Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление_эл_учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

2.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

В правой части равенства (3.6) стоит искомый интеграл. Перенося его в левую часть, получаем:

2 ex sin x dx ex (sin x cos x) ,

то есть

ex sin x dx

ex (sin x cos x)

Полученная функция есть одна из первообразных для функции ex sin x , поэтому

ex sin x dx

ex (sin x cos x)

С .

Аналогично берутся интегралы вида:

eαx cosβx dx ,

eαx sin βx dx .

Пример 3.13. Найти

x2 a dx .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

x2 a

тогда

x2 dx

a dx a

Во

втором

интеграле правой

части

положим

u x

, тогда du dx ,

xdx

x2 a

xdx

d (x2 a)

a . Поэтому

x2 a dx x

x2 a

x2 a dx a ln

x2 a

(3.7)

В правой части равенства (3.7) стоит искомый интеграл. Перенося его левую часть, получаем:

2 x2 a dx x x2 a a ln x x2 a .

Следовательно,

x2 a dx 2x x2 a a2 ln x x2 a .

Полученная функция есть одна из первообразных функции x2 a , поэтому:

x2 a

С .

Производя аналогичные преобразования, получаем:

	dx	a2	arcsin	x		x
a2 x2							a2 x2	С .

2				a	2

Употребляемый в примерах 2.12, 2.13 прием часто называется возврат-

ным интегрированием.

Расширим таблицу интегралов некоторыми полученными интегралами.

17.ctg x dx ln sin x С .

18.tg x dx ln cos x С .

x a

19.

С .

x2 a2

x a

20.

arctg

С .

a2 x2

21.

arcsin

С .

a2 x2

22.

x2 a

С .

x2 a

23.

x2 a

С .

24.

arcsin

a2 x2

x2 С .

3.3. Интегралы от некоторых функций,

содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы вида:

, I2

(Mx N ) dx

, I3

, I4

(Mx N ) dx

ax2 bx c

I5 ax2 bx c dx .

		В интегралах I1 , I2	выносят за знак интеграла множитель						1	. Далее, вы-
		В интегралах I1 , I2	выносят за знак интеграла множитель						a	. Далее, вы-
									a
делив полный квадрат			из квадратного			трехчлена и сделав				подстановку
x	p	t , преобразуем интегралы вида I			и	I		в табличные.
x		t , преобразуем интегралы вида I		1	и	I	2	в табличные.
2				1			2
2

Преобразуем ax2 bx c следующим образом:

ax2 bx c | a | x2 px q .

Далее, поступают так, как указано выше, преобразуя интегралы вида I3 ,

I4 , I5 в табличные интегралы.

Пример 3.14. Найти										(3x 4)
																	dx .
											x2 6x						dx .
Решение.			(3x 4)				dx								3x 4								dx.

			x	2	6x								x			3		2			9
			x		6x								x			3					9
Положив x 3 t ,							dx dt , получим:
											3x 4															3(t 3) 4														t dt									dt
																			dx															dt 3								5
												x2 6x							dx									t2 9						dt 3					t2 9			5						t2 9
								3		ln					t2 9					5		ln			t 3					C				3	ln	x2 6x								5		ln				x			C.



																									t 3																									6
								2											6														2											6					x
								2											6														2											6					x
Пример 3.15. Найти														(2x 1) dx										.
Пример 3.15. Найти																								.
												4x2				8x 3
Решение.
											(2x 1) dx															1					(2x 1) dx										1				(2x 1) dx
																																																								.
																										2															2
											4x2 8x 3															2					x2 2x							3			2			1			(x 1)2
																															x2 2x																(x 1)2
																																					4							4
Положив x 1 t ,							dx dt , получим:
															(2x 1) dx												1				2(t 1) 1						dt				1			2t 3							dt

																											2														2
														4x2 8x 3													2					1	t2								2				1		t2
																															4		t2											4			t2
																															4													4

	t dt				3				dt										1					2			3														1										2	3			arcsin 2x 2		C.
																						t							arcsin 2t C														(x 1)
						2													4									2													4													2
	1					2		1											4									2													4													2
	1	t2						1			t2
	4	t2						4			t2
	4							4

Пример 3.16. Найти 4x2 12x 13 dx .

