Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Интегральное исчисление_эл_учебник

.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
2.52 Mб
Скачать
☆

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Харьковский политехнический институт»

Ю.Л. Геворкян, Н.А. Чикина, И.В. Антонова

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Электронный мультимедийный учебник

Теория пределов и непрерывность Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

(теория и практика)

Учебное пособие

Харьков, 2014

УДК 517.983(075):510.223(075) ББК 22.143 Г27

Авторский коллектив:

Ю.Л. Геворкян, к.ф.-м.н., профессор, зав. каф. высшей математики НТУ «ХПИ» Н.А. Чикина, к.т.н., доц., профессор каф. высшей математики НТУ «ХПИ» И.В. Антонова, к.т.н., доц. каф. высшей математики НТУ «ХПИ»

Рецензенты:

В.А. Ванин, д-р техн. наук, профессор кафедры высшей математики НТУ «ХПИ» А.И. Поворознюк, д-р техн. наук, профессор кафедры вычислительной техники и программирования НТУ «ХПИ»

Електронний мультимедійний навчальний посібник містить теоретичний і практичний курс вищої математики з теорії границь, диференціального та інтегрального числення функцій однієї змінної. Частина теоретичного матеріалу додатково представлена у форматі відео – лекцій. Посібник створений сумісно з лабораторією нових технологій у навчанні Центру нових інформаційних технологій НТУ «ХПІ».

Призначений для студентів очної, заочної та дистанційної форм навчання у вищих технічних навчальних закладах.

Геворкян Ю.Л.

Г27 Высшая математика. Теория пределов и непрерывность. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной (теория и практика) [Текст] : учеб. пособ. / Геворкян Ю.Л., Чикина Н.А., Антонова И.В. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2013. – 337 с.

ISBN

Электронное мультимедийное учебное пособие содержит теоретический и практический курс высшей математики по теории пределов, дифференциальному и интегральному исчислению функции одной переменной. Часть теоретического материала дополнительно представлена в формате видео – лекций. Пособие создано совместно с лабораторией нових технологий в обучении Центра нових информационных технологий НТУ «ХПИ».

Предназначено для студентов очной, заочной и дистанционной формы обучения в высших технических учебных заведениях.

Ил. 12. Библиогр.: 15 назв.

 

УДК 517.983(075):510.223(075)

 

ББК 22.143

ISBN

© Ю.Л. Геворкян, Н.А.Чикина,

 

И.В.Антонова, 2014

 

© НТУ «ХПИ», 2014

ВВЕДЕНИЕ

С развитием компьютерных и мультимедийных технологий в учебный процесс вошли и активно используются обучающие и тестирующие программы по различным дисциплинам. Возросший интерес, как преподавателей, так и студентов, к такой форме обучения объясняется стремлением сегодняшних сту-

дентов к самостоятельной работе над предметом. Как показывает практика,

внедрение таких программ позволяет повысить не только интерес студентов к дисциплине, но и их успеваемость. Решению этой задачи в некотором смысле посвящено настоящее электронное издание. Основная цель его – закрепить у студентов систему фундаментальных представлений, связанную с понятием пределов, дифференциального и интегрального исчисления функции одной пе-

ременной, достаточную для усвоения технических дисциплин в диапазоне ин-

женерных специальностей, по которым готовит специалистов НТУ «ХПИ».

Электронный мультимедийный учебник «Высшая математика. Теория пределов и непрерывность. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной» состоит из теоретической и практической части.

Часть теоретического материала дополнительно представлена в формате видео

– лекций. Практическая часть – комплекс практических занятий (16 практиче-

ских занятий), который представляет собой по сути обучающие и тестирующие в режиме on-line программы по указанным разделам курса высшей математики,

созданные по принципу имитации «присутствия преподавателя». Эти програм-

мы дают возможность каждому студенту максимально индивидуализировать процесс обучения, осуществлять самоконтроль.

