Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1313 вуза, 5304 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Интегральное исчисление_эл_учебник

.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
2.52 Mб
Скачать
☆

Подсказка 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

5 x 2 3 x5

3

5

x1/2

2

x5/3

 

3

1

5x 5/2

2x 4/3 3x 3 ,

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

x3

 

 

x3

 

 

x3

 

f (x)dx 5 x 5/2dx 2 x 4/3dx 3 x 3dx .

 

Далее воспользуйтесь табличным интегралом:

 

 

 

 

 

 

xndx

xn 1

 

C ,

n 1 .

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как?

Подсказка 3.

 

 

 

x

5

1

 

 

 

x

4

1

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx 5

2

2

 

3

 

3

x 3 1

 

 

5

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

5

 

x 3/2

6x 1/3

 

 

 

x 2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Пример 4.

Найти

5x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

x2

9

 

 

 

 

 

C =

1

 

 

6

 

 

3

 

1

C.

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

x3

3 x

2

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 52 ln(x2 9) 73 arctg 3x C .

Помочь?

Подсказка 1. Преобразуйте подынтегральную функцию, выполнив

почленное деление числителя на знаменатель, воспользуйтесь далее тем, что

φ (x) dx ln φ(x) C . φ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 2. f (x)

5x 7

 

 

 

5x

 

 

7

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x2 9

 

x2 9

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим f1(x)

5x

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

f2 (x)

 

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 9

x2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 f1(x)dx

5x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

5

 

2xdx

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

(x

 

 

9)

2x

 

 

 

 

 

 

 

ln(x

 

9)

C ,

x2 9

 

 

2

x2 9

2

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2 f2 (x)dx

7

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

arctg

 

C .

 

 

 

 

x2 9

3

3

Следовательно,

I I1 I2 f (x)dx

5

ln(x2

9)

7

arctg

x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

Пример 5. Найти

4 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

ln

x x2

 

 

 

5x2 3 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка

что:

Подсказка

Обозначим

1. Выполните почленное деление, воспользуйтесь далее тем,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ(x)

 

dx

2 φ(x) C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

2. I

 

 

4dx

 

 

 

 

 

 

 

3xdx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x2

3

 

 

 

 

 

5x2 3

 

 

 

I1

 

 

 

 

4dx

 

 

 

, и

 

I2

 

 

 

 

3xdx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x2 3

 

5x2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый интеграл приведите к табличному

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x x2

k

C ,

 

 

 

 

 

 

 

x2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

во втором интеграле воспользуйтесь теоремой, приведенной в подсказке 1.

Как?

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 4

 

 

dx

 

 

 

 

4

 

 

dx

 

 

 

 

4

 

ln

x x2

3

 

C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

5

 

 

 

3

5

 

 

5

 

 

 

 

2

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3xdx

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

10xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

 

 

(5x

 

3)

10x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

5x2 3

 

5x2

3

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103 25x2 3 C 53 5x2 3 C .

 

4

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

Тогда: I

 

ln

x

x2

 

 

5x2 3 C .

 

 

 

5

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

Пример 6. Найти

3e 2 x 2cos 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

3

e 2 x

1

sin 4x

13

ctg5x

 

4

 

arctg

2

2

5

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

dx .

 

x

2

3

 

 

 

x3 2x C .

Помочь?

Подсказка 1. Примените свойство линейности неопределенного интегра-

ла и теорему:

если f (x)dx F(x) C , то f (kx b)dx 1k F (kx b) C .

Не получается?

Подсказка 2. Воспользуйтесь свойством линейности неопределенного

интеграла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx 3 e 2 xdx 2 cos 4xdx 13

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2 dx .

 

 

 

sin2 5x

3 x2

 

 

 

 

Теперь воспользуйтесь табличными интегралами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exdx ex C , cos xdx sin x C ,

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

1

 

 

 

x

 

 

 

 

ctg x C ,

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

C ,

sin2 x

x2 a2

a

a

учитывая теорему из подсказки 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как ?...

 

Подсказка 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

 

как

e 2 xdx

1

e 2 x C ,

 

 

 

cos 4xdx

1

sin 4x C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

dx

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg5x C , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 5x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

3

e 2 x

1

sin 4x

 

13

ctg5x

4

 

arctg

 

 

x

 

2x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

5

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 3)2 x2

3

 

3

 

Пример 7. Найти

 

 

 

 

x3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x4

11)5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

(2x4 11)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

 

Подсказка 1.

