделать в 1,5 – 2 раза больше полученного по формуле (9).

Графические методы обработки экспериментальных результатов. Чтобы выявить возможные систематические погрешности, ускорение свободного падения в данном методе лучше определить по зависимости квадрата периода от длины маятника. Оценка необходимого числа измерений, сделанная при планировании эксперимента, будет и в этом случае пригодна для полного числа измерений (экспериментальных точек). Из (3) следует теоретически ожидаемый результат:

Т2 = (10)

Из формулы видно, что зависимость Т2 от должна быть прямо пропорциональной, графиком такой зависимости является прямая, проходящая через начало координат. Построив ее в координатах Т2(ℓ), легко найти ее угловой коэффициент k (численно равный тангенсу угла наклона графика), а следовательно и g:

g = (11)

запишем уравнение (10) в виде у = kх, где у = Т2, х = ℓ, k – искомый коэффициент. Дальнейшую обработку следует провести ниже описанными методами.

Метод наименьших квадратов. Этот метод не слишком сложен в том случае, когда погрешностью величины х можно пренебречь (в нашем случае погрешностью длины, которая порядка инструментальной погрешности и достаточна мала). Для произвольной линейной зависимости

у = kх + b (12)

с помощью этого метода находится угловой коэффициент k и параметр b, для которых

[yi – (kxi + b)]2 = min, т.е. сумма квадратов отклонений (отсчитанных по направлению оси у) экспериментальных точек от прямой у = kх + b будет минимальна. Метод наименьших квадратов дает следующие наилучшие оценки для параметров k и b и их среднеквадратичных погрешностей Sk и Sb:

k = (13)

b = - k (14)

Sk2 = (15)

Sb2 = (16)

где = , = , D = 2.

В случае прямо пропорциональной зависимости параметр b в пределах погрешности должен быть равен нулю, т.е. модуль параметра должен быть меньше собственной погрешности, в чем следует убедиться:

Sbtn, (17),

где  - коэффициент надежности, tn, - коэффициент Стьюдента, n – число экспериментальных точек. Если условие (17) выполняется уже для малых коэффициентов надежности (0,5-0,8), данная систематическая погрешность отсутствует, если условие (17) не выполняется даже для больших коэффициентов надежности (0,99 -0,997), в результатах явно присутствует систематическая погрешность. Однако, и в последнем случае погрешность такого вида (параллельный сдвиг графика) будет автоматически устранена, если для определения параметра k воспользоваться формулой (13).

Если указанная систематическая погрешность отсутствует, то можно считать, что зависимость описывается формулой у = kх. В этом случае для прямой, проходящей через начало координат, метод наименьших квадратов дает более простые формулы для коэффициента k и его среднеквадратичной погрешности Sk:

k = (18)

Sk2 = (19)

В любом варианте абсолютная погрешность коэффициента k определяется по формуле:

∆k = Sktn, (20)

(пример расчета по методу наименьших квадратов см. Приложение)

Метод парных точек. Этот метод проще и может быть применен в школе, и хотя он не столь точен и строг, как метод наименьших квадратов, часто оказывается вполне удовлетворительным. Он лучше всего применим в случае, когда значения отстоят друг от друга на почти одинаковые интервалы (т.е. в нашем опыте длину маятника следует изменять каждый раз приблизительно на одну и ту же величину). Число измерений должно быть четным.

Поясним суть метода на основе 10 измерений (10 экспериментальных точек с различными ). Следует пронумеровать их в порядке возрастания величины х о 1 до 10. Если взять точки 1 и 6, то ими определяется некоторая прямая, угловой коэффициент которой можно вычислить по формуле

k1 = .

Точно так же поступают с другими парами точек (2-7; 3-8; 4-9; 5-10), определяя еще 4 значения углового коэффициента. Полученные 5 значений углового коэффициента обрабатывают обычным способом: находят среднее значение, среднеквадратичное отклонение и доверительный интервал с той надежностью, что и в методе наименьших квадратов. Этот метод вычислений также автоматически устраняет систематическую погрешность, появляющуюся в параллельном сдвиге графика (пример расчета по методу парных точек см. Приложение).

Окончательный результат следует сравнить с результатом, полученным более строгим и точным методом наименьших квадратов и сделать соответствующие выводы.

Определив среднее значение углового коэффициента по формуле (11) можно найти среднее значение ускорения свободного падения. Исходя из вида формулы (11) и пренебрегая погрешностью числа , взятого с точностью не менее пяти значащих цифр ( ≈ 3,1416), легко получить формулу для относительной погрешности εg ускорения свободного падения (выведите самостоятельно) и по ней найти абсолютную погрешность ∆g.