Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление_эл_учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Равны два многочлена, значит, равны коэффициенты, стоящие при оди-

наковых степенях переменной x . Запишем соответствующие равенства:

x2	1 A B C,	B C 2,	B 1,
x2	1 A B C,	B C 2,	B 1,
x1	0 A 2B C,	2B C 1,	C 1,
x0	2 2A,	A 1,	A 1.
Подставьте	найденные коэффициенты разложения и проинтегрируйте

простейшие рациональные дроби.

Как..?

Подсказка 4. f x

Следовательно,

f x dx

x 2

x 1

x 2

x 1

Пример 11. Найти

x3 7x2

dx .

x2 x2

ln x2 4

Ответ:

arctg

C .

Помочь?

Подсказка 1. Подынтегральная функция – правильная рациональная

дробь. Разложите ее на сумму простейших дробей и проинтегрируйте простей-

шие.

Не получается?

Подсказка 2. f x	x3 7x2 3 A			A Bx C
		1	2
						.
	x2 x2 4	x		x2	x2 4

Найдите коэффициенты разложения аналогично тому, как это было сде-

лано в примере 10.

Дальше?

Подсказка 3. Так как

x3 7x2 3 A1 x x2 4 A2 x2 4 Bx C x2 ,

то, сравнивая коэффициенты при разных степенях x многочленов слева и спра-

ва, получим систему линейных уравнений для нахождения неопределенных ко-

эффициентов:

x3	1 A1 B,	B 1,

		C	25		,
x2	7 A2 C,
			4
x1	0 4 A1,	A1 0,

x0	3 4 A2,	A2	3	.
			4

Подставьте найденные коэффициенты разложения и проинтегрируйте простейшие рациональные дроби.

Как?

Подсказка 4.

x3 7x2 3

3 dx

x2 x2 4

x2 4

2xdx

ln x2

arctg

C .

x2 4

Пример 12. Найти

x3 3x 1

dx .

x2 2x

Ответ:

C .

Помочь?

Подсказка 1. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Представьте ее в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (дробной части), выполнив деление.

Не получается?

Подсказка 2. Выполним деление:

	x3 3x 1			x2	2x
	x3 3x 1			x 2
				x 2
x3 2x2
		2x2 3x			,
		2x2 4x
			x 1

то есть f x x 2	x 1	.

	x2 2x

Проинтегрируйте полученное разложение.

Как?

Подсказка 3.

x 1

f x dx x 2 dx

x2 2x

x 1

x2 2x

x 2 dx

2 x 1

C .

x2 2x

Пример 13. Найти x3 2 dx . x3 x

Ответ: x 2ln x 32 ln x 1 12 ln x 1 C.

Помочь?

Подсказка 1. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь (степень числителя равна степени знаменателя). Выполнив деление,

представьте ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби

(дробная часть).

Не получается?

Подсказка 2. Выполним деление:

				x3 2	x3	x
				x3 2		1
						1

				x3 x		,
				x 2
то есть	f x 1	x 2	.
то есть	f x 1		.
		x3 x

Тогда f x dx x x 2 dx . x3 x

Правильную рациональную дробь разложите на сумму простейших.

Дальше?

Подсказка 3.	x 2	x 2	A	B	C	,

	x3 x	x x 1 x 1	x	x 1	x 1

x 2 A x 1 x 1 Bx x 1 Cx x 1 .

Сравнивая коэффициенты многочленов слева и справа при одинаковых степенях x , найдите неизвестные коэффициенты разложения.

			Не получается?
Подсказка 4.	Старшая степень многочлена справа x2 , поэтому будем
сравнивать коэффициенты при x2 , x и свободные слагаемые x0 .
			Как..?
Подсказка 5.
x2	0 A B C,	B C 2,	B 1,5,
x2	0 A B C,	B C 2,	B 1,5,
x1	1 B C,	B C 1,	C 0,5,
x0	2 A,	A 2,	A 2.

Подставьте найденные коэффициенты и проинтегрируйте рациональные

дроби.

Помочь?

Подсказка 6.

	x 2		2		1	3					1					1			1		.
			2							x 1											.
	x3 x				x	2				x 1						2		x 1
		x 2					dx					3				dx			1						dx					3			1
		x 2					dx					3				dx			1						dx					3			1
				dx 2																							2ln		x		ln	x 1		ln	x 1	C.
		x3 x						x				2			x 1					2				x 1			2ln		x	2			2			C.
		x3 x						x				2			x 1					2				x 1						2			2
Окончательно,
f x dx x 2ln									x				3	ln			x 1						1		ln	x 1		C.
													3										1

												2										2
												2										2

Задания для самостоятельной работы

Найти интегралы:

x 2 3xdx .

Ответ:

x 2

ln 3

1 3x cos 2xdx .

Ответ:

1 3x

sin 2x

cos 2x C.

x2 ln xdx .

Ответ:

ln x

4 3x e 2 xdx .

Ответ:

3x 4

e 2 x

e 2 x C.

xdx

Ответ:

ctg3x

sin 3x

sin2 3x

ln 1 4x2 C.

arcctg 2xdx .

Ответ: x arcctg 2x

x2 sin 4xdx .

Ответ:

cos 4x

sin 4x

cos 4x C.

Ответ:

x 1

x 1 x 2

x 2

dx .

Ответ:

1 x4

10.

7x 13

Ответ: 5ln

x 1

3x 1

x 1 3x

11.

x2dx

Ответ: ln

x 1

x 2 2 x 1

x 2

x 1

12.

x3dx

ln x2

2x 3

Ответ:

arctg

x2 2x 3

3.5. Интегрирование тригонометрических функций

В этом подразделе рассмотрим общий метод вычислений интегралов ви-

да:

R(sin x,cos x) dx,

(3.23)

где R(sin x,cos x) – рациональная функция относительно переменных sin x и

cos x .

Покажем что всякий интеграл вида (3.23) можно привести с помощью за-

мены переменной к рассмотренным ранее интегралам вида:

R1(t) dt,

где R1(t) – рациональная функция переменной t .

1) R(sin x,cos x) dx

сводится к

интегралу

от

рациональной

функции

подстановкой tg

t (универсальная подстановка),

π x π .

Действительно,

t, x 2arctg t, dx

2dt

1 t

sin x

2sin

cos

2 tg

sin x

sin

cos

1 tg

1 t

cos x

cos

sin

1 tg

1 t2

cos x

(3.24)

1 t

cos

2 sin

1 tg

Поскольку sin x, cos x, dx рационально выражаются через переменную t ,

то интеграл (3.23) с помощью указанной подстановки переходит в интеграл от рациональной функции переменной t , т. е.

R(sin x,cos x) dx R1(t) dt,

где R1(t) – рациональная функция переменной t .

Пример 3.26. Найти sindxx .

Решение. Подставив tg 2x t и применив формулы (3.24), получим:

					dx									2dt											dt				ln \| t \| C ln									tg		x		C.								(3.25)
											1 t2								2t										ln \| t \| C ln									tg				C.								(3.25)
				sin x															2t								t												2
																		1 t2
Применяя результат (3.25) и формулу приведения, получаем:
											dx										dx							ln								x	C.
											dx										dx															x
																																tg
																																tg				2
										cos x																						4				2
																	sin						x
																				2
Пример 3.27. Найти									dx							.

					3sin x 4 cos x
Решение. Полагая		tg	x			t		и применяя формулы (3.24), получаем:
Решение. Полагая		tg				t		и применяя формулы (3.24), получаем:
		2
		dx																		2dt																2dt								1				dt
	3sin x	4 cos x																	4 4t				2										6t 4 4t						2										3
	3sin x	4 cos x											6t						4 4t											2			6t 4 4t								2					t	2		3	t 1
																								(1 t							)																	2
															2							2		(1 t							)
												1 t							1 t
												1 t							1 t
																							t				3			5							tg		x				1
		1									dt								1				t											1			tg
		1									dt								1					4						4				1					2		2
																					ln			4						4		C				ln			2		2				C.
			2							3		2		25						5	ln			3						5		C			5	ln			x						C.
							t																t														tg				2
																										4				4									2
																										4				4									2
										4				16

В некоторых случаях R(sin x,cos x) dx можно привести к интегралу от рациональной функции переменной t с помощью других подстановок.

2) Подынтегральная функция – нечетная функция по переменной sin x ,

то есть

R( sin x,cos x) R(sin x,cos x) .

В данном случае применима подстановка cos x t,

0 x π , cosxt0,xтогда:

x arccost, dx

(3.25)

sin x

1 cos

1 t

Пример 3.28. Найти

sin5 x

dx .

1 cos2 x

Решение. Подынтегральная функция нечетна относительно sin x , так как

sin x 5	sin5 x
		.
1 cos2 x	1 cos2 x

Положив cos x t и применив формулы (3.25), получим:

sin

1 t2

t2 1

dt .