Воспользуйтесь

тем,

 

 

что

 

x3

1

2x4 11 , т.е.

 

 

 

8

2x4 11 8x3 , далее табличный интеграл: xndx

xn 1

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

 

Подсказка 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x

4

 

 

 

 

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11)

8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 du 1

f (x)dx

 

u 2x4

11,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

8

 

(2x4 11)5

8

 

u5

8

 

4

 

 

 

 

 

du 8x3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

C

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x4 11)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

u4

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 8. Найти x 53x2 1dx .

Ответ:

5

3x2

1 6/5 C .

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1.

Воспользуйтесь тем, что (3x

2

 

6x , и заменой

 

1)

u 3x2 1 сведите исходный интеграл к табличному.

Не получается?

14

Подсказка2.

 

 

 

 

u 3x2 1

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

1/5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

du 6xdx

 

 

 

6x 5

3x2 1dx

 

3x2

1

d 3x2 1

 

 

6

6

 

1

 

 

1

 

u6/5

 

 

5

3x2

1

6/5

 

 

 

 

 

 

 

u1/5du

 

 

 

 

C

 

 

C .

 

 

 

 

6

6

 

6

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

Пример 9. Найти x 2ln 7 .

Ответ: 2ln x 7 C .

Помочь?

Подсказка 1. Заменой u 2ln x 7 сведите интеграл к табличному.

Не получается?

Подсказка 2.

f (x)dx

 

u 2ln x 7

 

 

 

1

 

 

2dx

 

 

1

 

du

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

u C

2ln x 7 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2ln x 7

2

u

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10. Найти cos xdx .

7 sin3 x

Ответ: 74 7sin4 x C .

Помочь?

Подсказка 1. Заменой u sin x сведите интеграл к табличному.

Не получается?

Подсказка 2.

f (x)dx

 

u sin x

 

 

 

 

du

 

u 3/7 1

 

C

7

(sin x)4/7

C .

 

 

 

 

du cos xdx

 

 

 

u3/7

 

3

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

15

Пример 11. Найти sin x 3cos xdx .

Ответ: 34 3cos4 x C .

Помочь?

Подсказка 1. Заменой u cos x сведите интеграл к табличному.

Не получается?

Подсказка 2.

f (x)dx

 

 

 

u cos x

 

 

 

 

 

 

 

u1/3du

u4/3

C

3

(cos x)4/3

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12. Найти

arctg9 4x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 16x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

arctg10 4x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1. Заменой u arctg 4x сведите интеграл к табличному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

u arctg 4x

 

 

 

 

1

 

arctg9 4x

 

 

4dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

4

 

1 16x2

 

 

 

 

 

 

 

 

16x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

u9du

1

 

u10

 

C

1

 

arctg10 4x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

10

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 13. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin2 3x 1 9x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

C .

 

3arcsin 3x

 

 

Помочь?

 

 

16

Подсказка 1. Заменой u arcsin3x сведите интеграл к табличному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

u arcsin 3x

 

 

 

 

1

 

 

 

du

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

u2

3

 

u

3arcsin 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 9x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14. Найти

 

exdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

ln(4 3ex ) C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1. Заменой u 4 3ex сведите интеграл к табличному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

u 4 3ex

 

 

 

1

 

 

du

 

 

1

 

ln

 

u

 

C

 

1

ln(4 3ex ) C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

3

u

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du 3e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 15. Найти

 

 

 

 

exdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

3

arctg

 

3 ex

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помочь?

Подсказка 1. Заменой u ex сведите интеграл к табличному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не получается?

Подсказка 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

 

u ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

1

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du exdx

 

 

4 3u2

3

 

4

 

u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее воспользуйтесь табличным интегралом

 

dx

1

 

x

 

 

 

arctg

 

C .

a2 x2

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как?

Подсказка 3.

f (x)dx

1

 

 

 

 

 

du

 

 

 

1

 

 

 

3

arctg

 

u

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

2

u

2

3

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3 u

 

3

 

3 ex

 

 

arctg

 

 

 

C

 

 

arctg

 

 

 

C.

6

2

6

2

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельной работы

Найти интеграл:

1.x2 2x 3 dx .

xx

2.(5x 1)(5 x 1)dx .

3.

 

 

 

 

exdx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

6 ln5 x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

1

4arcsin

 

 

x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

6.

e4 cos x 1

sin xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

7

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dx .

25x

2

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

5x dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 52 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos xdx

 

 

 

 

9.

 

.

 

 

 

 

3sin2 x 7

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

Ответ:

 

x3/2 4

 

x

 

C .

3

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

1

(5x 5 x ) C .

 

 

 

 

 

 

 

ln 5

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arcsin

ex

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

C .

 

 

 

 

Ответ:

 

(ln x) 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arcsin x 2arcsin2

x C .

Ответ:

 

1

 

e4 cos x 1 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

 

 

arctg

5x

 

1

(x2

7)3/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Ответ:

1

 

 

 

 

 

arcsin

5

x

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

3

 

ln

 

 

3 sin x

7

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

3 sin x

7

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C .

.

18

4 arctg x 10.

1 x2

1 2sin x cos x dx .

Ответ: 54 (arctg x)5/4 13 (1 2sin x)3/2 C .

3.2.2. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, тогда

udv u v vdu .

(3.4)

Формула (3.4) называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство. Из дифференциального исчисления известно, что d(uv) udv vdu . Откуда

udv d u v vdu.

(3.5)

Интегрируя обе части равенства (3.5), получаем:

udv d u v vdu.

Следовательно,

udv u v vdu.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, кото-

рые вычисляются только с помощью интегрирования по частям. Например,

Pk (x)eαxdx, Pk (x)sin αx dx , Pk (x)cos αx dx,

Pk (x)lnm x dx, eαx cosβx dx , eαx sinβx dx ,

где Pk (x) – многочлен степени k ; m – натуральное число.

Пример 3.9. Найти xe2 x dx .

 

 

 

 

Решение. Положим u x,

du dx ,

dv e2 x dx,

v e2 x dx

1

e2 x .

2

 

 

 

 

 

Следовательно, по формуле (3.4)

19

xe2 x dx 12 xe2 x 12 e2 x dx 12 xe2 x 14 e2 x C .

Аналогично берутся интегралы вида Pk (x)eαx dx .

Пример 3.10. Найти (x2 3x 5) cos x dx .

Решение. Положим

u x2 3x 5 , тогда du (2x 3)dx , dv cos x dx , v cos x dx sin x .

Применяя формулу (3.4), получаем:

 

 

(x2 3x 5)cos x dx (x2

3x 5)sin x (2x 3)sin x dx .

Последний интеграл является интегралом того же типа. Применим к интегралу (2x 3) sin x dx фор-

мулу интегрирования по частям, полагая u 2x 3,

du 2dx, dv sin x dx,

v cos x .

Тогда

 

 

(2x 3)sin xdx (2x 3) cos x 2 cos x dx (2x 3) cos x 2sin x C.

Следовательно,

(x2 3x 5) dx (x2 3x 5) sin x (2x 3) cos x 2sin x C

x2 3x 7 sin x (2x 3) cos x C.

Аналогично берутся интегралы вида Pk (x)sin αx dx,

Pk (x)cos αx dx .

Пример 3.11. Найти (x2 5x 7) ln x dx .

 

 

Решение.

Положим u ln x ,

du

dx

,

dv (x2 5x 7) dx , v

x3

 

 

5

x2

7x .

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Применив формулу интегрирования по частям, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

 

 

 

2

 

5

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

(x2 5x 7) ln x dx

x

 

 

x2 7x ln x

 

 

x

 

 

x 7

dx

x

 

 

 

 

5

x2 7x ln x

x

 

 

3 2

 

 

3 2

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

9

 

Аналогично берутся интегралы вида

Pk (x) lnm x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.12. Найти ex sin x dx .

Решение. Полагая u ex , du ex dx , dv sin x dx , v cos x, получаем:

ex sin x dx ex cos x ex cos x dx .

Кпоследнему интегралу снова применим метод интегрирования по частям, положив

u ex , du ex dx , dv cos x dx , v sin x .

Следовательно,

ex cos x dx ex sin x ex sin x dx .

Таким образом,

ex sin x dx ex cos x ex sin x ex sin x dx .

54 x2 7x C .

(3.6)

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности