Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление_эл_учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

2.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Преобразуйте подынтегральную функцию и найдите Sф. .

Не получается?

Подсказка 3.

	3			2			3		2	x3			x2	3
	3			2			3		2	x3			x2	3
												3

Sф. (3		x) (x 4x 3) dx ( x 3x) dx									3		2
	0						0				3		2	0
	27	27			1	1	27	9
			0	27					.
	3		0	27		3	6	2	.
	3	2			2	3	6	2

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y ln x,

y 0,

x 6.

Ответ: 6ln 6 5.

Помочь?

Подсказка 1.

Сделайте рисунок к задаче. Воспользуйтесь одной из формул вычисления

площадей плоских фигур.

Помочь?

Подсказка 2.

Построение: график функции y ln x расположен в правой полуплоско-

сти, ось OX пересекает в точке A 1;0 , ось OY не пересекает. Прямая		y 0 –
ось OX , прямая x 6	проходит через точку B 6;0 .
	111

6 x

Фигура, площадь которой следует найти, является криволинейной трапе-

цией. Следовательно, Sф. ln xdx.

Желаем успеха!

Дальше?

Подсказка 3.

Возьмите интеграл методом интегрирования по частям.

Напомнить?

Подсказка 4.

Метод интегрирования по частям для определенного интеграла:

udv (u v)

ba vdu.

a a

Как это сделать?

Подсказка 5.

В данном случае u ln x , dv dx . Найдите du и v , дальше – вычисление

по формуле.

Не получается?

Подсказка 6.

u ln x,

ln xdx

(x ln x)

16 x

(x ln x)

16 dx

dv dx,

v x

(6ln6 ln1) (6 1) 6ln6 5.

Замечание: Из свойств логарифмов ln1 0.

112

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y sin2 x,

x [0, π],

y 0.

Ответ: π2 .

Помочь?

Подсказка 1.

Сделайте рисунок к задаче. Воспользуйтесь одной из формул вычисления площадей плоских фигур.

Дальше?

Подсказка 2.

Построение: указанная часть графика функции y sin2 x расположена в первой четверти координатной плоскости ( y 0).

	0		π		π	x
			2
Прямая y 0 – ось OX . Фигура, площадь которой следует найти, являет-
				π
ся криволинейной трапецией, поэтому Sф. sin2 xdx.
			0
Желаем успеха в дальнейших вычислениях!
							А дальше?
Подсказка 3.
Воспользуйтесь	одной	из		формул		понижения	степени

sin2 x 12 (1 cos 2x) , затем продолжите вычисления.

Не получается?

Подсказка 4.

113

	1 π			1		1		π	1		1			π

Sф.			(1 cos 2x)dx		x		sin 2x			π		sin 2π	0		.
	2			2		2					2			2
									2
		0						0

Замечание. Из свойств функции y sin x : sin0 sin π sin 2π 0.

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклои-

ды, задаваемой уравнениями x(t) a t sin t , y(t) a 1 cost a 0 и осью

OX ( y 0) .

Ответ: 3πa2 .

Нужна помощь?

Подсказка 1. Сделайте рисунок к задаче. Воспользуйтесь одной из фор-

мул вычисления площадей плоских фигур.

Дальше?

Подсказка 2.

Построение: для простоты построения выберем первую арку циклоиды t 0, 2π .

πa

2πa x

Фигура, площадь которой следует найти, является криволинейной трапе-

цией. Поскольку линия, ограничивающая ее сверху, задана параметрическими

2π
уравнениями, то Sф.
уравнениями, то Sф.	y(t) x (t) dt. Найдите	x (t), подставьте и вычислите по-
0
лученный интеграл.
		А дальше?
Подсказка 3.
	114

		'		2π
		'	a (1 cos t) , то Sф.	a	2	(1 cos t)	2
Так как	x (t) a(t sin t)		a (1 cos t) , то Sф.	a		(1 cos t)		dt.
				0

Желаем успеха в дальнейших вычислениях!

Не получается?

Подсказка 4.