Решение. Применяя указанный выше способ, имеем:

						13			3	2
	2	12x 13 dx 2		2		13	dx 2		3	2
4x			x		3x			x			1 dx .
4x			x		3x			x			1 dx .
						4			2

Положив

t ,

dx dt

, получим:

4x2 12x 13 dx 2

t2 1 dt t t2 1 ln

t t2 1

C .

3.4. Интегрирование рациональных функций

3.4.1. Разложение многочлена на множители

Рассмотрим многочлен Pn (x) степени n , т.е.

P (x) a xn a xn 1			... a .
n	0	1	n
В курсе высшей алгебры доказывается, что всякий многочлен Pn (x) мо-
жет быть представлен в виде произведения
Pn (x) a0 (x α)(x β)...(x γ) ,				(3.8)
где α, β, ..., γ – корни (вещественные или комплексные) уравнения				Pn (x) 0.

Множители (x α), (x β), ... ,(x γ) называются элементарными множителя-

ми.

Собрав равные элементарные множители многочлена Pn (x) , получим:

P (x) a (x α)r (x β)s ...(x γ)t ,		(3.9)
n	0

где r, s, ..., t – кратность корней α, β, ..., γ , соответственно. Очевидно,

r s ... t n .

	Пример 3.17. Разложить на множители многочлен P (x) x3			6x2	8x .
			3
	Решение.	Найдем корни уравнения P (x) 0 :	x3 6x2 8x 0		, x(x2 6x 8) 0 . Откуда	x 0 ,
		3				1
x2 4 ,	x3 2 .
	Поэтому x3 6x2 8x x(x 4)(x 2) .
	Пример 3.18. Разложить на множители многочлен Pn x x4			16.
	Решение.	x4 16 x2 4 x2 4 x 2 x 2 x 2i x 2i .

Теорема 3.4. Комплексные корни многочлена с действительными коэф-

фициентами попарно сопряжены и имеют одинаковую кратность, то есть если многочлен Pn x имеет корень a ib кратности m , то он имеет также корень a ib кратности m .

Таким образом, если Pn x – многочлен с действительными коэффициен-

тами, в разложении (3.9) имеет множитель x a ib m , то он содержит и

множитель x a ib m .

Перемножив эти два множителя, получим:

x a ib m x a ib m x a ib m

x a ib m

x a

px q

где p 2a,

q a2 b2.

Так как дискриминант

q b2

0, то

многочлен x2 px q

имеет комплексные корни и его нельзя представить в виде произведения мно-

гочленов первой степени с действительными коэффициентами.

Поступая аналогично с остальными комплексными корнями, представим многочлен с действительными коэффициентами Pn x в виде:

Pn x a0 x α r ... x β s x2 px q t ... x2 ex f l .

(3.10)

В разложении (3.10) все числа α, ..., β, p, q, ...,e, f – действительные, при-

чем многочлены x2 px q,..., x2 ex f не могут быть представлены в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициента-

ми.

Приведем известные примеры:

x3 1 x 1 x2 x 1 , x3 1 x 1 x2 x 1 ,

x4 81 x 3 x 3 x2 9 .

3.4.2. Разложение рациональной функции на простейшие дроби

Определение. Функция R x , определенная в виде частного двух много-

членов, называется рациональной функцией или рациональной дробью, то есть

R x Qm x ,

Pn x

где Pn x и Qm x – многочлены степени n и m , соответственно.

Рациональная функция определена всюду, где знаменатель Pn x отличен

от нуля.

Рациональная функция называется правильной, если m n , и неправиль-

ной в противном случае. Любую неправильную рациональную функцию можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной функции. Для этого необходимо выполнить деление с остатком многочлена –

числителя на многочлен – знаменатель.

