Интегральное исчисление_эл_учебник

sin αx cosβx

1

sin α β x sin α β x ,

2

sin αx sinβx

1

cos α β x cos α β x ,

2

cos αx cosβx

1

cos α β x cos α β x .

2

m1

m2

mk

R x, x n1 ,

x n2

, ..., x nk ,

где R – рациональная функция своих аргументов,

mi

i 1,2,..., k – несокра-

ni

тимые дроби.

Положив

x ts ,

dx st s 1dt, где

s

– общий знаменатель дробей

m1

,

m2

,...,

mk

, получим:

n1

n2

nk

m1

m2

mk

dt R1 t dt,

R x, x

n1

, x

n2

,..., x

nk

dx

R

s

,t

s1

,t

s2

,...,t

sk

s 1

t

st

где s1, s2 ,..., sk – целые числа, R1 t

– рациональная функция переменной t .

Пример 3.34. Найти

6

x 1

dx.

x 3 x

Решение. Полагая x t6 ,

dx 6t5 dt, получим:

51

водят к интегралу вида

R1 sin x, cos x dx,

где R1 sin x, cos x – рациональная

функция переменных sin x, cos x .

Рекомендуемые подстановки:

R

asin t,



для

a

2

x

2

– подстановка

x

x,

dx

R

x a tgt,



для

a

2

x

2

– подстановка

x,

dx

R x,

dx

x

a

.

 для

x2 a2

– подстановка

cost

Пример 3.36. Найти

4 x2

dx.

x2

Решение. Положив x 2sin t,

dx 2cos t dt, получим:

4 x2

dx

4 4sin2 t 2 cos t

dt

cos2 t

dt

x

2

4sin

2

t

sin

2

t

1 sin2 t

dt

dt

dt ctg t t C,

где

t arcsin

x

.

sin

2

t

sin

2

2

t

Пример 3.37. Найти

x3dx

.

1 x2

Решение. Полагая

x tg t , получим:

dt

1

1

.

dx

,

1 x2 1 tg2 t

cos2 t

cos2 t

cos t

Тогда

x3dx

tg3 t cos t

dt

sin3 t

dt

sin2 t sin tdt

cos

2

t

cos

4

t

cos

4

t

1 x

2

1 cos2 t d cos t

d cos t

d cos t

cos4 t

cos2 t