Интегральное исчисление_эл_учебник

n

f (ξk ) xk .

k 1

Очевидно,

n

m

n

f (ξk ) xk f (ξk ) xk f (ξk ) xk .

(4.2)

k 1

k 1

k m 1

Переходя в равенстве (4.2) к пределу при max xk 0 , получаем:

b

c

b

f x dx

f x dx

f x dx.

a

a

c

Остальные случаи расположения точек a , b , c , приводятся к рассмот-

ренному. Пусть, например,

b a c . В этом случае, по доказанному выше, бу-

дем иметь:

c

a

c

f

x dx f

x dx f

x dx ,

b

b

a

откуда

y

y f (x)

0 x a x1

x

c x

x

x

x b

x

0

2

m

m 1

n 1

n

Рисунок 4.2

b

b

c

f x dx f x dx f x dx.

c

a

a

Таким образом,

b

c

b

f x dx f x dx

f x dx.

a

a

c

5) Пусть функция f (x)

интегрируема на интервале a,b , и

f (x) 0 , то-

b

f (x) dx 0.

a

6)

Пусть функции

f (x)

и g(x) , интегрируемы на интервале a,b , при-

чем f (x) g(x) для x a,b , тогда

b

b

f (x) dx g x dx .

a

a

7)

Пусть функция

f (x) интегрируема на интервале a,b , тогда

b

b

f (x) dx

f x

dx .

a

a

8)

Теорема об оценке определенного интеграла. Пусть функция f (x)

b

m b a f x dx M b a .

a

Доказательство. По условию

m f x M .

(4.3)

Проинтегрируем неравенство (4.3):

b

b

b

m dx f x dx M dx .

a

a

a

Применяя свойства 1, 2, получаем:

b

m b a

f (x) dx M b a .

a

9) Теорема о среднем значении. Пусть функция

f (x) непрерывна на

интервале a,b , тогда найдется хотя бы одна точка ξ a,b , в которой

b

ξ b a .

f (x) dx f

a

Доказательство. Функция

f (x) ,

непрерывная на

a,b , принимает на

m f (x) M .

(4.4)

По свойству 8 имеем:

b

m b a f (x) dx M b a ,

a

откуда

1

b

m

f (x) dx M .

b a

a

Функция f (x) , непрерывная на интервале a,b , принимает все значения

между m и M . Следовательно, найдется точка ξ (a,b) , в которой

1

b

f (ξ)

f (x) dx .

b a

a

b

Таким образом, f (x) dx f ξ b a .

a

Определение. Число

1

b

μ

f (x) dx

b a

a

называется средним значением функции

f (x) на интервале a,b .

10

Пример 4.1. Оценить определенный интеграл

dx .

x 10 x

0

Решение. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y

на интервале 0,10 .

x 10 x

5 x

Найдем критические точки функции на интервале

0,10 : y

x

x 10 x

, x 5 .

Вычислим значения

функции в критической точке и на концах интервала:

y 5 5, y 0 y 10 0 . Таким образом, M 5, m 0 .

10

Применяя свойство 8, получаем: 0

dx 50 .

x 10 x

0

0

a

x

b

x

Рисунок 4.3

Теорема 4.1. Пусть функция

f (x)

непрерывна на a,b и

x f (x) .

Тогда φ(x) является одной из первообразных для функции

f (x)

на указанном

интервале.

Доказательство. По определению

φ x x φ x

φ (x) lim

x

x 0

74

ральном k :

1)

k 2n ,

I2n

(2n 1)

(2n 3)... 3 1

;

2n (2n 2)... 4 2