Материал представлен в электронной форме, может быть исполнен на любом оптическом носителе (CD-ROM, DVD и др.), а также опубликован в электронной компьютерной сети.

Программное обеспечение и техническая поддержка настоящего элек-

тронного издания осуществляется лабораторией новых технологий в обучении ЦНИТ НТУ «ХПИ».

3

Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3. 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

3.1.1. Основные определения

Одной из основных задач дифференциального исчисления является зада-

ча нахождения производной функции. Основной задачей интегрального исчис-

ления является обратная задача – отыскание функции по заданной ее производ-

ной.

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором интервале, если в каждой точке этого интервала

F (x) f x .

 

Пример 3.1. Функция

F(x) cos x

является первообразной для функции f x sin x на интервале

( , ) , так как [cos x] sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x

 

 

 

 

 

 

f x

 

x

 

на

 

Пример 3.2. Функция

4 x2 является первообразной для функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интервале ( 2, 2) , так как 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3.1. Пусть функция F (x) является первообразной для функции

f (x)

на некотором интервале. Тогда все остальные первообразные для функ-

ции

f (x) имеют вид F(x) C , где C – произвольная постоянная.

 

Определение.

Пусть

 

 

F (x) является первообразной

для функции

f (x) , тогда выражение F(x) C называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

4

f (x)dx F (x) C,

(3.1)

f (x) – подынтегральная функция,

f (x) dx – подынтегральное выражение.

Отыскание множества всех первообразных для заданной функции назы-

вается интегрированием.

Теорема 3.2. Любая, непрерывная на некотором интервале, функция име-

ет на нем первообразную.

В настоящем разделе будут рассмотрены первообразные лишь для непре-

рывных функций.

3.1.2. Таблица основных интегралов

Используя формулы, по которым вычислялись производные элемен-

тарных функций, можно составить таблицу интегралов.

1. dx x C . 9. sin x dx cos x C .

2. xαdx

xα 1

 

C

(α 1) .

α 1

 

 

 

3.dxx 2x C .

4.dxx ln x C .

 

 

dx

 

 

 

 

5.

 

 

arctg x C .

1 x2

6.

 

 

dx

 

 

arcsin x C .

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

7.

axdx

 

 

ax

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

8.

exdx ex C .

10.

cos x dx sin x C .

11.

 

dx

tg x C .

 

 

cos2 x

12.

 

 

dx

ctg x C .

 

 

sin2 x

13.ch x dx sh x C .

14.sh x dx ch x C .

15.

 

 

dx

cth x C .

 

 

 

sh2 x

16.

 

dx

th x C .

 

ch2 x

5

3.1.3. Основные свойства неопределенного интеграла

Прежде всего, отметим два свойства:

1.f (x) dx f (x) .

2.d f (x) dx f (x) dx .

3.dF (x) F (x) C .

Замечание. Эти три свойства неопределенного интеграла вытекают непо-

средственно из определения.

4. Свойство аддитивности:

[ f1(x) f2 (x) ... fn (x)]dx f1(x) dx f2 (x) dx ... fn (x) dx,

то есть неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого.

5. Свойство однородности:

[λf (x)]dx λ f (x)dx, где λ const .

Объединяя свойства 3 и 4, можно записать (свойство линейности),

 

 

n

 

n

 

 

 

 

λk fk x dx

λk fk x dx .

 

 

 

k 1

 

k 1

 

 

6. Инвариантность формул интегрирования.

 

 

 

f x dx F x C,

 

 

 

где u x

Пусть

 

тогда

u x du F u C,

извольная дифференцируемая функция аргумента x .

Доказательство. По определению

dF x f x dx.

что

– про-

В силу инвариантности формулы первого дифференциала, имеем

 

dF u f u du.

(3.2)

Проинтегрировав равенство (3.2), получим:

f u du dF u F u C.

6

sin x

Пример 3.3. Найти ctg x dx.

Решение. ctg x dx cos x dx . Известно, что cos x dx d sin x. sin x

Следовательно,

ctg x dx d sin x ln sin x C.

Аналогично получаем:

tg x dx ln cos x C.

Пример 3.4. Найти интеграл

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Нетрудно проверить, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

x

2

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a x a

 

x a

Применяя свойство линейности неопределенного интеграла, получаем:

 

 

dx

 

 

1

 

 

dx

 

 

 

1

 

 

dx

 

1

 

d (x a)

 

1

 

 

d (x a)

 

x

2

2

 

2a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

x a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a x a

 

 

 

2a x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

x a

 

C

1

 

x a

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

ln

 

x a

 

 

ln

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

3.2. Основные методы интегрирования

3.2.1. Интегрирование путем замены переменной

В основе метода замены переменной в неопределенном интеграле лежит следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть x φ t – монотонная дифференцируемая функция,

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx

 

f φ t

 

t dt.

(3.3)

 

 

φ

Формула (3.3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

7

Пример 3.5. Найти

 

dx

 

.

 

2

2

 

a

x

 

 

Решение. Положим x at , тогда

 

dx adt . Применив формулу (3.3), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

adt

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

1

 

arctg t C .

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

2

 

a

2

2

t

2

 

 

 

 

 

1 t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвращаясь к исходной переменной x , получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

arctg

x

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

x

2

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя ту же замену переменной x at , нетрудно получить формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.6. Найти x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x3 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Положим 4 x3

 

 

t , тогда dt 3x2dx , откуда x2 dx

 

1

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Применяя формулу (3.3), получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x2 4 x3 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

dt

2

(4 x3 )2 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.7. Найти

 

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Если положить ln x t ,

то получим dt

dx

. Откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln

3

 

 

t

3

2t

2

2 ln

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Пример 3.8. Найти

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Положим

 

x

 

 

a

x t , откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

x2

a x

dx dt , так что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

t

C ln

x

 

x

2

a

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполните практическое занятие 11.

8

Практическое занятие 11

Тема: Неопределенный интеграл. Инвариантность формул интегрирования.

Простейшие методы интегрирования.

Пример 1. Найти: (3x2 4x 7)dx .

Ответ: x3 2x2 7x C .

Помочь?

Подсказка 1. Воспользуйтесь свойством линейности неопределенного

интеграла.

Напомнить?

Подсказка 2. Свойство линейности неопределенного интеграла:

[α f (x) β g(x)]dx α f (x)dx β g(x)dx.

Для заданного интеграла

(3x2 4x 7)dx 3 x2dx 4 xdx 7 dx.

Далее воспользуйтесь табличным интегралом:

xndx

 

xn 1

 

C ,

n 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2dx 4 xdx 7 dx 3

x3

 

4

x2

 

7x C x3

2x2

7x C.

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

Замечание. dx вычисляем также по приведенному табличному интегра-

лу при n 0 : dx x0dx

x1

C x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти:

2x3 x4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

Ответ: x2 x3 3 C. 3 x

Помочь?

Подсказка 1. Преобразуйте подынтегральную функцию, выполнив

почленное деление, примените свойство линейности неопределенного интегра-

ла.

Не получается?

Подсказка 2.

f x

2x3 x4 3

2x x2

 

3

,

x2

 

x2

 

 

 

 

f (x)dx 2 xdx x2dx 3 dxx2 .

Далее воспользуйтесь табличным интегралом:

xndx

xn 1

 

C ,

n 1 .

n 1

 

 

 

Как?

Подсказка 3. Так как 1 x2

2 xdx x2dx 3 dx x2

x 2 , то

2

x2

 

x3

3

x 1

C x2

x3

 

3

C.

 

 

1

 

 

2

3

 

3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти

 

5

 

x 2

3 x5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

10

 

 

1

 

 

6

 

 

 

 

3

 

1

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

3 x

3

 

 

 

x3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1.

 

Преобразуйте

 

 

подынтегральную функцию, выполнив

почленное деление, примените свойство линейности неопределенного интегра-

ла.

Не получается?

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности