Борман Теория разделения изотопов 2007

Суммарный поток идеального каскада можно оценить через разделительную способность каскада, вычисляемую по формуле

∆U = PV (cP) +WV (cW ) − FV (cF ) ≡ ∑(δU s)ид ,

s

отнесенную к среднему значению (по ступеням каскада)

Аналогично можно вычислить суммарный поток смеши-

ношение суммарных потоков в идеальном и оптимальном

Величина параметра η в рассматриваемом случае равна

0,973, а отношение средних удельных разделительных способностей в оптимальном и идеальном каскадах составляет 1,667. Это и приводит к тому, что в идеальном каскаде величина суммарного потока больше, чем в оптимальном каскаде на 60%.

Отличие параметров крайних ступеней оптимального каскада от параметров остальных ступеней связано с необходимостью выполнения граничных условий c1′′= cW и c′N = cP .

1.8. Идеальный каскад с потерями [1]

Химическая стойкость является одним из главных требований, предъявляемых к рабочему веществу, в состав которого входят разделяемые изотопы. Вместе с тем многие рабочие

81

газы подвержены частичному разложению в процессе разделения. Например, при разделении изотопов урана рабочий газ UF6 разлагается при взаимодействии с парами воды, которые попадают в разделительный аппарат вместе с натекающим воздухом с образованием твердых соединений урана. При разделении изотопов других химических элементов может происходить термическое разложение рабочего вещества, локализованное в местах с повышенной температурой (например, на ударной волне при сверхзвуковом обтекании устройств для отбора обогащённой и обеднённой фракций из газовой центрифуги), как это имеет место при разделении изотопов кадмия в виде диметила кадмия Cd(CH3)2 [23–25].

Теория идеального каскада с потерями, в случае «слабого обогащения», разработанная К.Коэном [1], позволяет оценить вызываемое этими потерями увеличение суммарного потока в разделительной установке.

Рис. 1.12. Схема разделительной ступени каскада при наличии потерь рабочего вещества. Gi,s , Gi′,s , Gi′′,s – потоки i-го компонента

(i = 1, 2) на входе, в обогащенной и обедненной фракциях соответственно

82

Как правило, потери пропорциональны производительностям ступеней каскада и могут быть представлены в виде произведения yLs , где y – коэффициент пропорционально-

сти, который обычно принимают постоянным для всех ступеней каскада, причем y <<1 . Если коэффициенты разделения

α, β и q =α β постоянны, нетрудно убедиться, что при

этом для потоков первого и второго компонентов должны выполняться следующие соотношения:

С другой стороны, в идеальном каскаде, состоящем из

Уравнение баланса для потоков ценного изотопа на входе в s -ую ступень симметричного каскада с учетом потерь и очевидного соотношения

имеет вид

G1′,s + G2′′,s = G1′,s−1 + G1′′,s+1 − y(G1′,s + G1′′,s ). (1.186)

Подстановка соотношения (1.184) в равенство (1.185) приводит к следующему уравнению:

83

Решение полученного разностного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами относительно функции G1,s

где ω1 и ω2 являются корнями характеристического (квадратного) уравнения

где sp – номер ступени, из которой берется отбор.

Разрешая систему (1.192) – (1.193) относительно A и B и подставляя их значения в (1.188), получают выражение для

G1',s :

84

и, следовательно, разностное уравнение для нахождения потока G2' ,s может быть представлено в виде:

Решение уравнения (1.196) имеет вид, аналогичный (1.194)

представим ω1(α), ω2 (α), ω1 α1 и ω2 α1 в следующем виде:

Рассмотрим пример расчёта идеального каскада с потерями без обеднительной секции. Определим, что на вход в ну-

85

левой ступени подаётся поток с относительной концентрацией ценного изотопа R0 . Тогда для произвольной ступени с номером s будут выполняться следующие соотношения:

Поток на входе в произвольную s -ую ступень получим суммированием всех входных потоков компонентов

учетом (1.199), (1.200), (1.201) и (1.202), после алгебраиче-

ских преобразований получим выражение для потока на s-й ступени каскада:

Суммируя (1.204) по всем ступеням идеального каскада, имеем

86

В выражении для суммарного потока в каскаде (1.205) учтено, что Rs = αs R0 и RP = αsP +1R0 . Если устремить потери к нулю ( ( y → 0, ∆ → 0) , то соотношения (1.204) и (1.205) пе-

реходят в соответствующие формулы для идеального каскада без потерь.

Полученные без ограничений на величину коэффициента разделения выражения (1.183) и (1.184) упрощаются в случае слабого обогащения на ступенях каскада. Учитывая, что α =1 +ε' , причем ε'<<1, соотношение (1.200) может быть преобразовано к виду

Для компенсации потерь рабочего вещества в разделительных ступенях необходимо увеличить суммарный поток в каскаде. Выражение (1.207) позволяет оценить, во сколько раз следует увеличить поток на входе в s -ую ступень идеального каскада при наличии потерь:

87

в свою очередь зависит от отношения εy'2 = εyL'2 L , опреде-

ляющего отношение потерь к разделительной способности ступени.

Анализ выражения (1.209) свидетельствует о том, что наибольшие потери имеют место в головных ступенях каскада.

88

Зависимость относительного изменения суммарного пото-

ка от величины εy'2 представлена на рис. 1.13. Видно, что при

величине потерь y = 0,025 относительное возрастание сум-

марного потока составляет примерно 15%.

Величина концентрации ценного изотопа в потоке отбора при фиксированном значении относительного увеличения суммарного потока оказывается весьма чувствительной к из-

менению величиныεy'2 , что наглядно демонстрирует зависи-

мость, приведенная на рис. 1.14.

1.9.Прямоугольно-секционированные (ПСК)

и прямоугольные каскады (ПК) для разделения бинарных смесей [4, 5, 7]

1.9.1. ПСК и ПК в случае «слабого обогащения»

Очевидно, что осуществить непрерывное изменение потока по мере увеличения концентрации, как это должно происходить в идеальном каскаде, практически невозможно. Поэтому изменение осуществляют ступенчато, вследствие чего каскад, аппроксимирующий идеальный, представляет собой определенное число секций, в каждой из которой поток постоянен, но отличается от потока в другой секции (рис.1.15). Каждая секция представляет собой участок из определенного числа ступеней, через каждую из которых проходит один и тот же поток разделяемой смеси. Такой каскад называют прямоугольно-секционированным каскадом (ПСК).

Как же осуществляют изменение потока между отдельными секциями ПСК?

В точках соединения двух прямоугольных секций их стыковка осуществляется следующим образом (рис. 1.16).

89