Пример 3.19. R x

3x4 2x 3

x2 5

Решение. Выполним деление:

3x4 2x 3

x2 5

3x2 15

15x4 15x2

15x2

2x 3 .

15x2

2x 78

Таким образом,

R(x) 3x2 15

2x 78

x2 15

Определение. Рациональные дроби вида:

;

, (m 2,3,....),

(x α)m

Mx N

;

Mx N

(m 2,3,...),

x2 px q

(x2 px q)m

где A, α, M , N – действительные числа, а трехчлен x2 px q не имеет веще-

ственных корней, т.е.	p2	q 0 , называют простейшими.
	4

Теорема 3.5. Любую правильную рациональную дробь			R(x)	Qm (x)
				Pn (x)

можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей следующим образом:

Qm (x)

...

P (x)

(x α)r

(x α)r 1

(x α)

...

(x β)s

(x β)s 1

(x β)

C1x D1

C2 x D2

Ct x Dt

...

(x2 px q)t

(x2 px q)t 1

x2 px q

E1x F1

E2 x F2

...

El x Fl

(3.11)

(x2 ex f )l

(x2 ex f )l 1

x2 ex f

где Pn (x) имеет вид (3.10), A1, A2 ,..., Ar , B1, B2 ,..., Bs ,C1, D1,...,Ct , Dt , E1, F1,..., El , Fl –

постоянные числа.

Разложение (3.11) называется разложением правильной рациональной функции на сумму простейших дробей.

Каждый множитель многочлена Pn (x) входит знаменателем в разложение

(3.11) во всех целых степенях, начиная со степени, которую он имеет в разло-

жении (3.10), и кончая первой степенью.

Числителем простейших дробей являются либо постоянные числа, либо многочлены первой степени, в зависимости от того, имеет ли знаменатель дей-

ствительные корни или комплексные.

Чтобы определить числа A1, A2 ,..., B1, B2 ,..., El , Fl , умножим обе части ра-

венства (3.11) на Pn (x) . Освободившись таким образом от знаменателей, полу-

чим справа и слева многочлены.

Поскольку полученное соотношение между многочленом Qm (x) и много-

членом в правой части равенства является тождеством по x , то коэффициенты,

стоящие при равных степенях переменной x , равны между собой. Таким обра-

зом, получим систему линейных уравнений, из которых определим неизвестные

A1, A2 ,..., B1, B2 ,...,C1, D1,..., El , Fl .

Пример 3.20. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби:

R(x)

4x2 11x 8

3x2

Решение. Разложим знаменатель x3 3x2

4x на простейшие множители:

x3 3x2 4x 0,

x (x2 3x 4) 0,

x 0, x 4,

x 1.

Таким образом, x3 3x2 4x x (x 4) (x 1). Следовательно,

4x2 11x 8

x 4

x (x 4) (x 1)

x 1

Умножая обе части равенства на x (x 4) (x 1) , получаем:

4x2 11x 8 A(x 4)(x 1) B x (x 1) C x (x 4) .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

слева и справа, получаем систему из трех

уравнений.

A B C 4,

(3.12)

3A B 4C 11,

A 2.

4A 8

Подставим в систему (3.12) A 2 , имеем:

B C 2,

B 5 .

4C 17

Окончательно

4x2 11x 8

x3 3x2 4x

x x 4 x

Пример 3.21. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби:

R(x)	x2 4x 5
		.
	(x 2)(x 1)(x 2)

Решение. Для случая, когда знаменатель имеет простые действительные корни, можно применить более простой метод вычисления коэффициентов.

Положим

x2 4x 5

(x 2)(x 1)(x 2)

x 2

x 1

Откуда

x2 4x 5 A(x 1)(x 2) B(x 2)(x 2) C(x 2)(x 1).

(3.13)

Подставляя в равенство (3.13) поочередно x 2, x 1,

x 2,

получим:

4A 17,

3B 10, 12C 1.

Следовательно, A

. Таким образом,

x2 4x 5

(x 2)(x 1)(x 2)

x 2

Пример 3.22. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби:

R(x)

3x2 x 2

2)(x 1)2

Решение. Положим

3x2 x 2

(3.14)

(x 2)(x 1)2

1)2

x 1

Умножив равенство (3.14) на (x 2)(x 1)2 , получим:

3x2 x 2 A(x 1)2

B(x 2) C(x 2)(x 1) .

(3.15)

Подставив в равенство (3.15) поочередно x 2,

x 1, получим:

A 12,

B 2.

Для определения коэффициента C составим одно уравнение, содержащее C :

x2 | A C 3,

C 3 A C 9.

Следовательно,

3x2 x 2

(x 2)(x 1)2

(x 1)2

x 1

Пример 3.23. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби:

R(x)

6x2

5x 26

3)(x2

Решение. Положим

6x2

5x 26

Bx C

Откуда

(x 3)(x2

x2 4

6x2 5x 26 A(x2

4) (Bx C)(x 3).

(3.16)

Подставив в равенство (3.16)

x 3 , получим:

13A 65,

A 5.

Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , получим следующую систему:

A B 6,

B 1,

4A 3C 26,

C 2.

Следовательно,

6x2 5x 26

x 2

(x 3)(x2 4)

x2 4

x 3

Пример 3.24. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби:

R(x) 3x4 x3 x2 2x 7 . (x 2)(x2 1)2


Решение. Положим
	3x4 x3 x2 2x 7			A		Bx C	Dx E	.
	(x 2)(x2 1)2			x 2	(x2 1)2		x2 1

Умножив равенство (3.17) на (x 2)(x2		1)2 , получим:
3x4 x3 x2 2x 7 A(x2		1)2 (Bx C)(x 2) (Dx E)(x2 1)(x 2).
Положив в равенство (3.18) x 2 , получим:			25A 25,			A 1.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , составим систему:

x4	A D 3,	D 2,
x4	A D 3,	D 2,
x3	E 2D 1,	E 3,
x2	2 A B D 2E 1,	B 1,
x0	A 2C 2E 7,	C 1.

Таким образом,
	3x4 x3 x2 2x 7	1	x 1	2x 3	.
	(x 2)(x2 1)2	x 2	(x2 1)2	x2 1

(3.17)

(3.18)

3.4.3. Интегралы от рациональных функций

Приведем алгоритм интегрирования рациональных функций, используя

вышеизложенные факты:

1)если рациональная функция неправильная, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции;

2)разложить знаменатель правильной рациональной функции на эле-

ментарные множители;

3) проверить, являются ли числитель и знаменатель взаимно простыми,

т.е. не имеют ли они общих множителей;

4)разложить правильную рациональную функцию на сумму простейших

дробей;

5)найти интегралы от полученных простейших дробей.

Таким образом, интегрирование правильной рациональной функции сво-

дят к интегрированию простейших дробей, которые мы рассмотрим далее.

Интегралы от простейших дробей вида	dx	,	dx	(n 2,3,....) яв-

	x α		(x α)n
ляются табличными.
30

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.20158.88 Mб560инженерная графика.pdf
#
02.02.2015247.81 Кб24инсайдер.doc
#
02.02.2015448.51 Кб98Инструкция.doc
#
01.05.2025351.18 Кб0Инструкция.docx
#
02.02.2015271.87 Кб34ИнструкцияПоЭксплуатКиевГолосеевка.doc
#
22.05.20152.52 Mб47Интегральное исчисление_эл_учебник.pdf
#
03.09.2019333.31 Кб10Интимные мышцы.doc
#
25.08.2019518.14 Кб1Инф. после редактирования.doc
#
20.03.20167.7 Mб49Инф.системы и технологии в управлении - Лекции.pdf
#
02.02.2015945.35 Кб14Информатика расчётные задания.docx
#
20.03.2016461 Кб13Информационные системы в маркетинге-задание.pdf