Борман Теория разделения изотопов 2007

Если для каждой секции ПСК обеспечить постоянство коэффициента деления потока, то значения λ должны быть выбраны:

для отборной части каскада

291

2.4.2.Обзор численных методов решения системы уравнений переноса в каскадах заданного профиля

Для расчета каскадов заданного профиля, как правило, ПК и ПСК используют различные итерационные методы с уточнением ориентировочно принятых приближений, либо квазилинеаризацию уравнений каскада и совместное их решение с уравнениями покомпонентного баланса. Очевидно, что эффективность метода определяется его устойчивостью к заданию начальных приближений для концевых концентраций и сходимостью итерационного процесса.

Обзор методов расчета можно свести к следующим основным случаям.

2.4.2.1. «Классический» итерационный метод [35, 36]

Рассмотрим применение метода на примере прямоугольного каскада, расчет которого производится от отвального конца к отборному. Алгоритм расчета имеет следующий вид.

292

7. Если условия баланса (2.296) на ν -м шаге итерации не выполнены, то начальные приближения для следующего (ν +1) -го шага задают в виде

где ω – коэффициент, находящийся в пределах от 0 до 1.

8. Шаги 2.286–2.289 ÷ 2.286–2.292 повторяют до тех пор,

пока (2.317) не будут выполнены с заданными точностями. «Классический» метод весьма чувствителен к выбору на-

чальных приближений, что приводит либо к необходимости разработки сложных и громоздких алгоритмов для их определения, либо к значительным затратам машинного времени.

2.4.2.2. «Матричный» метод [37, 38]

В работе [37] система (2.291), (2.294) представлена в виде

293

Конкретный вид функциональной зависимости в системе (2.323) определяется используемым методом разделения и режимом работы каждой ступени (см. формулы (2.296) – (2.297)). Для замыкания системы (2.319)–(2.321) из mxN урав-

нений, как и ранее, из числа неизвестных с помощью (2.298) исключаем коэффициенты деления потока на ступенях (один из коэффициентов θs является свободным параметром).

Для решения системы (2.319)–(2.321) в работе [37] применен демпфированный метод Ньютона [39], в котором используется итеративный процесс в виде

где F(xν ) – значения левых частей системы (2.319) – (2.321) в точке с неизвестными координатами xν ; F′(xν ) – матрица

Якоби системы в этой же точке; ∆xν = xν +1 −xν ; ω – коэффициент демпфирования. При такой записи определение нового приближения xν +1 сводится к решению системы нелинейных уравнений вида A∆x = b . Для определения ∆x согласно [6] целесообразно использовать алгоритм Гауссова исключения с компактным хранением матрицы A в оперативной памяти. Компактная организация хранения матрицы A возможна, поскольку, как видно из уравнений системы (2.319)–(2.321), матрица Якоби F′(xν ) принадлежит к системе

ленточных матриц с шириной ленты 2(2m −1) +1 , причем в

процессе итерации (2.324) ленточная структура матрицы сохраняется [40]. Алгоритм должен быть составлен так, чтобы элементы якобиана F′(x) , не входящие в ленту указанной

ширины, в вычислениях не участвовали. Это позволяет в несколько раз сократить время вычислений. Элементы якобиана предпочтительно вычислять аналитически, поскольку при этом скорость сходимости итеративного процесса (2.324) квадратична. Если вид функциональной зависимости для ci′(s) в системе (2.323) не позволяет получить аналитическое

294

выражение дл производных, то в алгоритме элементы якобиана следует вычислять численно по двухточечной схеме.

Схема расчета каскада заданного профиля по матричному методу включает в себя:

1) задание исходных данных m, N, f, F, P,

f (ci (s), θs, Ls ), Ls, θ1 ;

2) определение коэффициентов деления потоков на ступе-

нях θs (s = 2,3,..., N) ;

3) решение системы уравнений (2.319) – (2.321). Согласно [38] расчет каскада с двумя потоками питания

различного состава и тремя потоками отбора, состоящего из 50-ти ступеней, при разделении пятикомпонентной модельной смеси заключается в решении системы (2.319) – (2.321) из 250 уравнений. Решение осуществляется за несколько итераций и требует около 30 с машинного времени для персональных компьютеров типа РС/АТ386. В качестве начальных приближений для неизвестных концентраций на каждой ступени были взяты концентрации компонентов в одном из потоков питания. Расчеты прямоугольно-секционированных каскадов, предназначенных для разделения различных многокомпонентных смесей показали, что при указанном выборе начальных приближений расчет неизвестных концентраций с точностью не ниже 0,1% требует не более 10 итераций.

2.4.2.3. Метод, основанный на решении системы уравнений переходного (нестационарного) процесса в каскаде [36]

Суть метода: для нахождения концевых концентраций ciP, ciW противоточного симметричного каскада заданного

профиля решают систему уравнений переходного (нестационарного) процесса применительно к случаю немалых обогащений на ступенях. [41]. Считаем, что с момента запуска каскада включены расчетные значения внешних потоков P, W и F. Считая по-прежнему, что время установления гидравличе-

295

ских характеристик много меньше времени достижения стационарного накопления компонентов на ступенях и задержки ступеней не зависят от времени, систему уравнений каскада, описывающих переходной (нестационарный) процесс, можно записать в виде

Граничные условия в рассматриваемом случае могут быть

j=1

296

Подставляя соотношения (2.296, а) и (2.333) в (2.329), получаем

+δ(s, f )FciF −δ(s, N)Pc′i(N, t);

297

Приближенное решение системы (2.334) основано на использовании явного метода Эйлера, согласно которому производные в (2.334) заменяют простейшими конечноразностными формулами

где [ci′(s,t)]ν – значение соответствующей концентрации i-го компонента в потоке Ls на ν-м «временнóм» шаге. С учетом (2.335) уравнения (2.334) преобразуются к виду

Таким образом,

298

Начальные приближения для «нулевого» временного шага (ν = 0) можно задать, например, следующим образом:

[ci′]0 = ciF , где ciF – концентрации компонентов смеси в по-

токе питания.

При выбранном временном шаге ∆t , последовательно используя уравнения (2.337), находят стационарные значения концентраций по длине каскада. В качестве практического критерия достижения стационарных значений концентраций может быть использовано одно из 2-х условий:

1) концевые концентрации каждого из компонентов смеси

(с заданной точностью) на ν* -м временном шаге удовлетворяют уравнениям покомпонентного баланса

i =1, 2,..., m.

299

2) при переходе от ν *-го к ν *+1-му временному шагу ве-

чения.

Рассмотренный метод имеет первый порядок точности относительно шага ∆t . Уменьшение шага ∆t увеличивает точность расчета. Сверху «временнóй» шаг ограничен величиной

[41]:

Распределение θs в (2.337) задается соотношением (2.298) и произвольным значением коэффициента деления

В работе [36] приведен пример реализации метода при расчете прямоугольного каскада, предназначенного для разделения четырехкомпонентной смеси изотопов хрома: 50Cr,

персонального компьютера с процессором на 66 МГц и «временнóго» шага ∆t = 0,02 ч для достижения заданной точности потребовалось примерно 1000 шагов и 20 с машинного времени.

300