Борман Теория разделения изотопов 2007

Правая часть выражения (1.160) по форме записи соответствует полезной разделительной способности каскада, введенной в п. 1.5. В левой части (1.160) под знаком суммы стоит величина, которую можно интерпретировать как разделительную способность симметричной разделительной ступени

Если все ступени каскада состоят из идентичных элементов, то суммарное число таких элементов Zид будет равно

разделительный элемент.

Характерно, что для всех ступеней каскада в случае, когда

нии (1.162) минимальной величиной при заданных значениях P, cP, cW ? Другими словами, является ли в данном случае

"идеальный каскад" "оптимальным каскадом"? Используя аналитические подходы, ответить на этот вопрос невозможно.

71

1.7.Оптимизация каскада с заданными внешними концентрациями целевого изотопа. Сравнение идеального и оптимального каскадов [17–22]

Как будет показано ниже, каскад, параметры которого оптимизированы, в ряде случаев может иметь суммарный поток, величина которого меньше, чем в соответствующем идеальном каскаде [17, 18]. Приведем алгоритм расчета и оптимизации противоточного симметричного каскада.

Количество основных параметров, возникающих при описании разделения в каскаде, равно 6N + 8. Перечислим их. Внешние параметры: потоки питания, отбора и отвала с соответствующими концентрациями. Внутренние: число ступеней и номер ступени, в которую подается поток питания, а также три потока с соответствующими концентрациями в каждой ступени. Из них N + 4 являются независимыми, а остальные 5N + 4 связаны следующими соотношениями:

уравнения баланса вещества и целевого компонента в ступенях каскада

уравнения балансов межступенных потоков

L1 = L′′2, L2 = L1′ + L3′′, ... , Lf = L′f −1 + L′′f +1 + F ; (1.164)

уравнения разделения в ступенях каскада

граничные условия

Здесь qs (Ls, θs ) – известные функции, определяющие за-

висимость полных коэффициентов разделения ступеней от потоков и коэффициентов деления потока.

72

Рассмотрим простейший случай, когда полный коэффициент разделения на каждой ступени постоянен. Введем вспомогательные величины Ts и J s , которые принято называть

транзитными потоками разделяемой изотопной смеси и целевого изотопа соответственно. Они определяют перенос разделяемого вещества в целом и ценного компонента в сторону отбора из каскада, и в случае противоточного симметричного каскада находятся как разности двух потоков, проходящих через произвольное сечение между ступенями каскада

где s = 2, N – номер ступени справа от сечения.

Согласно уравнениям баланса для каскада в целом в отборной (обогатительной) секции обогащенная фракция предыдущей ступени превышает обедненную фракцию следующей ступени на величину P . Для соответствующих потоков целевого изотопа разница составляет PcP . В секции обедне-

Используя определение для полного коэффициента разделения и транзитных потоков, можно составить две рекуррентные формулы для определения концентраций

Формула (1.171) отражает изменение состава разделяемой смеси в ступени в результате эффекта разделения. Вторая рекуррентная формула с транзитными потоками составлена, ис-

73

ходя из балансовых соотношений в сечениях каскада. Она позволяет связать концентрации обогащенной фракции предыдущей ступени с концентрацией обедненной фракции следующей ступени.

и C1′′ из граничных условий для каскада в целом. Затем, ис-

пользуя рекуррентные соотношения (1.171) – (1.172), можно найти концентрации обогащенной и обедненной фракций всех ступеней, начиная с первой. Процедура расчета завершается определением концентрации обогащенной фракции последней ступени c′N . После этого необходимо проверить гра-

ничное условие c′N = cP . Если оно удовлетворяется, это озна-

чает, что все параметры были заданы правильно, и можно перейти к поиску других интересующих параметров каскада. В противном случае надо изменить один из заданных параметров и повторить описанную выше процедуру.

Задачу оптимизации сформулируем как определение внутренних параметров каскада, минимизирующих сумму потоков питания ступеней при выбранных внешних параметрах (см. формулу 1.99).

Оптимизация параметров каскада может быть проведена как численными, так и численно-аналитическими методами. Приведем численно-аналитический метод, предложенный в работе [17]. Задача оптимизации по критерию (1.99) ищется

где функция Λ отражает процедуру расчета концентраций по формулам (1.171) и (1.172).

74

Оптимальные значения N и f ищут перебором. В случае одинаковых полных коэффициентов разделения на ступенях каскада количество вариантов перебора N и f можно

уменьшить, вычислив их приближенные значения по формулам идеального каскада с симметричными ступенями. При фиксированных значениях N и f транзитные потоки в кас-

каде определяются заданными значениями внешних параметров.

Функцию Λ записывают в явном виде, используя подстановку в первое рекуррентное соотношение (1.171) параметров

Используя правило дифференцирования неявных функций

75

пользуя второе рекуррентное соотношение из (1.172), выразим производную c′′j

∂c′N −1∂L′′s и повторяя эту процедуру до ступени с номером s , находим

Производную ∂Λ∂L′s′−1 можно записать аналогичным образом, если заменить индекс s на s −1. Бóльшая часть множителей в производных ∂Λ∂L′s′ и ∂Λ∂L′s′−1 совпадает. По-

этому после подстановки производных ∂Λ∂L′s′ и ∂Λ∂L′s′−1 в

(1.175) эти множители сокращаются. В результате получаем систему квадратных уравнений относительно потоков L′′s :

Концентрации c′s−1, c′s−2, c′′s−1 в уравнении (1.180) находят по вычисленным величинам L′2′ , L3′′ ,..., L′′s−1 . Поэтому задача оптимизации сводится к численному перебору L′′2 и нахождению потоков по формуле

76

Решение считается найденным, если выбор L′′2 обеспечивает выполнение условия (1.173). Можно показать, что зависимости L′′s от L′′s−1 и, как следствие, c′N от L′2′ являются возрастающими функциями. Отсюда следует считать единственность значения L′′2 , удовлетворяющего уравнению (1.173), и

возможность его определения одним из обычных численных методов.

Описанный метод оптимизации может быть распространен на случай, когда полный коэффициент разделения является заданной функцией номера ступени каскада.

Как было сказано выше, оптимизацию параметров каскада можно проводить с использованием различных численных методов оптимизации. В качестве такого метода можно использовать симплексный метод, основная идея которого заключается в последовательной замене вершин регулярного многогранника (симплекса) пространства n независимых переменных таким образом, чтобы получить наибольшее уменьшение (или увеличение) значения оптимизируемой функции [16]. Одним из вариантов симплексного метода является метод деформируемого многогранника. В этом методе симплекс задан не жестко, а может подстраиваться под топографию целевой функции, деформироваться, сжимаясь в окрестности оптимума и растягиваясь вдоль оврагов [21]. Этот метод позволяет без введения каких-либо приближений и допущений найти оптимальные параметры каскада с использованием общих конечно-разностных уравнений. При этом для поиска оптимальных параметров каскада методом деформируемого многогранника путем минимизации суммарного потока каскада в качестве начального приближения могут быть выбраны параметры идеального каскада.

77

Расчеты показывают, что при фиксированных внешних параметрах, определенных по идеальному каскаду с симметричными условиями работы ступеней ( α = β ), и одинаковых

внутренних параметрах N и f идеальный каскад с симметричными ступенями и оптимальный каскад идентичны [16] для значений q , несильно отличающихся от единицы. Другая картина имеет место, если в расчете параметров оптимального каскада получаются меньшие наилучшие значения N и f , чем для идеального каскада [22]. В этом случае коэффи-

циенты разделения ступеней q >> 1 и степень разделения каскада Q >> 1. Суммарный поток такого оптимального каскада меньше, чем идеального каскада с симметричными ступенями, а изменение параметров α и β по каскаду соответствует

формуле (1.67). Таким образом, при высокой степени разделения каскада и больших коэффициентах разделения ступеней идеальный каскад с симметричными степенями не обладает свойством оптимальности.

Данный случай работы разделительного каскада соответствует очистке ценного компонента от примесей и получению высококонцентрированных изотопов. Для производства низкообогащенного урана (cP << 1) получаемые при оптимизации значения N и f для оптимального каскада не отличаются от

идеального с симметричными ступенями. Поэтому такой идеальный каскад можно считать оптимальным. Однако его нельзя построить для любых заданных значений cP и cW . В этом случае можно рассчитать соответствующий идеальный каскад с несимметричной работой ступеней. Как показывает сравнение с аналогичным оптимальным каскадом, их параметры существенно отличаются даже при одинаковых

N и f .

В табл. 1.3 приведены значения параметров оптимального каскада для разделения изотопов урана, рассчитанных для тех

78

же исходных данных, что и для идеального каскада из несимметричных ступеней.

Таблица 1.3

Параметры ступеней оптимального каскада [16]

* Точка подачи внешнего питания.

Относительный суммарный поток оптимального каскада равен ∑Ls / P =185,03, сумма относительных разделитель-

s

ных способностей (мощностей) всех ступеней каскада ∑δU s / P = 4,926, что не намного больше, чем в случае иде-

s

ального каскада. Однако среднее значение удельной раздели-

2,65 10-2, что заметно больше, чем в идеальном каскаде.

Как видно из данных, представленных в табл. 1.3, оптимальный каскад является смешивающим. Потери от смешивания оценим путем сравнения разделительной способности идеального каскада, которая может быть рассчитана как сум-

79

s

тенциал, с суммой относительных разделительных способностей ступеней оптимального каскада. Критерием сравнения

в рассматриваемом случае равна 97,3%. Это означает, что потери работы от смешивания в оптимальном каскаде составляют 2,7%. При этом суммарный поток в идеальном каскаде более, чем на 60% превосходит поток в оптимальном каскаде. Этот факт объясняется двумя причинами. Во-первых, в оптимальном каскаде удельная разделительная способность

δUs /Ls и коэффициент деления потока θs от ступени к сту-

пени меняются значительно слабее, чем в соответствующем идеальном каскаде из несимметричных ступеней. При этом, как нетрудно убедиться, коэффициент деления потока на ступенях идеального каскада принимает значения, близкие к тем, которые реализуются в идеальном каскаде из симметричных элементов (см. таблицу 1.1). Это означает, что оптимизация потоков Ls (за исключением крайних ступеней) обеспечивается примерно теми же значениями параметров θ, α, β , что и в

идеальном каскаде из симметричных элементов. Однако при этом оптимальный каскад в отличие от идеального может быть рассчитан на любые заданные концентрации cP и cW .

Во-вторых, ступени в оптимальном каскаде по сравнению с идеальным каскадом из несимметричных ступеней имеют более высокую удельную разделительную способность. Положительный эффект за счет этого не только компенсирует потери на смешивание, но и обеспечивает «выигрыш» в суммарном потоке. Убедимся в этом, проделав несложные вычисления.

80