Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление_эл_учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

2.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

			2	3x 1					2		xdx		2		dx		3	2	2xdx			2			dx
							dx	3
				x2	4		dx	3			x2 4			x2 4			2		x2 4					x2 4
			0						0				0					0				0
3		2			1			x		2	3				1					3			1			3		π
3		2			1			x		2	3				1					3			1			3		π
	ln(x		4)			arctg						ln8				arctg1					ln 4				arctg0		ln 2		.
	ln(x		4)			arctg						ln8				arctg1					ln 4				arctg0		ln 2		.
2					2			2		0	2				2					2			2			2		8
										0

Пример 2. Найти x cos xdx

Ответ: 2 .

Помочь?

Подсказка 1.

При вычислении воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница.

f (x)dx F (x) ba

F (b) F (a) , где F (x) – произвольная первообразная для

f (x) на a, b .

Как..?

Подсказка 2.

Для нахождения первообразной примените метод интегрирования по ча-

стям.

Напомнить?

Подсказка 3.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

b		b
udv (u v)	ba	vdu .


a		a
			Дальше?
Подсказка 4.
В качестве функции u(x) выберите		x , т.е. u(x) x , тогда	dv cos xdx .

Найдите du и v(x) и воспользуйтесь выше приведенными формулами.

Не получается?

Подсказка 5.

u x,

du dx

x cos xdx

(xsin x)

0π sin xdx

dv cos xdx, v sin x

πsin π 0sin 0 cos x

π cos π cos0 2 .

Пример 3. Найти 2 arcsin 2xdx.

Ответ:

Помочь?

Подсказка 1.

При вычислении определенного интеграла воспользуйтесь формулой

Ньютона-Лейбница. Для поиска первообразной – методом интегрирования по

частям.

Как..?

Подсказка 2.

Вкачестве функции u(x) выбирайте arcsin 2x . Тогда dv dx . Найдите du

иv(x) и выполните интегрирование по частям.

Дальше?

Подсказка 3.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

			b						b
			udv (u v)				ba	vdu .


			a						a
							2dx
	В данном случае du (arcsin 2x) dx									, v x , тогда:

						1		4x2
						1		4x2
1		u arcsin 2x,	du		2dx						1	1
1												1

2												2		xdx
														xdx

arcsin 2xdx				1 4x2					(x arcsin 2x)		2	2			.

		dv dx,	v x										1 4x2
0											0	0	1 4x2
											0

При вычислении оставшегося интеграла воспользуйтесь теоремой:



									φ (x)			dx 2 φ(x) C.

										φ(x)
																							Не получается?
		Подсказка 4.
		xdx							1			8xdx			1								1
		xdx	(1	4x		)	8x		1			8xdx			1		2 1			4x			1		1 4x				C.
	1 4x2		(1	4x	2	)	8x	8				1 4x2			8		2 1			4x	2	C 4			1 4x		2		C.


		Тогда:
	1														1
2															1
2								012					1			2		1					1			π		1
arcsin 2xdx (x arcsin 2x)									2 (					1 4x2 )					arcsin1					(0 1)						.


											4				0			2					2		4		2
0											4							2					2		4		2
0

e ln xdx

Пример 4. Найти .

1 x

Ответ: 4 2e.

Помочь?

Подсказка 1.

При вычислении определенного интеграла воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница. Для нахождения первообразной – методом интегрирования по частям.

Как..?

Подсказка 2.
В данном интеграле u ln x,	dv	dx		. Найдите du и v .
	dv			. Найдите du и v .

			x

Не получается?

Подсказка 3.

du dxx , v 2x. Тогда

xdx

ln x)

x ln x)

1e (4

x )

2e 4( e 1) 4 2e.

Пример 5. Найти xe x2 dx .

Ответ: 12 (1 e 1) .

Помочь?

Подсказка 1.

Для нахождения первообразной выполните замену переменной t x2 .

Найдите соответствующие новой переменной t нижний и верхний пределы ин-

тегрирования. Далее воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница.

Не понятно?

Подсказка 2.

Замена переменной в определенном интеграле проводится по формуле:

b	t2
		φ(t2 ) b.
если x φ(t) , то f (x) dx f [φ(t)] φ (t) dt , где φ(t1) a,		φ(t2 ) b.
a	t1

Дальше?

Подсказка 3.

1	t x	2	,
xe x2 dx	t x		,
0	tH 0,

Пример 6. Найти

Ответ: 254π .

Подсказка 1.

dt 2xdx					1	1		1	0		1			1
						1			0
							et dt			et dt		et	0		(1	e 1 ).


t		1			2			2			2		1	2
t	B	1			2			2			2			2
	B					0			1
5			x2
				dx.


0			25 x2

Помочь?

Подынтегральная функция – рациональная функция переменных x и

		x2
25 x2 , т.е. R(x,	25 x2 )	x2
				. Для нахождения первообразной вы-


		25	x2

полните замену x 5sin t . Внимание! Не забудьте пересчитать пределы инте-

грирования. Они должны соответствовать новой переменной t .

Как…?

Подсказка 2.

Замена переменной в определенном интеграле проводится по формуле:

							b								x φ(t)										t2
							b																		t2
							f (x) dx

														φ(t1)					a, φ(t2 ) b						f [φ(t)] φ (t) dt.
							a							φ(t1)					a, φ(t2 ) b						t1
							a																		t1					Дальше?
																														Дальше?
Подсказка 3.
5				x2						x 5sin t,									dx 5costdt
										x 5sin t,									dx 5costdt

								dx				0 tH 0,									xB 5 tB						π


0			25 x2							xH
0			25 x2							xH																	2
																											2
		π																π											π
																													π
	2		25sin2 t 5cost													25 2								25			1
	2		25sin2 t 5cost													25 2								25			1		2
											dt								(1 cos 2t)dt							t		sin 2t
											dt								(1 cos 2t)dt							t		sin 2t
					5cost											2							2				2
	0																0												0
		25 π					1					25							0)	25π
									sin π							(0						.
									sin π							(0						.
		2 2					2						2								4
														π
													2
Пример 7. Найти sin5 xdx.
													0
Ответ:						8		.
Ответ:					15			.
					15

Помочь?

Подсказка 1.

Подынтегральная функция – рациональная функция аргументов sin x и cos x , нечетная по переменной sin x . Рекомендуемая замена t cos x .

Дальше?

Подсказка 2.

	x arccost , 0 x π , dx	dt
В этом случае		dt		, sin x	1 t2 .


		1	t2
		1	t2

Найдите пределы интегрирования, соответствующие новой переменной t .

Дальше воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница.

																												Не понятно?
Подсказка 3.
Пределы							интегрирования,														соответствующие новой переменной t :
x arccos t ,				t cos x .
1) xH 0											tH cos0 1;
2) x						π					t			cos			π		0 .
2) x		B									t	B		cos					0 .
		B			2							B					2
					2												2
Далее по формуле замены переменной в определенном интеграле.
																												Как…?
Подсказка 4.
	π
2							0										dt						1				1
2							0																1				1
sin5 xdx										1 t2					5						dt 1 t2					2	dt (1 2t 2 t 4 )dt


																	1 t2
0							1										1 t2						0				0
			2		3		1		5		1					2		1					1	1	8
											1

t				t				t					1							0								.
t				t				t					1							0								.
			3				5				0					3		5					3	5	15
			3				5				0					3		5					3	5	15

															3				dx
Пример 8. Найти																			dx			.



															1		(1 x2 )3

Ответ: 3 2 . 2

Помочь?

Подсказка 1.

Подынтегральная функция

– рациональная

функция переменных

x и

1 x2 : R(x,

1 x2 )

Рекомендуемая замена x tg t .

x2 )3

Дальше?

Подсказка 2.

В этом

случае

1 x2

1 tg2 t

, т.е.

1 x2

cos2 t

cos t

Найдите соответствующие переменной t

пределы интегрирования.

Не получается?

Подсказка 3.

x tgt

t arctg x , тогда

1) x

arctg1

;

2) x

arctg

Далее выполните замену переменной в определенном интеграле.

Как..?

Подсказка 4.

				π									π

3		dx	3					dt				3
		dx						dt				costdt (sin t)

								1			3
											3
1	(1 x2 )3 π					2							π
					cos		t
			4		cos		t					4
								cost
							5
							5		x 1
Пример 9. Найти									x 1	dx.
Пример 9. Найти										dx.
							1		x
							1

Ответ: 2 2 arctg 2 .

π
π		π		π	3	2
	sin		sin				.
3
3
π		3	4		2
4		3	4		2
4

Помочь?

Подсказка 1.

Избавьтесь от иррациональности в подынтегральной функции с помощью

замены x 1 t.

Как..?

Подсказка 2.

Пределы интегрирования, соответствующие переменной t : t x 1 , то-

гда

1) xH 1	tH 0;

2) xB 5	tB 5 1 2.

Далее по формуле замены переменной в определенном интеграле.

Не понятно?

Подсказка 3.

5		2				2
5	x 1	2			t	2	t2dt
			dx			2tdt 2		.
	x		dx	t2	1	2tdt 2	t2 1	.
1		0				0

Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Надо представить ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.

															Как..?
	Подсказка 4.
		t2			(t2 1) 1				1			1	. Тогда

					t2 1						t2	1
		t2 1			t2 1						t2	1
5				2
5	x 1			2					1
	x 1			2					1			2(t arctg t)		2	2(2 arctg 2) 0 2(2 arctg 2).
			dx			1				dt				0
			dx			1		2		dt				0
1		x		0			t		1
1		x		0			t		1

			64				3
			64	(2				x )dx
Пример 10.		Найти		(2				x )dx			.
Пример 10.		Найти		6		2					.
			1	6	x	2	3 x		x	x
		3
Ответ: 6	5ln		1 .
Ответ: 6	5ln		1 .
		2

Помочь?

Подсказка 1.

Подынтегральная

функция

–

рациональная

функция переменных

2 3

x, x 2

, x 3

, x 6 :

R(x, x 2

, x 3 , x 6 )

Рекомендуемая замена

x 2 3

x t6.

Дальше?

Подсказка 2.

В этом случае

dx 6t5dt,

x t3 ,

3 x t2 , 6

x t. Найдите пределы

интегрирования, соответствующие новой переменной t и выполните замену пе-

ременной.

Как..?

Подсказка 3.

x t6

t 6 x , тогда

1) x

6 1 1;

2) x

6 64 2 .

Замена переменной в определенном интеграле проводится по формуле

x φ(t),

f (x) dx

a φ(t1), b φ(t2 )

f [φ(t)] φ (t) dt.

Не понятно?

Подсказка 4.

(2 3 x )dx

(2 t2 ) 6t5dt

6 x

2 3 x

(t 2t

) t

2 t(2 t2 )

t3 2t

dt 6

dt.

2t 1

2t5 (2 t 2 )dt

61 t4 (t2 2t 1)

Подынтегральная функция – несократимая неправильная рациональная дробь. Необходимо представить ее в виде суммы целой части и правильной ра-

циональной дроби, выполнив деление числителя на знаменатель.

Как..?

Подсказка 5.

t3 2t

t2 2t 1

t 2

t3 2t2

2t2

4t 2

t3 2t

5t 2

Таким образом

t 2

. Тогда

t2 2t 1

2t 1

t3 2t

5t 2

6 t 2

dt .

1 t

2t 1

Так как

5t 2

5(t 1) 5 2

, то

(t 1)2

(t 1)

t3 2t

6 t

2t 5ln

t 1

2t 1

1 (t

t 1

6(2 4

5ln 3 1) 6

2 5ln 2

6 5ln

1 .

Задания для самостоятельной работы

	1				3 4x							π

1.									dx .		Ответ:			4(			3 2).
1.									dx .		Ответ:	2		4(			3 2).
	0						4 x2					2
	9					xdx							243
2.						xdx		.			Ответ:		243		.
2.			3					.			Ответ:				.
	0					x 1						10
	0
		π

	4						dx
	4												π	3
													π	3
3.										.	Ответ:					.
3.				3 2cos2 x						.	Ответ:			9		.
	0
											90

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.20158.88 Mб563инженерная графика.pdf
#
02.02.2015247.81 Кб26инсайдер.doc
#
02.02.2015448.51 Кб101Инструкция.doc
#
01.05.2025351.18 Кб1Инструкция.docx
#
02.02.2015271.87 Кб39ИнструкцияПоЭксплуатКиевГолосеевка.doc
#
22.05.20152.52 Mб49Интегральное исчисление_эл_учебник.pdf
#
01.07.20251.16 Mб1Интегрированный пакет Office MS Excel начало.doc
#
01.07.202542.74 Кб1интеллектуальная собственность.docx
#
03.09.2019333.31 Кб13Интимные мышцы.doc
#
25.08.2019518.14 Кб2Инф. после редактирования.doc
#
20.03.20167.7 Mб53Инф.системы и технологии в управлении - Лекции.pdf