Интегральное исчисление_эл_учебник

Решение. Оценим подынтегральную функцию

2 cos x 3sin x

2 cos x

3sin x

5

.

x3

x3

x3

5dx

Несобственный интеграл

x3

сходящийся ( p 3

1)

, следовательно, сходится исходный интеграл.

1

b ε

ет бесконечный разрыв. Очевидно,

определенный интеграл

f (x)dx

(ε 0)

a

является функцией от ε . По определению

b

b ε

f (x)dx lim

f (x)dx .

(6.9)

a

ε 0

a

разрыва.

Пусть функция f (x)

непрерывна на интервале a,b , а в точке x a име-

ет бесконечный разрыв, тогда

b

b

f (x)dx lim

f (x)dx .

a

ε 0

a ε

Если x c – точка бесконечного разрыва, то

b

c ε1

b

f (x)dx lim

f (x) dx lim

f (x) dx .

(6.10)

a

ε1 0

a

ε2 0c ε2

1

dx

Следовательно,

сходится при p 1 и расходится при

p 1 .

x

p

0

Теорема 6.7.

Пусть

f (x) и φ(x) – непрерывные неотрицательные функ-

ции на интервале

a,b ,

при x b

имеют бесконечный разрыв, причем

f (x) φ(x) . Тогда

b

b

1) если сходится φ(x) dx , то сходится f (x) dx ;

a

a

b

b

2) если расходится f (x) dx , то расходится φ(x) dx .

a

a

Теорема 6.8. Пусть функции

f (x) и φ(x) непрерывны и знакопостоянны

на интервале a,b , имеют бесконечный разрыв при x b и

lim

f (x)

k 0,

x b 0

φ(x)

b

b

тогда несобственные интегралы f (x) dx , φ(x) dx ведут себя одинаково.

a

a

Теорема 6.9. Пусть функция

f (x)

непрерывна на интервале a,b , в точ-

b

b

грала

f (x)

dx следует сходимость f (x) dx .

a

a

T

f x dx lim f x dx .

T

a

a

Если существует конечный предел, то несобственный интеграл называет-

ся сходящимся, в противном случае − расходящимся.

a

f x dx :

Аналогично вводится несобственный интеграл вида:

a

a

f x dx lim f x dx .

T

T

0

0

T0

lim e0

eT lim 1 eT 1,

exdx lim

exdx lim ex

T

T

T

T

T

T

f x dx lim

f x dx .

T

a

a

Если существует конечный предел, то несобственный интеграл называет-

Дальше?

Подсказка 2.

T

2

T

2

2

2

ln x

dx lim

ln x

dx lim

ln

x

lim

ln

T

ln

1

lim

ln

T

,

x

2

1

2

1 x

T

1

T

T

2

2

T

f x dx lim

a

T2

f x dx lim

f x dx .

T1

T2

T1

a

135

dx

a

dx

T2

dx

lim

lim

2

2x 2

2

1

x 1

2

x

T1 x 1

T2

a

1

T1

lim arctg x 1

a

lim arctg x 1

T2

T1

T1

T2

a

lim arctg a 1 arctg T 1 lim arctg T 1 arctg a 1

T1

1

T2

2

arctg a 1 lim arctg T 1 lim arctg T 1 arctg a 1

T1

1

T2

2

π

π

π .

2

2

Следовательно, интеграл сходится и равен π .

Замечание. При вычислении

пределов воспользовались тем, что

arctg

π

, arctg

π

.

2

2

T

f x dx lim f x dx .

T

a

a

Если существует конечный предел, то несобственный интеграл называет-

ся сходящимся, в противном случае − расходящимся.

Запишите предел, соответствующий этому несобственному интегралу,

далее воспользуйтесь определением.

Дальше?

Подсказка 2.

T

cos x dx lim

cos x dx limsin x

T limsinT ,

T

T

0

T

0

0

x ln x 5

dx .

x4 3x ln4 x 7

e

Помочь?

Подсказка 1. Для доказательства сходимости воспользуйтесь предель-

ным признаком сравнения.

Напомнить?

Подсказка 2. Предельный признак сравнения. Пусть lim

f x

k 0 , где

x

φ x

f x

и φ x

– непрерывные знакопостоянные функции, тогда несобственные

интегралы

f x dx и φ x dx ведут себя одинаково, то есть либо сходятся,

a

a

либо расходятся одновременно.

Дальше?

Подсказка 3. Пусть f x =

x ln x 5

, тогда, отбрасывая слагае-

ln4 x 7

x4 3x

137

x ln x

1

φ x

или φ x

.

x

x ln3 x

x4 ln4

f x

Так как

lim

1 0 ,

то интегралы

f x dx

и

φ x dx ведут себя

φ x

x

a

a

одинаково.

dx

1

1

При этом интеграл φ x dx

, следовательно, он

x ln3

x

2ln2 x

e

2

a

e

tg

1

x

dx .

1 x

x

1

Напомнить?

Подсказка 2.

Предельный признак сравнения. Пусть lim

f x

k 0 , где

φ x

x

f x

и φ x – непрерывные знакопостоянные функции, тогда несобственные

интегралы f x dx

и φ x dx ведут себя одинаково, то есть либо сходятся,

a

a

либо расходятся одновременно.

Дальше?

tg

1

x

1

Подсказка 3.

Пусть f x

. Сравним с функцией

φ x

.

x

5

1

x

x2

1

5

1

5

5

2

1

1

2

Так как lim

f x

lim

tg x x

tg

lim

x

x

lim

x2

1 0 , то ин-

x

x

φ x

5

x

x 1 x x

x

x 1

x x

x

x x2

тегралы f

x dx и φ x dx ведут себя одинаково.

a

a

dx

tg

1

x

1 x x

При этом интеграл

1

5

сходится, значит,

1

dx также сходится.

x 2

Замечание. При исследовании на сходимость несобственного интеграла

5

x p

dx

воспользовались тем, что

dx

сходится при p 1 и расходится при p 1.

1

x 2

1

e

dx

димость:

.

x ln3 x

1

Ответ: интеграл расходится.

Помочь?

Подсказка 1. Если функция

f x непрерывна на интервале

a, b , а в

b

точке x a имеет бесконечный разрыв, тогда f x dx называется несобствен-

a

b

b

ным интегралом 2-го рода и f x dx lim f

x dx .

ε 0

a

a ε

1

Подынтегральная функция

f x

неограничена в окрестности

x ln3 x

e

dx

e

dx

1

e

1

1

lim

lim

lim

.

3

3

2

2

2

1

x ln

x

ε 0 1 ε

x ln

x

ε 0

2ln

x

1 ε

ε 0

2ln

e

2ln

1 ε

6

dx

димость:

.

3 4 x 2

2

Ответ: Интеграл сходится и равен 6 3 2 .

Помочь?

Подсказка 1. Если x c a, b

− точка бесконечного разрыва функции

f x , то

b

c ε1

x

dx lim

b

f x dx lim

f

f x dx .

ε1 0

ε2

0

c ε2

a

a