Интегральное исчисление_эл_учебник

2) интервал a,b произвольным образом делили на n элементарных ин-

тервалов:

ное значение искомой величины (выбирались произвольная точка ξk xk 1, xk

и составлялся общий член интегральной суммы).

При этом мы исходили из предпосылки, что определяемая величина, со-

ответствующая всему интервалу, составляется как сумма таких же величин, со-

ответствующих всем элементарным интервалам;

4) составляли интегральную сумму, выражающую приближенное значе-

ние искомой величины, и, переходя к пределу при max xk 0 , получали определенный интеграл.

Таким образом, основная задача сводилась к получению общего члена

интегральной суммы. Применим эту же схему при отыскании физических вели-

чин.

Пример 5.9. Тело движется прямолинейно по закону S ct3 , где S – длина пути, проходимого за вре-

мя t , c const . Сопротивление среды F пропорционально квадрату скорости (коэффициент пропорциональ-

ности k ). Найти работу A , производимую силой сопротивления при перемещении тела из положения S 0 в

положение S a.

Решение. Если сила F постоянна и ее направление совпадает с направлением движения, то работа A

равна произведению силы F на длину пути. В момент времени t 0 тело находится в положении S 0 , а при

Предполагая силу постоянной на элементарном участке, получим:

A F V t 9kc2t4 3ct2 t 27kc3t6 t.

122

Откуда

Пример 5.10. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, если радиус сферы R 10 м (рис. 5.22).

Решение.

0

y

xR1

xx

x

Рисунок 5.22

Работа, необходимая для поднятия тела массы m на высоту h , равна mgh , где g – ускорение свобод-

ного падения, g 9,8 см2 .

Разделим полусферу плоскостями, перпендикулярными оси OX , на n произвольных слоев. Вычислим приближенно работу A , необходимую для того, чтобы выкачать воду из элементарного слоя, заключенного

между заштрихованными плоскостями:

A m g x ,

123

Пример 5.11. Вычислить силу давления на пластинку прямоугольной формы, вертикально погружен-

ную в воду, если известно, что основание ее равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхно-

сти воды и находится на глубине 5 м (рис. 5.23).

Решение. Согласно закону Паскаля, сила давления жидкости на площадку S с глубиной погружения h

P γghS,

где γ – удельный вес жидкости.

0

y

5

x

x x

17

x

Рисунок 5.23

Разделим прямоугольник на элементарные полоски, параллельные поверхности воды. Вычислим при-

ближенно давление воды на элементарную (заштрихованную) полоску:

P γgx 8 x .

Следовательно,

17

P 8γg xdx 4γgx2 17 1,034 107 Н .

5

5

Глава 6. Несобственные интегралы

В главе 4 было изучено понятие определенного интеграла для случая ко-

нечного промежутка a,b и непрерывной функции f (x) . Причем определен-

ный интеграл вводился как предел интегральной суммы.

В этой главе мы рассмотрим интегралы следующего вида:

1) интеграл от непрерывной функции по бесконечному интервалу инте-

грирования. Символическая запись:

124

2) интеграл по конечному интервалу интегрирования a,b от функции f (x) , имеющей на этом интервале бесконечный разрыв. Обозначается как и

b

определенный интеграл: f x dx .

a

Такие интегралы называются несобственными. Первый из них называется

несобственным интегралом первого рода, а второй – несобственным интегра-

лом второго рода.

6.1. Несобственные интегралы первого рода

Пусть функция f x непрерывна на интервале a, .

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом

T T a :

T

f x dx .

a

Очевидно, этот интеграл есть функция от T .

По определению

Если предел (6.1) существует, то несобственный интеграл называется

сходящимся, в противном случае расходящимся.

Аналогично вводятся несобственные интегралы вида

125

ограничивает криволинейную трапецию с бесконечным основанием (рис. 6.1.).

y

y f (x)

Рисунок 6.1

Если несобственный интеграл сходится, то площадь S заштрихованной фигуры вычисляется по формуле

том и только в том случае, если существует конечный предел lim F T .

T

126

Возьмём ε k2 и раскроем неравенство (6.7):

Докажем один из возможных случаев, а именно, из сходимости φ(x)dx

a

следует сходимость f (x)dx .

a

129