Для подынтегральной функции выполните операцию возведения в квад-

рат. Далее воспользуйтесь одной из формул понижения степени:

cos2 x	1		(1 cos 2x).
cos2 x			(1 cos 2x).
2
																							Как это делать?
Подсказка 5.
					2	2π				2		2		2π					1
Sф.			a				(1 2cos φ cos				φ)dφ a					1		2cosφ			(1 cos 2φ) dφ
Sф.			a				(1 2cos φ cos				φ)dφ a					1		2cosφ			(1 cos 2φ) dφ
						0									0				2
		2 2π 3						1					2			3				1				2π
		2 2π 3						1					2			3				1				2π
a							2cos φ		cos 2φ dφ a								φ 2sin φ					sin 2φ
a							2cos φ		cos 2φ dφ a								φ 2sin φ					sin 2φ
			0	2				2								2				4				0
			0																					0

a2 3 2π 3πa2 .

Замечание. При вычислении воспользуйтесь тем, что sin0 sin 2π 0 .

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

x 4cos 3t,

y 3sin 3t.

Ответ: 92π .

Помочь?

Подсказка 1.

Сделайте рисунок к задаче. Воспользуйтесь одной из формул вычисления

площадей плоских фигур.

Подробнее?

Подсказка 2.

115

Построение: Астроида – замкнутая линия, симметричная относительно осей координат. Вершины астроиды находятся на осях координат в точках

A1 (4;0), A2 (0;3), A3 4;0 и A4 (0; 3).

A2 3

A3		A
		1
4	0	4 x

A4 3

В силу симметрии фигуры достаточно вычислить площадь той части, ко-

торая находится в первой четверти координатной плоскости

SA 0 A

S1 . Тогда

4S . Точка

A соответствует значениям параметра t 0,

точке

A t

ф.

Однако при движении от A1 до A2

вдоль оси OX координата x

убывает. Сле-

довательно, S1 y(t) x (t)dt. Найдите x (t) , подставьте и вычислите полу-

ченный интеграл.

А дальше?

Подсказка 3.

cos

4 3cos

t( sin t) 12cos

t sin t.

Тогда

x (t) 4cos

3sin3 t ( 12cos2 t sin t) dt 36 sin4 t cos2 t dt.

Желаем успеха в дальнейших вычислениях!

Не получается?

116

Подсказка 4.

Подынтегральная функция – четная по переменным sin x и cos x . Вос-

пользуйтесь						формулами			понижения					степени:					sin2 x	1	(1 cos 2x),
пользуйтесь						формулами			понижения					степени:					sin2 x	2	(1 cos 2x),
																				2
cos2 x	1	(1 cos 2x).
cos2 x	2	(1 cos 2x).
	2
																			Как это сделать?
Подсказка 5.
				π												π
				2	1			2	1					9	2			2
S1	36						(1 cos 2x)			(1 cos 2x)dx							(1 cos		2x) (1 cos 2x)dx
S1	36				2		(1 cos 2x)		2	(1 cos 2x)dx				2			(1 cos		2x) (1 cos 2x)dx
					2				2					2
				0											0
			π										π

	9	2									9	2
	9	sin2			2x(1 cos 2x)dx						9	(1 cos 4x) (1 cos 2x)dx
	2	sin2			2x(1 cos 2x)dx					4		(1 cos 4x) (1 cos 2x)dx
	2	0								4		0
		0										0

9 2 (1 cos 2x cos 4x cos 2x cos 4x)dx . 4 0

Далее воспользуйтесь формулой: cos α cosβ 12 cos(α β) cos(α β) .

Дальше?

Подсказка 6.

cos 2x cos 4x	1	cos 2x cos6x , тогда
cos 2x cos 4x	2	cos 2x cos6x , тогда
	2
					π

			9	2			1		1
S1						1		cos 2x cos 4x		cos6x dx
S1			4			1	2	cos 2x cos 4x	2	cos6x dx
			4				2		2
				0

9		1		1		1
	x		sin 2x		sin 4x		sin 6x
	x		sin 2x		sin 4x		sin 6x
4		4		4		12

Следовательно, Sф. 4S1 4 98π 9π2 .

94 2π 9π8 .

117

Пример 7. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

ρ 2(1 cosφ).

Ответ. 6π .