(3.26)

1 cos2 x

t2 1

Интеграл (3.26) есть интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть:

t 4 2t 2 1			t 2 1
t 4 2t 2 1			t 2 3
t 4 t 2			t 2 3
t 4 t 2
	3t 2	1	,
	3t 2	3
		4

следовательно,

	sin5 x				2
				dx t
1	cos	2	x	dx t
1	cos		x

cos3 x 3

			4		t3
3				dt		3t 4 arctg t C
	t	2	1		3

3cos x 4 arctg cos x C .

3) Подынтегральная функция R(sin x, cos x) – нечетная по переменной cos x , то есть

R(sin x, cos x) R(sin x, cos x).

В этом случае применима подстановка sin x t ,

Тогда

x arcsin t, dx

1 t

(3.27)

cos x

1 sin

1 t

Пример 3.29. Найти cos7 x sin4 x dx .

Решение. Подынтегральная функция нечетна

по

переменной cos x .

Воспользуемся подстановкой

sin x t , тогда, применяя формулы (3.27), получаем:

7 t4

1 t2

cos7 x sin4

x dx

1 t2

t4 dt

1 t2

t4 3t6 3t8 t10 dt

t11

15 sin5 x 73 sin7 x 13 sin9 x 111 sin11 x C .

4)Подынтегральная функция R(sin x, cos x) – четная функция перемен-

ных sin x и cos x , то есть

R( sin x, cos x) R(sin x, cos x).

(3.28)

Очевидно, функции

R(tg x)

R(ctg x)

удовлетворяют соотношению

(3.28).

В случае (3.28) применима подстановка tg x t ,

Тогда

x arctg t, dx

1 t2

cos2 x

, cos x

(3.29)

1 tg2 x

1 t2

sin x

1 cos2

1 t2

1 t

Пример 3.30. Найти

7 cos2 x sin2 x

Решение. Подынтегральная функция четна по переменным

sin x

и cos x ,

следовательно, применима

подстановка tg x t .

Используя формулы (3.29), получаем, что

7 cos2 x sin2 x

1 t

arctg

C .

Пример 3.31. Найти tg5 x dx.

Решение. Подставляя tg x t , получим:

x dx

dt.

(3.30)

Интеграл (3.30) есть интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть:

t 2 1

t3 t

t5 t3

Таким образом,

ln t

1 C

x dx t

tg4 x

tg2 x

1 tg

x C.

Не всегда рекомендуемые подстановки являются наиболее приемлемыми.

Например, в случаях

cos2m x dx, sin2m x dx, cos2m x sin2k x dx (3.31)

интегралы (3.31) можно вычислить быстрее, понижая степень cos x и sin x по формулам удвоения аргумента:

							cos2 x				1 cos 2x				,			sin2 x					1 cos 2x			.
							cos2 x								,			sin2 x								.
												2									2
Пример 3.32. Найти cos4 x dx .
Решение.				Применяя формулу cos2 x										1 cos 2x						, получаем:
Решение.				Применяя формулу cos2 x																, получаем:
													2
						4			1 cos 2x 2							1			1								2	2x dx
			cos xdx											dx							2cos 2x			cos
											2					4

	1	x			1	sin 2x			1	1 cos 4x			dx			1	x				1	sin 2x		1	x		1		sin 4x C
	4	x		4		sin 2x		8		1 cos 4x			dx			4	x				4	sin 2x		8	x		32		sin 4x C
	4			4				8								4					4			8			32

83 x 14 sin 2x 321 sin 4x C.

5)Следующий частный случай, когда можно избежать подстановок.

Рассмотрим интегралы вида:

sin αx cosβx dx,

sin αx sinβx dx, cosαx cosβx dx.

Во всех вышеприведенных случаях необходимо произведение преобразо-

вать в сумму по следующим формулам:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.20159 Мб563инженерная графика.pdf
#
02.02.2015248 Кб26инсайдер.doc
#
02.02.2015449 Кб101Инструкция.doc
#
01.05.2025351 Кб1Инструкция.docx
#
02.02.2015272 Кб41ИнструкцияПоЭксплуатКиевГолосеевка.doc
#
22.05.20153 Мб50Интегральное исчисление_эл_учебник.pdf
#
01.07.20251 Мб1Интегрированный пакет Office MS Excel начало.doc
#
01.07.202543 Кб1интеллектуальная собственность.docx
#
03.09.2019333 Кб13Интимные мышцы.doc
#
25.08.2019518 Кб2Инф. после редактирования.doc
#
20.03.20168 Мб54Инф.системы и технологии в управлении - Лекции.pdf