Интегральное исчисление_эл_учебник

Mx N

dx,

( n 2,3,...).

(x2

px q)n

Выделим в выражении x2 px q

полный квадрат:

2

p 2

p2

x

px q

x

q

.

4

2

p

2

Число

q

по определению простейших рациональных дробей по-

4

ложительное,

его можно обозначить a2 ,

т. е. q

p2

a2 . Сделав замену пере-

4

менной x

p

t,

dx dt, получим:

2

2

px q t

2

a

2

, Mx N Mt

Mp

x

N

.

2

Таким образом,

Mt N

Mp

(Mx N ) dx

dt

2

(x2 px q)n

(t2 a2 )n

tdt

Mp

dt

M

d (t2 a2 )

Mp

M

N

N

In

(t

2

a

2

)

n

(t

2

a

2

)

n

2

(t

2

a

2

)

n

2

2

M

Mp

N

In

,

2(1 n)(t

2

a

2

)

n 1

2

где In

dt

.

(t2

a2 )n

I1

dt

1

t

arctg

C .

t2 a2

a

a

31

I

1 (t2 a2 ) t2

dt

1

dt

1

t2dt

.

(3.19)

a2

(t2 a

2 )n

a

2

(t2

a2 )n 1

a2 (t2 a2 )n

n

Во втором интеграле положим

u t, du dt,

dv

t dt

, v

t dt

1

.

(t

2

a

2

)

n

(t

2

a

2

)

n

2(1 n)(t

2

a

2

)

n 1

Поэтому

t2dt

t

dt

.

(3.20)

(t

2

a

2

)

n

n)(t

2

a

2

)

n 1

2(1 n)(t

2

a

2

)

n 1

2(1

I

1

I

t

1

I

.

n

a2

n 1

2a2 (n 1)(t 2 a2 )n 1

2a2 (n 1)

n 1

In

2n 3

In 1

t

,

n 2,3,... .

2a2 (n 1)

2a2 (n 1)(t 2 a2 )n 1

Пример 3.25. Найти

x4

4x3 11x2 15x 17

dx .

x3 x 2 4x 4

Решение. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим целую

часть, разделив числитель на знаменатель:

x3 x2 4x 4

x4 4x3 11x2 15x 17

x 3

x4 x3 4x2 4x

.

3x3 7x2 11x 17

3x3 3x2 12x 12

4x2 x

5

Таким образом,

x4 4x3 11x2 15x 17

x 3

4x2 x 5

.

x3 x2 4x 4

x3

x2 4x

4

4x2 x 5

A

Bx C

.

(3.21)

(x 1)(x2 4)

x 1

x2 4

Умножив обе части равенства (3.21) на (x 1)(x2 4) , получим:

4x2 x 5 A(x2 4) (Bx C)(x 1) .

(3.22)

Положим в равенстве (3.22) x 1 , получим 5A 10 , откуда A 2.

x2

A B 4,

B 2,

x0

4A C 5,

C 4A 5,

C 3.

Итак,

4x2 x 5

2

2x 3

.

(x 1)(x2 4)

x 1

x2

4

Следовательно,

x4

4x3 11x2 15x 17

2

2x 3

dx x

3

dx

x

3

x

2

4x 4

x

2

x 1

4

x2

3x 2 ln | x 1|

2xdx

3

dx

2

x2 4

x2 4

x2

3x 2 ln | x 1| ln x

2

4

3

arctg

x

C.

2

2

2

u ln x,

du

dx

4

x5

x5

dx

x5

x5

x

x

ln x

5

ln x

ln x

C .

dv x4dx,

v

x

5

5 x

5

25

5

Пример 2. Найти 3 2x e 5xdx .

Ответ:

2x 3

e 5 x

2

e 5 x C .

5

25

Помочь?

Подсказка 1. Воспользуйтесь методом интегрирования по частям:

udv u v vdu .

Не получается?

Подсказка 2.

Выберите в

качестве

функции

u x 3 2x ,

тогда

dv e 5xdx . Найдите du,

v и составьте правую часть схемы интегрирования по

частям.

Как?

Подсказка 3.

u 3 2x,

du 2dx

1

1

3 2x e 5 xdx

dv e

5 x

dx, v

1

5 x

3

2x e 5 x

e 5 x

2 dx

e

5

5

5

2x 3

e 5 x

2

e 5 xdx

2x 3

e 5 x

2

e 5 x C .

5

5

5

25

Пример 3. Найти

4x 1 cos3x dx .

Ответ:

4x 1

sin3x

4

cos3x C .

3

9

34