Вопрос № 5. Безвихревой характер поля. Потенциал и градиент потенциала (напряженность), их определение с помощью теоремы Гаусса для системы заряженных тел.

 Из условия следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю.

      Величина , называется ротором или вихрем и обозначается, как  rot E.

      Мы получаем важнейшее уравнение электростатики:

rot E.

(3.5.1)

      Таким образом кулоновское электростатическое поле – безвихревое.

Потенциал – энергетическая характеристика ЭСП, в данной точке поля равная отношению

(14)

где – потенциальная энергия пробного заряда , помещенного в данную точку ЭСП.

В поле точечного заряда потенциал точки, находящейся на расстоянии от заряда:

, (15)

где – заряд, создающий поле.

Потенциал связан с напряженностью ЭСП следующим соотношением:

, (18)

где – вектор градиента потенциала.

Проекция вектора напряженности на направление вектора градиента потенциала

(19)

Здесь – модуль градиента потенциала.

В однородном ЭСП, в котором вектор напряженности одинаков во всех точках поля, модуль напряженности

, (20)

где – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; – расстояние между этими поверхностями по нормали к ним, т. е. вдоль силовой линии ЭСП.

расчета напряженности электростатического поля:

С помощью теоремы Гаусса – по формуле

Теорема Гаусса для ЭСП в вакууме:

(9),

для полей, обладающих симметрией (сферической, осевой или зеркальной). Для таких полей метод позволяет найти функцию – зависимость напряженности от расстояния от центра (оси) симметрии поля.

Вопрос № 6. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме.

Представим, существует переменное во времени магнитное поле в некоторой области пространства. Далее рассмотрим произвольный замкнутый контур L, при положении мгновенной направленности векторов B указано на рисунке стрелками.

Тенденция обхода контура L вдоль которого выбрано против часовой стрелки, то есть если же наблюдать с конца вектора B. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме располагает следующим математическим выражением:

Вопрос № 7. Закон полного тока в интегральной форме.

Количественная связь между циркуляцией вектора по замкнутому контору и током внутри контура определяется законом полного тока в интегральной форме:

(17.3)

Линейный интеграл от напряженности магнитного поля вдоль любого замкнутого контура равен полному току, пронизывающему замкнутый контур.

Интегральную форму закона полного тока применяют, когда может быть использована симметрия в поле.

. (17.4)

Вопрос № 8. Уравнение электромагнитного поля в дифференциальной форме (уравнение Максвелла).

Вопрос № 9. Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

дифференциальная форма закона электромагнитной индукции:

Следовательно, в соответствии рассматриваемого закона, изменение во времени магнитного поля несёт в себе возникновение в пространстве электрического поля.

Вопрос № 10. Теорема Гаусса и Постулат Максвелла в дифференциальной форме.

Теорема Гаусса и постулат Максвелла в дифференциальной форме записи имеют вид:

или в иной форме:

,

где r -объемная плотность электрического заряда в данной точке пространства. Выражение, стоящее в левой части уравнения, называется расхождением или дивергенцией вектора напряженности или электрического смещения.

Вопрос № 11. Принцип непрерывности электрического тока и магнитного потока в дифференциальной форме.

    Дифференциальная форма записи уравнения непрерывности записывается так:

или

Магнитный поток – это поток вектора магнитной индукции через некоторую поверхность:

(17.9)

Соотношение (17.9) можно трактовать как дифференциальную форму принципа непрерывности магнитного потока. В любой точке магнитного поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнитной индукции. Линии вектора нигде не прерываются, они представляют собой замкнутые сами на себя линии.

Вопрос № 12. Основные понятия и уравнения электростатического поля. Уравнения Пуассона и Лапласа.

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики.

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона.

Интеграл

является решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа.Оператор ?² часто обозначают и называют оператором Лапласа или лапласианом.

Вопрос № 13. Расчет электростатического поля бесконечно длинного заряженного цилиндра из диэлектрического материала.

Решение:

б)  в любой точке пространства напряженность электрического поля направлена перпендикулярно оси цилиндра, и её модуль зависит только от расстояния до этой оси:

в) В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр радиуса r произвольной высоты h (рис.5.4). Это обусловлено тем, что в каждой точке боковой поверхности данного цилиндра E_r(r)=const (при r=const), а поток вектора через верхнее и нижнее донышки цилиндра равен 0. Последнее же связано с тем, что в каждой точке этих донышек и, следовательно, ). имеем:

,

Здесь Q - заряд, попавший внутрь поверхности интегрирования.

г) Найдём напряжённость поля внутри и вне цилиндра.

Заряд, попавший внутрь цилиндра радиуса r и высоты h равен (см. рис.5.4)

и мы имеем

При рассмотрении внешней области внутрь поверхности интегрирования попадает Q=h. Следовательно

д) Таким образом, напряженность поля данного цилиндра в каждой точке пространства определяется выражением:

(5.9)

Вопрос № 14. Расчет электростатического поля двух заряженных проводов.

Ответ в методичке ПЗ 25.

Вопрос № 15. Расчет емкости и напряженности электрического поля двух заряженных проводов.

Ответ в методичке ПЗ 26.

Вопрос № 16-17. Расчет поля двухпроводной линии, если радиус провода соизмерим с расстоянием между проводами.

Вопрос № 18. Метод зеркальных изображений.

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных изображений.

Устраним мысленно проводящую среду и заменим ее проводом, являющемся зеркальным изображением реального провода в поверхности раздела и имеющим заряд реального провода, но противоположного знака (рис. 1.33). Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию. Поле от такой системы заряженных проводников (рассмотрено в примере 9 раздела 1.14) в области над проводящей средой останется таким же, как и в действительных условиях.

В этом и заключается метод зеркальных изображений.

Поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от дополнительного провода, имеющего линейную плотность заряда t₃ и расположенного в той же точке, где находился действительный проводник. В этом случае, не только нижнее, но и верхнее полупространство заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e₃ (рис. 1.34, в).

Линейная плотность t₂ и t₃ зарядов дополнительных проводников определяется с помощью следующих соотношений:

Вопрос № 19 Группы формул уравнений Максвелла. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции, частичные емкости в системе заряженных тел.

 

Вопрос № 20 Поле и емкость двухпроводной и трехфазной линии электропередачи с учетом влияния земли.

Вопрос № 21 Электрическое поле постоянного тока, его уравнения, граничные условия.

Уравнения электрического поля в дифференциальной форме имеют вид:

- второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме.

(1)

- первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме.

(2)

- закон Ома в дифференциальной форме.

(3)

На поверхности раздела сред, где , E_с или изменяются скачком, справедливы следующие соотношения:

E_1t - E_2t = E_1сt - E_2сt

т.е. скачок тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля равен скачку сторонней тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля. Если E_с = 0, то тангенциальная составляющая векторного поля E непрерывна на любой поверхности раздела сред.

т.е. скачок нормальной составляющей плотности тока проводимости равен скачку нормальной составляющей сторонней плотности тока с противоположным знаком. Если = 0, то нормальная составляющая плотности тока проводимости непрерывна на любой поверхности раздела сред.