Описание установки

Изучение закона нормального распределения погрешностей проводится на механической модели, называемой доской Гальтона. Установка состоит из вертикальной доски 1, на которой закреплены в шахматном порядке стержни 2, служащие для рассеивания шариков, поступающих из хранилища 3, расположенного вверху доски. Под стержнями расположены одинаковые ячейки, разделенные перегородками одинаковой высоты 4. Шарики удерживаются в хранилище стерженьком 5, закрывающим отверстие, через которое шарики высыпаются из хранилища. Лицевая часть доски закрыта стеклом.

Зерна сыпучего материала, например, пшена, падая из воронки, неоднократно ударяются о штырьки и отклоняются от вертикального направления. Положительные и отрицательные направления отклонения равновероятны. Вследствие большого числа таких рассеивающих центров, зерна могут попасть в любую из ячеек. Если каждой ячейке присвоить определенный номер (координату x =...,-5,...,0,...,5,...), то можно говорить о распределении зерен по координатам (ячейкам) x_i. Число x_i (случайная величина - номер ячейки, в которую попадет зерно) дает значение отклонения расположения зерна от среднего положения, принятого за ноль - начало координат. Вероятность попадания зерна в i-ю ячейку может быть оценена как отношение числа зерен, попавших в эту ячейку - n_i, к общему числу всех высыпанных зерен N.

(9)

Роль плотности вероятности f(x) в данном случае будет играть отношение

(10)

где Δx - ширина ячейки, которая в нашем случае выбирается за единицу.

Условие нормировки будет иметь вид:

Число зерен в i-ой ячейке можно выразить через уровень зерна в этой ячейке: n_i = ay_i, где a - коэффициент пропорциональности. Общее число зерен во всех ячейках:

Эмпирическое значение плотности вероятности можно найти из отношения:

, т.к. Δx=1 (11)

Теоретическая зависимость распределения зерен по ячейкам при большом числе зерен и бесконечно узких ячейках будет гауссовой:

(12)

где ϭ (см. формулу 8) с учетом того, что каждое отклонение x_i , а следовательно и каждое значение x_i² входит в данную серию измерений n раз (где n_i = аy_i), запишется следующим образом:

Ход эксперимента

1. Опыт проводится сначала с плато, на котором имеется три ряда штырьков (малое число рассеивающих центров имитирует в данном случае малое число случайных факторов). Через воронку равномерно высыпается зерно до тех пор, пока одна из центральных ячеек не заполнится почти доверху. Линейкой измеряются высоты y_i заполнения ячеек. Результаты измерений заносятся в таблицу 1.

Таблица 1

xi	yi
-13 … 0 … +13
	∑yi

Величина x_i отсчитывается относительно центра (x = 0), лежащего на оси непосредственно под отверстием воронки. По данным таблицы 1 строится гистограмма (она получается в виде "ступенчатой" линии). На горизонтальной оси откладываются в масштабе значения x_i , а по вертикальной - соответствующие значения f(x). Определите по виду гистограммы, похоже ли распределение на гауссово, и объясните, по каким признакам вы это установили. Сделайте окончательный вывод, является ли распределение зерен в этом опыте нормальным (гауссовым).

2. Опыт проводится с плато, на котором расположено двенадцать рядов штырьков (много случайных факторов). Результаты заносят в таблицу 2.

Таблица 2

xi	yi(1)	yi(2)	yi(3)
-13 … 0 … +13

Повторяют измерения не менее трех раз с одинаковым количеством пшена, y рассчитывается как среднее значение в каждом столбце из трех измерений. По данным таблицы строится гистограмма f(x) от x . На этом же графике другим цветом строится теоретическая зависимость f(x) по формуле (12) (она имеет вид плавной кривой). Для построения этого графика следует заполнить таблицу 3 и расчитать предварительно значение множителя .

Таблица 3

xi	xi2	xi2
-13 … 0 … +13			σ=
	=

Определите по близости экспериментальной гистограммы и кривой нормального распределения, близко ли распределение к гауссову. Нанесите на график границы интервала ±σ и определите из экспериментальной гистограммы вероятность попадания зерен внутрь этого интервала. Сравните полученные результаты с теоретическими. Сделайте окончательный вывод, является ли распределение зерен в этом опыте нормальным (гауссовым).