Интегральное исчисление_эл_учебник

интервале, соответственно.

Очевидно,

mk xk Sk Mk xk ,

где mk xk – площадь прямоугольника, содержащегося в элементарной криво-

линейной трапеции (рис. 5.2.);

Mk xk – площадь прямоугольника, содержащего элементарную криволи-

нейную трапецию.

Рисунок 5.2

92

Обозначив через Ck некоторое число, лежащее между mk и M k , можем

Sk Ck xk . Так как непрерывная функция y f x на интервале принимает все значения между mk и M k , то в этом промежутке

найдется точка ξk , в которой f ξk

Итак,

Sk f ξk xk .

Таким образом,

mk xk f ξk xk Mk xk ,

откуда

определенная на интервале a,b . Площадь S заштрихованной криволинейной трапеции (рис.5.3) вычисляется по формуле

a

93

y

y f (x)

Рисунок 5.3

y g(x)

y

y x 1

1

1

y x2

Рисунок 5.5

Пример 5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом (рис. 5.6)

94

Решение.

b

Рисунок 5.6

Из симметрии эллипса относительно осей координат вытекает, что искомая площадь S 4S1 , где S1 –

площадь криволинейной трапеции OAB . Из уравнения эллипса находим

При a b , когда эллипс обращается в окружность радиуса a , получим известное выражение πa2 для

площади круга.

Пример 5.3. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой циклоиды (рис. 5.7)

x a (t sin t),y a (1 cos t).

Решение. Площадь фигуры вычисляется по формуле (5.1):

рования изменяются следующим образом: если x 0 , то t 0 , и если x 2πa , то t 2π .

95

y

Рисунок 5.7

Итак,

5.1.2.Вычисление площади плоских фигур

вполярной системе координат

Зададим на плоскости точку O и исходящий из этой точки луч OM

(рис. 5.8). Точка O называется полюсом, а луч OM – полярной осью. Положе-

ние произвольной точки P на плоскости определяется координатами r и φ ,

где r OP , а φ – угол образованный вектором OP с полярной осью.

P

O M

Рисунок 5.8

Угол φ условимся брать либо в пределах 0 φ<2π , либо π φ π . При-

чем угол φ считается положительным, если отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

96

Очевидно, каждой точке P плоскости соответствует единственная пара чисел (r,φ) , исключением является полюс, для которого r 0, а φ произволь-

но. Обратно, каждой паре чисел (r,φ) соответствует единственная точка плос-

кости. Числа (r,φ) называются полярными координатами точки.

Установим связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки. Пусть даны декартова система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью абсцисс (рис. 4.11).

Обозначим через x и y декартовые координаты произвольной точки P , через

r и φ – её полярные координаты.

Из рисунка 5.9 видно, что

где r x2 y2 .

Из (5.4) получаем

Рисунок 5.9

По формуле (5.5) определяется тангенс полярного угла φ , при этом полу-

чается два значения φ , лежащие в разных четвертях. Так как y r sin φ , то из этих двух значений угла φ нужно выбрать то, для которого sin φ имеет тот же знак, что и y .

Замечание. Для выведенных нами полярных координат r 0, π φ π

или 0 φ 2π . Однако, такое задание иногда ограничивает наши возможности.

Поэтому в необходимых случаях будем считать 0 r , φ . Напри-

97

Так как непрерывная функция r r(φ) в промежутке [φk 1,φk ] принимает

Пример 5.4. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r a (1 cos φ) .

Решение. Для построения графика (рис. 5.11) будем давать φ произвольные значения и определять со-

ответствующие значения r :

a

S1

a

Рисунок 5.11

99

Пример 5.5. Найти площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой r a sin 3φ (рис. 5.12).

6

a

a

M

a

φ 32π

Рисунок 5.12

В силу симметрии площадь S трехлепестковой розы равна шести площадям заштрихованной фигуры,

то есть

5.2. Вычисление длины дуги кривой