Упражнение 31

Студенту необходимо сдать четыре экзамена за восемь дней. Сколькими способами это можно сделать, если разрешается сдавать не более одного экзамена в день? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 32

Сколькими способами можно обозначить треугольник, помечая его вершины различными прописными латинскими буквами? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 33

Во скольких точках пересекаются диагонали выпуклого n-угольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 34

Рассмотрим прямоугольную сетку квадратов размерами n m (шахматный город, состоящий из n×m прямоугольных кварталов, разделённых n−1 горизонтальными и m−1 вертикальными улицами). Каково число различных кратчайших на этой сетке путей, ведущих из левого нижнего угла (из точки O(0,0) ) в правый верхний угол (в точку M (m ,n) )? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 35

В комнате n лампочек. Сколько всего может быть разных способов освещения комнаты, при которых горит ровно k ( k n ) лампочек? Сколько всего может быть различных способов освещения комнаты? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 36

Городской совет состоит из головы и шести старейшин. Сколько различных комиссий из четырёх членов можно сформировать из членов городского совета, если: 1) голова города входит в каждую комиссию? 2) голова города не входит ни в одну из комиссий? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 37 (С)

Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое из этих 17 не могут быть выбраны вместе? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 38 (С)

Сколько имеется четырёхзначных чисел, у которых каждая следующая цифра: 1) больше предыдущей? 2) меньше предыдущей? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 47 (*)

На окружности отмечено несколько точек, A – одна из них. Каких (и на сколько) выпуклых многоугольников с вершинами в этих точках больше: содержащих точку A или не содержащих её? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 48 (*)

Найдите число способов размещения k различных предметов в n ящиках, при которых ровно m ящиков остаются пустыми. (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 49

Сколькими способами можно расселить восемь студентов по трём комнатам: одноместной, трёхместной и четырёхместной? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 50

Девушка получила в подарок n бусинок для изготовления ожерелья: из них n1 белых, n2 красных и n3 голубых ( n1 +n2+n3=n ). Сколько различных видов ожерелья может получить девушка, если будет менять порядок расположения бусинок? Как будет отличаться ответ, если ожерелье будет замкнутым или незамкнутым? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 51

Имеется n одинаковых предметов и столько же различных. Сколькими способами можно выбрать из них n предметов? Сколькими способами можно упорядочить все 2n вещей? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 52

Сколько различных десятизначных чисел можно составить, используя три цифры: 1, 2 и 3, если цифра 3 используется ровно два раза? Сколько из этих чисел делится на 9? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 53

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она выдаёт Серёже по одному фрукту. Сколькими способами это можно сделать? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 54

Сколькими способами можно разделить m+n+r предметов на три группы так, чтобы в одной группе было m предметов, в другой – n и в третьей – r? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 55

Есть a шаров чёрного цвета, b – красного, c – белого и d – синего. Сколькими способами можно выстроить эти шары в ряд по k штук. (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 56 (С)

Сколькими различными способами можно из 30 рабочих сформировать: 1) три бригады по 10 человек в каждой? 2) 10 звеньев по три человека в каждом? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 57 (С)

Сколькими способами можно разложить девять книг: 1) в четыре бандероли по две книги и в одну бандероль – одну книгу; в три бандероли по три книги? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 58 (*)

Даны 2 n элементов a1, a1, a2, a2, … ,an ,an , причём ai≠a j ,i≠ j . Во скольких перестановках из этих 2 n элементов никакие два одинаковых не стоят рядом? (См. [Кузьмин: комбинато-

рика].)

Упражнение 59

Имеется по три экземпляра трёх разных книг. Сколькими различными способами можно расставить на полке три книги? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 60

Четверо студентов сдали экзамен. Сколькими способами могли быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 61 (С)

В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы. (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 62 (С)

Сколькими способами можно зажечь n светофоров, из которых k светофоров могут находиться в одном из трёх состояний, а остальные n−k – в одном из двух? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 63

Сколько k-разрядных натуральных чисел можно записать в p-ичной системе счисления? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)

Упражнение 64 (С)

Из Лондона в Брайтон ведут два шоссе, соединяемых десятью просёлочными дорогами. Сколькими способами можно проехать из Лондона в Брайтон так, чтобы ни разу не пересекать пройденный путь? (См. [Кузьмин: комбинаторика].)