Борман Теория разделения изотопов 2007

На рис. 1.24 представлены зависимости КПД формы ПСК от головного потока LГ при различных значениях чисел сек-

ций. Каждому значению головного потока LГ на зависимостях 1-5 соответствует максимальное значение величины

ходит через максимум. Эти точки экстремума и сами экстремумы соответствуют абсолютному максимуму величины η и,

соответственно, определяют оптимальный вариант ПСК с заданным числом прямоугольных секций. С ростом числа секций максимумы η = f (LГ ) становятся более пологими, а при

бесконечном увеличении числа секций КПД прямоугольносекционированных каскадов стремится к 100%.

1.10.ПК в случае произвольных обогащений на его ступенях [27]

В случае немалых обогащений на ступенях ПК (рис. 1.25) с математической точки зрения представляет дискретную систему, к которой не приемлемы подходы и допущения, имеющие место для каскадов с малыми обогащениями на его ступенях.

По определению прямоугольного каскада на входе в каждую ступень поток одинаков, т.е. Ls = L = const, 1 ≤ s ≤ N .

Для выполнения этого условия в общем случае на концах каскада организуется закрутка в виде подачи части потока, выходящего с крайних ступеней в их питание

112

ни (см. схему на рис. 1.26), то в этом случае приходим к следующим формулам,

Рис. 1.26. Схема деления внешнего потока питания

Получим теперь формулы для расчета распределения концентрации по длине каскада. По определению полного коэффициента разделения ступени имеем:

c'

1− c"

откуда концентрация ценного (целевого) компонента в обогащенном потоке будет равна

В дальнейшем принято, что величина q по ступеням каскада не меняется.

Из балансовых уравнений (1.259) с учетом (1.266) и (1.267) следует

115

Чаще всего задачу поверочного расчета прямоугольного каскада формулируют следующим образом.

Задано: N, f , q, cF , P, W, F, L . Найти cP и cW , возможно и cs , а также распределение θs по длине каскада. Та-

кой расчет необходим при исследовании оптимального управления процессом разделения при изменении режимов работы отдельных ступеней разделительного каскада, а также при использовании одного и того же каскада для разделения различных изотопных смесей. Сложность такого расчета связана с нелинейностью уравнений (1.268), а также с тем фактом, что значения концентраций на концах каскада, явно входящие в эти уравнения, неизвестны.

Невозможность аналитического решения системы (1.268) приводит к необходимости разработки и использования численных итерационных методов с уточнением ориентировочно принятых начальных значений концентраций на концах каскада (см. часть 2).

Соотношения (1.259) – (1.260) и (1.268) и соответственно алгоритм расчета могут быть легко обобщены на случай ПСК.

Задачу оптимизации ПК можно сформулировать следующим образом. Пусть величины P, cP, cF , cW , q заданы, то-

гда количество свободно выбираемых переменных каскада составляет 3 параметра. Это дискретные параметры N (полное число ступеней в каскаде), f (номер ступени, на вход которой подают поток питания F ) и величина потока пита-

116

ния ступеней L = const . Значения N, f и L должны быть

найдены в результате решения задачи оптимизации. В качестве критерия оптимизации может быть выбран минимум суммарного потока.

1.11. Нестационарные (переходные) процессы в каскадах

1.11.1.Дифференциальное уравнение нестационарного разделительного процесса. Некоторые особенности нестационарных процессов [29, 30]

Одной из специфических особенностей получения стабильных изотопов (особенно в случае «слабого обогащения», реализующегося в методе газовой диффузии, а также в физи- ко-химических методах: дистилляции, химическом изотопном обмене) является большая длительность переходных процессов в разделительных каскадах, измеряемая в ряде случаев неделями и даже месяцами, что может быть сравнимо с длительностью непрерывной работы установки.

Одной из основных целей исследовании нестационарных (переходных) процессов в каскадных установках является определение характерного «времени установления», т.е. времени от запуска каскада до достижения величин внешних потоков и концентраций, соответствующих стационарному режиму установки. Этот режим имеет место в том случае, когда в каждом сечении каскада перенос (поток) ценного изотопа Js

равен PcP для обогатительной и WcW для обеднительной

частей каскада соответственно. При этом стационарный режим течения разделяемой смеси устанавливается сравнительно быстро, тогда как стационарный режим по концентрациям в случае q ~1 достигается за существенно более длительное

время.

Для получения уравнений, описывающих нестационарный процесс переноса ценного компонента в каскаде в случае

117

«слабого обогащения», рассмотрим каскад для разделения бинарной смеси изотопов однофазным методом. Пусть в некоторое промежуточное сечение каскада подают поток питания F, а с концов каскада отбирают потоки отбора P и отвала W. Величины P, W и F в общем случае могут быть функциями от времени, но при этом должны быть связаны уравнением сохранения вещества (F = P +W ) . Предположим, что режим

гидродинамических течений в каскаде установился и потоки, а также количество разделяемого вещества на каждой ступени («задержка») H(s) не зависят от времени. Ниже будет по-

казано, что такое предположение допустимо при разделении изотопов. С учетом сделанных предположений запишем условия материального баланса в произвольном сечении каскада на участке между s-й и s + 1 ступенями

перенос (поток) ценного (извлекаемого) изотопа.

В обогатительной части каскада перенос T равен величине потока отбора, а в обеднительной части – величине потока отвала со знаком минус. Поток J (s,t) определяется накопле-

нием ценного компонента в различных частях каскада:

– в обогатительной части

где s = 1 и s = S – номера первой и последней ступеней каскада соответственно.

Для рассматриваемого случая «слабого обогащения» с точностью до малых порядка ε2 система разностных уравне-

118

ний (1.269), (1.270) с учетом (1.271) и (1.272) может быть приведена к уравнению в частных производных

где выражение для потока ценного изотопа определяется как

В однофазных методах разделения разделительные каскады, как правило, имеют одинаковые элементы. Это позволяет полагать, что задержка ступени прямо пропорциональна по-

току L(s) [1], т.е.

где ω – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность времени. Величина ω определяет время, на которое задерживается разделяемое вещество в ступени. При этом

время, равное ω / ε 2 , по порядку совпадает с продолжительностью переходных процессов, связанных установлением потока L(s). А время достижения равновесных распределений концентраций характеризуется, как будет показано ниже,

временем h /ε 2 . Учитывая, что число ступеней в каскаде об-

ратно пропорционально величине ε , очевидно, что временем установления Nh можно пренебречь и полагать H и L функциями только номера ступени.

Если ввести новые переменные

то после этого такие характеристики разделительного процесса, как ε и ω , из описания нестационарного процесса могут быть исключены, а исходная система (1.273), (1.274) примет вид, не зависящий от конкретного метода разделения

119

для обеднительной части каскада.

В уравнениях (1.273) и (1.277) в приближении «слабого обогащения» предполагается, что отсчет ступеней каскада проводится от отвала к отбору, т.е. от y = 0 до y0 = εS . В

граничные условия кроме условий на концах каскада должны входить условия на стыках соседних секций .

Связь уравнений нестационарного процесса в точке «стыка» соседних i-й и (i + 1)-й секций можно получить из усло-

где знаки – и + обозначают производную слева и справа от «стыка» i-й и (i + 1)-й секций, а c* – концентрации в точке «стыка» секций.

Если на стыке k -й и k +1-й секции подают поток питания F , то уравнение (1.280) с учетом уравнения баланса разделяемого вещества по каскаду:

Под секцией в общем случае следует понимать участок каскада, на котором функция χ( y) является непрерывной функций координаты.

120