Помочь?

Подсказка 1.

Сделайте рисунок к задаче. Воспользуйтесь одной из формул вычисления

площадей плоских фигур.

	φ	π
		2
	A1
A2		φ 0
φ π	0	ρ

φ 3π 2

Дальше?

Подсказка 2.

Построение: линия, ограничивающая фигуру задана в полярной системе координат: ρ 2(1 cosφ). Очевидно, ρ 0 для любых значений φ . Для по-

строения графика будем, задавая произвольные значения φ , определять соот-

ветствующие значения ρ :

φ	0	π	π				3π	2π

		2				2
		2				2

ρ	0	2	4			2		0

			2
Воспользуйтесь симметрией фигуры: S			2	1	π 2(1	cos φ) 2dφ.

ф.

А дальше?

118

Подсказка 3.

Для подынтегральной функции выполните операцию возведения в квад-

рат. Далее воспользуйтесь одной из формул понижения степени:

cos2 φ 12 (1 cos 2φ).

Не получается?

Подсказка 4.

π	2	π		1	1
Sф. 4 (1 2cos φ cos		φ) dφ 4 1	2cosφ			cos 2φ	dφ
Sф. 4 (1 2cos φ cos		φ) dφ 4 1	2cosφ			cos 2φ	dφ
0		0		2	2

	π	3		1			3		1		π	3
	π	3		1			3		1		π	3
4			2cos φ		cos 2φ	dφ 4		φ 2sin φ		sin 2φ		4	π	6π.
4			2cos φ		cos 2φ	dφ 4		φ 2sin φ		sin 2φ		4	π	6π.
		2		2			2		4			2
	0										0

Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой: ρ sin 4φ.

Ответ: π4 .

Помочь?

Подсказка 1.

Сделайте рисунок к задаче. Воспользуйтесь одной из формул вычисления площадей плоских фигур.

Подробнее?

Подсказка 2.

Построение: линия, ограничивающая фигуру, задана в полярной системе

координат: ρ sin 4φ . По определению

ρ 0 ,

следовательно, sin 4φ 0,

т.е.

2πn 4φ π 2πn

n Z , или

πn

. Тогда

n 0 :

0 φ

– первый лепесток, симметричен относительно луча

;

n 1:

3π

– второй лепесток, симметричен относительно луча

5π

;

119

n 2 :

π φ

5π

– третий лепесток,

симметричен относительно луча φ

9π

;

n 3:

3π

7π

– четвертый

лепесток, симметричен относительно луча

13π

5π

3π

φ 4

φ π

φ 0

9π

7π

5π

3π

13π

Можно воспользоваться симметрией фигуры и вычислить площадь поло-

1 8

вины одного лепестка, тогда: Sф. 8 2 0 sin2 4φ dφ. Воспользуйтесь одной из

формул понижения степени: sin2 α 12 (1 cos 2α).

Не получается?

Подсказка 3.

	π			π					π
8		1	8			1					π	π
8		1	8			1		8			π	π
Sф. 4			(1 cos8φ)dφ 2 (1 cos8φ)dφ 2		φ		sin φ			2			.
Sф. 4			(1 cos8φ)dφ 2 (1 cos8φ)dφ 2		φ		sin φ			2			.
0		2	0			8		0			8	4
0			0					0

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.20158.88 Mб560инженерная графика.pdf
#
02.02.2015247.81 Кб24инсайдер.doc
#
02.02.2015448.51 Кб99Инструкция.doc
#
01.05.2025351.18 Кб0Инструкция.docx
#
02.02.2015271.87 Кб34ИнструкцияПоЭксплуатКиевГолосеевка.doc
#
22.05.20152.52 Mб47Интегральное исчисление_эл_учебник.pdf
#
01.07.20251.16 Mб0Интегрированный пакет Office MS Excel начало.doc
#
01.07.202542.74 Кб0интеллектуальная собственность.docx
#
03.09.2019333.31 Кб10Интимные мышцы.doc
#
25.08.2019518.14 Кб1Инф. после редактирования.doc
#
20.03.20167.7 Mб50Инф.системы и технологии в управлении - Лекции.pdf