Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1324 вуза, 5420 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Интегральное исчисление_эл_учебник

.pdf
Скачиваний:
49
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
2.52 Mб
Скачать
☆

Подсказка 3.

 

dx

 

 

2dt

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x 2sin x 3

1 t2

 

1 t 2

2

2t 2

3

1 t2 4t 3 3t2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg t 1 C arctg tg

 

1

C.

t

2

2t 2

t 1

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

Пример 8. Найти

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

sin3 4x

 

 

 

 

Ответ:

1

 

1

 

 

1

ln

 

tg 2x

 

 

tg2 2x

C .

 

 

 

 

tg2 2x

 

 

 

32

 

 

8

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1.

 

Способ 1. Подынтегральная функция – рациональная функция аргумен-

тов

sin 4x

и

cos4x ,

нечетная

по

 

переменной

sin 4x ,

т.е.

R sin 4x,cos4x R sin 4x,cos4x . Рекомендуемая замена cos4x t .

 

 

Способ 2. Выполнить универсальную подстановку: tg

4x

t , т.е. tg 2x t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальше?

 

Подсказка 2. При выполнении подстановки по способу 1 ( cos4x t ),

подынтегральная функция примет вид: r1

t

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

t2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

При выполнении подстановки по способу 2 ( tg 2x t ),

подынтегральная

функция примет вид:

r t

1 t2 2 . Очевидно, выбор следует сделать в поль-

 

 

 

2

16t3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зу способа 2.Выполните самостоятельно подстановку и возьмите получившийся интеграл от рациональной функции.

Не получается?

Подсказка 3.

61

По способу 2:

tg 2x t,

 

 

x

1

 

arctgt,

 

 

 

 

 

π

x

π

,

dx

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

,

sin 4x

2t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

dt

 

 

 

 

1 2t2 t4

 

dt

sin3 4x

 

2

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

3

 

16t3

 

 

 

16

t3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ln

t

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

16

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

ln

 

tg 2x

 

 

tg2 2x

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 tg2 2x

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 9. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

ln 3

 

 

 

 

1 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1.

 

 

Подынтегральная функция – рациональная функция пере-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Рекомендуемая замена: x t3 .

 

 

 

менных x и x3 : R x, x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальше?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсказка 2. В этом случае:

 

dx 3t2dt,

 

 

3 x t . Выполните подстановку

и возьмите интеграл от рациональной функции аргумента t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

3t2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2dt

 

 

 

 

 

tdt

 

 

 

3

 

 

 

2tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

t3 t

t

 

t2 1

t2 1

 

2

 

t2 1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 ln t2 1 C 32 ln 3x2 1 C.

62

Пример 10. Найти 9 x dx . x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x 3

 

Ответ: 2 9 x 3ln

 

C .

 

 

 

 

9 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1. Рекомендуемая замена 9 x t2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальше?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсказка 2. В этом случае

 

 

 

9 x t ,

x 9 t2 , dx 2tdt . Выполните

подстановку и возьмите интеграл от рациональной функции аргумента t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 t2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x

 

 

 

 

 

t

2t dt

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2

 

 

 

dt 2

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

x

9 t2

9 t2

 

9 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

dt 2

t

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2

9 x 3ln

 

 

 

 

 

 

C.

 

9 t

2

2

 

 

t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 11. Найти

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: tg arcsin x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1.

 

 

Подынтегральная функция – рациональная функция пере-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

менных x и

1 x2

 

: R x,

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

. Рекомендуемая замена: x sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а t arcsin x .

Дальше?

Подсказка 2. В этом случае dx costdt , 1 x2 cos2 t , 1 x2 cost . Вы-

полните подстановку и возьмите интеграл от рациональной функции перемен-

ных sin t и cost .

Не получается?

63

Подсказка 3.

dx

1 x2 3

Пример 12. Найти

Ответ: 1 sin arctg 4

 

costdt

 

dt

 

 

cos3 t

cos2 t

dx

x2 4 x2 .

x C .

2

tg t C tg arcsin x C.

Помочь?

Подсказка 1. Подынтегральная функция – рациональная функция пере-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

менных

x

и 4 x2 :

R x,

4 x2

 

 

 

.

Рекомендуемая замена:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

4

x2

 

 

 

x 2tgt ,

а

t arctg

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальше?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

4

 

Подсказка 2. В этом случае

dx

 

,

 

4 x2

4 1 tg2 t

 

. Вы-

cos2 t

 

cos2 t

полните подстановку и возьмите интеграл от рациональной функции перемен-

ных sin t и cost .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

 

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2dt

 

 

1

 

costdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

sin2 t

 

 

4 x2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

t 4 tg

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

Подынтегральная функция – рациональная функция переменных sin t и

cost :

R sin t,cost

cost

, нечетная по переменной cost . Рекомендуемая заме-

sin2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на z sin t . Выполните

подстановку

и

возьмите

интеграл от рациональной

функции аргумента z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как..?

Подсказка 4.

64

 

 

 

costdt

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2dz

 

 

C

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

C.

 

 

 

 

sin2 t

z2

z

sin t

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Пример 13. Найти

 

 

 

 

 

x3dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

1

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 125 tg arccos

 

 

 

 

 

tg

 

 

arccos

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

 

Подсказка 1.

Подынтегральная функция – рациональная функция аргу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ментов

x

и

 

x2 25 :

 

R x,

 

 

x2 25

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Рекомендуемая замена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

, а t arccos

5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальше?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5sin t

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Подсказка 2. В этом случае dx

 

 

 

 

dt, x

 

 

25

25

 

 

 

1

25tg

 

t ,

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

t

 

 

 

 

 

 

значит, x2 25 5tgt . Выполните подстановку и возьмите интеграл от рацио-

нальной функции переменных sin t и cost .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3dx

 

 

 

 

125 5sin tdt

125

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

cos3 t 5tgt cos2 t

cos4 t

 

 

 

 

 

x2 25

 

Подынтегральная функция – рациональная функция переменных sin x

и

cos x , четная по совокупности переменных. Рекомендуемая замена z tgt .

В

этом случае dt

 

dz

 

, cost

 

1

 

 

. Выполните подстановку и возьмите ин-

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 z2

 

 

 

 

 

 

теграл от рациональной функции аргумента z .

Как ..?

Подсказка 4.

65

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 z2 dz 125

 

z3

 

 

125

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

 

z

 

 

C

cos

4

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

1 z2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

5

C.

 

 

 

 

 

 

tg arccos

 

 

 

 

 

tg

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14. Найти x2 9 3 dx . x6

Ответ:

 

 

1

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

5

 

x

 

 

 

 

45sin

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Помочь?

Подсказка 1. Подынтегральная функция – рациональная функция пере-

 

 

 

 

 

 

 

x2

9

3

 

менных x и

x2 9 :

R x,

x2 9

 

 

. Рекомендуемая замена

 

 

 

x

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3tgt , а t arctg

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполните замену и найдите интеграл от рациональной функции пере-

менных sin t

и cost .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальше?

 

Подсказка 2. В этом случае dx

3

dt, x2

9

 

9tg2 t 9

9

 

, т.е.

 

 

 

 

cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2t

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 9

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 9 3

dx

 

27 3dt

 

 

1

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6

cos3 t cos2 t 3tg t 6

9

sin6 t

 

 

 

Подынтегральная функция – рациональная функция переменных sin t и cost , нечетная по переменной cost . Рекомендуемая замена z sin t . Выполните подстановку и возьмите интеграл от рациональной функции аргумента z .

Не получается?

66

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 5

1

 

 

cost

 

 

1

 

 

1 z2

 

 

 

 

dz

 

 

1

z 6dz

1

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

9

sin6 t

9

 

 

z6

 

 

 

 

9

9

 

5

 

 

 

1 z2

 

1

 

C

 

1

 

 

 

C

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45z5

 

 

45sin5 t

 

 

 

 

 

 

5

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45sin

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Задания для самостоятельной работы

Найти интегралы:

1. sin3 x dx . cos7 x

2. sin4 3xdx .

dx

3. 4 5sin x .

4. cos5 xdx .

5. 1 tg x dx .

1 tg x

6. tg4 xdx .

dx

7. 9cos2 x 16sin2 x .

8. sin4 x cos2 xdx .

9. sin3 x cos4 xdx .

dx

10. 3x 3x2 .

Ответ:

 

1

tg6

x

1

 

tg4 x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

3

x

 

1

sin 6x

1

sin12x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

ln

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: sin x

 

 

2

 

sin3 x

1

sin5

x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ln

 

1 tg x

 

 

ln

 

 

cos x

 

C .

 

 

 

 

Ответ:

 

1

tg3

x tg x x C .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

 

 

arctg

4 tg x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

x

 

 

sin 4x

 

 

sin3 2x

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

48

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

cos7 x

 

cos5 x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ln

 

33

 

x 1

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

67

11.

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

x2

x

12. 2 x dx . x

13. x2 9 dx . x2

14. x2 4 dx . x3

dx

15. 36 x2 3 .

16.

 

 

x2dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

x2

1

 

 

 

 

3

 

 

1 6

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

ln

 

 

3arctg

6 x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 6

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

2

 

 

 

 

Ответ: 2 2 x

 

 

2 ln

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Ответ:

 

1

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

C .

 

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

sin 2arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

tg arcsin

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

ln

tg

 

 

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Глава 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.1. Классы интегрируемых функций

Пусть функция y f (x) определена в интервале

a,b ,

a b .

Разделим

интервал a,b произвольным образом на n

элементарных

частей

точками

(рис. 4.1):

 

 

 

 

a x0 x1 x2 ... xn 1

xn b .

 

 

 

68

y

y f (x)

0 x a x1

x

x

x

x

x b

x

0

2

k 1

k

n 1

n

 

 

 

Рисунок 4.1

 

 

 

 

Обозначим через xk длину элементарного интервала xk 1, xk , то есть

 

 

 

 

 

xk xk

xk 1, k 1,2,...,n.

 

 

 

 

На

каждом

элементарном

интервале выберем произвольную точку

ξ

k

x

, x . Составим сумму:

 

 

 

 

k 1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

f ξk xk .

(4.1)

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

Число (4.1) называется интегральной суммой функции y f (x) на интер-

вале a,b , а число

f ξk xk назовем общим членом интегральной суммы.

 

 

 

 

Определение. Конечный предел интегральной суммы при max xk

0

называется определенным интегралом от функции y f (x) в интервале a,b и

обозначается следующим символом

b

 

n

b

f x dx , то есть

 

f x dx .

lim

f ξk xk

a

max xk 0 k 1

a

 

 

Функция y f (x) в указанном случае называется интегрируемой на ин-

тервале a,b . Числа a и b называются пределами интегрирования, причем b –

верхний предел, a – нижний предел.

По определению будем считать, что:

b

a

a

1) f x dx f x dx ; 2)

f x dx 0.

a

b

a

Рассмотрим некоторые классы интегрируемых функций.

69

1)

Функция

y f (x) ,

непрерывная на интервале a,b , интегрируема на

этом интервале.

 

 

2)

Функция

y f (x) ,

ограниченная на интервале a,b и имеющая на

нем лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на этом интервале.

3)

Ограниченная, монотонная на интервале a,b функция y f (x) ин-

тегрируема на этом интервале.

4.2. Свойства определенного интеграла

 

b

 

 

 

 

1)

dx b a .

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

2)

Пусть f (x)

интегрируема на интервале a,b , тогда λ f (x) λ const

 

 

b

 

b

 

также интегрируема, причем λf x dx λ f

x dx .

 

 

a

 

a

 

3)

Пусть функции f (x) , g(x)

интегрируемы на интервале a,b , тогда

функции

f (x) g x

также интегрируемы на интервале a,b и выполняется

равенство:

 

 

 

 

 

b

f (x) g

x dx b f x dx b g x dx.

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

a

4)

Пусть функция f (x)

интегрируема на интервалах a,c и c,b , тогда

она интегрируема на интервале a,b , причем

 

 

 

b

c

 

b

 

 

f (x) dx f (x) dx f (x) dx.

 

 

a

a

 

c

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда a c b . Разобьем

интервал

a,b на части так,

чтобы точка

c была одной из точек деления

(рис. 4.2).

Составим интегральную сумму:

70

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности