- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Содержание Введение 4
- •1. Инструкция по работе с учебно–методическим пособием.
- •2. Программа дисциплины Раздел I. Теория вероятностей Тема 1. Случайные события.
- •Тема 2. Случайные величины
- •Тема 3. Закон больших чисел и предельные теоремы.
- •Раздел II. Математическая статистика Тема 1. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения.
- •Тема 2. Статистическая проверка статистических гипотез.
- •Тема 3. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
- •3.Методические указания к контрольным работам Основные теоретические сведения
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Свойства условных вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Теорема гипотез (формула Байеса).
- •Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •Следствие:
- •Наряду с f(х) вводится f(X) - функция плотности вероятности или дифференциальный закон распределения:
- •Основные дискретные и непрерывные случайные величины.
- •Математическое ожидание (мо)
- •Мо основных св
- •Дисперсия св
- •Дисперсия основных св
- •Другие числовые характеристики св
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Статистическое оценивание параметров распределения
- •Методические указания для выполнения контрольной работы. К задачам 1-10.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Формула Бернулли.
- •Формула Пуассона.
- •Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •К задачам 11-20.
- •К задачам 21-30.
- •К задачам 31-40.
- •К задачам 41-50.
- •Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерия Пирсона: 2,54.
- •К задачам 51-60.
- •Задание для контрольной работы.
- •Задачи по теории вероятностей и математической статистике .
- •5. Темы практических занятий.
- •6. Содержание и оформление контрольных работ
- •7.Вопросы для подготовки к экзамену (зачету).
- •8. Рекомендуемая литература Учебники
- •Задачники
Задачи по теории вероятностей и математической статистике .
1. Отдел технического контроля получил партию из 1000 деталей. Вероятность того, что взятая наугад деталь окажется дефектной, равна 0,001. Найти вероятность того, что в партии дефектны: а) хотя бы одна деталь; б) две детали; в) более двух деталей.
2. На экзамене предлагаются задачи по трем темам: по первой теме – 15 задач; по второй теме – 20 задач; по третьей теме – 25 задач. Вероятность того, что студент сможет решить задачу по первой теме равна 0,7; по второй – 0,9; по третьей – 0,3. Студент справился с задачей. Какова вероятность того, что ему попалась задача по первой теме?
3. В каждой из двух урн содержится восемь черных и два белых шара. Из второй урны наудачу переложили в первую один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый из первой урны шар окажется черным.
4. Электронное устройство состоит из четырех элементов работающих независимо. Вероятность безотказной работы в течение месяца соответственно равны 0,6 для первого элемента; 0,8 для второго; 0,7 для третьего и 0,9 для четвертого. Найти вероятность того, что в течение месяца будут безотказно работать: а) все четыре элемента; б) только один элемент; в) не менее двух элементов.
5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при ста выстрелах мишень будет поражена 90 раз.
6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7; из второго – 0,6; из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) все три снаряда попадут в цель.
7. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) три раза; б) менее трех раз; в) не менее трех раз.
8. Прибор состоит из двух узлов. Если отказывает хотя бы один узел прибор не функционирует. Вероятность безотказной работы в течение дня равны соответственно для первого узла 0,9, а для второго 0,8. В течение дня прибор отказал. Найти вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен. Отказы узлов происходят независимо.
9. На вычислительный центр поставлены дисплеи двух производителей: 30% - от первого, а остальные – от второго поставщика. Вероятность наличия скрытого дефекта дисплея от первого поставщика равна 0,05, а от второго 0,01. Какова вероятность того, что случайно выбранный дисплей имеет скрытый дефект?
10. Какова вероятность того, что при 100 бросаниях монеты «цифра» выпадет: а) хотя бы один раз; б) не менее 45 и не более 55 раз?
11-20. Задана непрерывная случайная величина Χ функцией распределения F(х). Требуется : 1) найти плотность распределения вероятностей f(x) ; 2) схематично построить графики функций f(x) и F(х); 3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х; 4) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ().
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21-30. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х.
1) Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.
2) Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала .
3) Найти вероятность того, что Х примет значение, превышающее β;
4) Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания а, в котором с вероятностью будут заключены значения случайной величины Х.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31-40. Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя и объем выборкиn. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с доверительной вероятностью =0,95.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41-50. В результате проверки n контейнеров установлено, что число изделий Х, поврежденных при транспортировке и разгрузке, имеет эмпирическое распределение, сведенное в таблицу, где - количество поврежденных изделий в одном контейнере,- частота этого события, т.е. число контейнеров, содержащихповрежденных изделий. При уровне значимости α требуется проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Использовать критерий согласия Пирсона (Х2).
41. n=50; α=0,05
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
19 |
16 |
8 |
3 |
3 |
1 |
42. n=200; α=0,02
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
105 |
65 |
22 |
4 |
2 |
2 |
43. n=100; α=0,05
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
49 |
34 |
13 |
2 |
1 |
1 |
44. n=200; α=0,01
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
120 |
48 |
22 |
6 |
3 |
1 |
45. n=100; α=0,02
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
41 |
34 |
17 |
4 |
2 |
2 |
46. n=100; α=0,05
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
36 |
35 |
19 |
7 |
2 |
1 |
47. n=150; α=0,02
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
80 |
44 |
15 |
4 |
4 |
3 |
48. n=50; α=0,05
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
24 |
16 |
6 |
2 |
1 |
1 |
49. n=200; α=0,01
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
132 |
43 |
18 |
4 |
2 |
1 |
50. n=100; α=0,02
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
41 |
37 |
16 |
4 |
1 |
1 |
51-60. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (Х; Y) представлены в корреляционной таблице. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X .
.
51.
Х Y |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
ny |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
6 |
3 |
|
3 |
22 |
1 |
|
26 |
5 |
|
|
6 |
7 |
|
13 |
7 |
|
|
|
3 |
2 |
5 |
nx |
2 |
7 |
28 |
11 |
2 |
n=50 |
52.
Х Y |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
ny |
20 |
4 |
10 |
|
|
|
14 |
30 |
|
7 |
30 |
10 |
|
47 |
40 |
|
|
18 |
9 |
|
27 |
50 |
|
|
|
9 |
3 |
12 |
nx |
4 |
17 |
48 |
28 |
3 |
n=100 |
53.
Х Y |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
ny |
6 |
2 |
3 |
|
|
|
5 |
10 |
|
5 |
19 |
|
|
24 |
14 |
|
|
5 |
11 |
|
16 |
18 |
|
|
|
3 |
2 |
5 |
nx |
2 |
8 |
24 |
14 |
2 |
n=50 |
54.
Х Y |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
5 |
3 |
10 |
|
|
|
13 |
8 |
|
18 |
23 |
|
|
41 |
11 |
|
|
27 |
10 |
|
37 |
14 |
|
|
|
5 |
4 |
9 |
nx |
3 |
28 |
50 |
15 |
4 |
n=100 |
55.
Х Y |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
ny |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
5 |
4 |
|
7 |
10 |
|
|
17 |
6 |
|
1 |
16 |
2 |
|
19 |
8 |
|
|
|
6 |
3 |
9 |
nx |
2 |
11 |
26 |
8 |
3 |
n=50 |
56.
Х Y |
6 |
10 |
14 |
18 |
22 |
ny |
40 |
3 |
8 |
9 |
|
|
20 |
50 |
|
5 |
16 |
|
|
21 |
60 |
|
|
20 |
17 |
2 |
39 |
70 |
|
|
|
17 |
3 |
20 |
nx |
3 |
13 |
45 |
34 |
5 |
n=100 |
57.
Х Y |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
ny |
7 |
2 |
8 |
|
|
|
10 |
8 |
|
13 |
15 |
10 |
|
38 |
9 |
|
7 |
24 |
12 |
|
43 |
10 |
|
|
|
6 |
3 |
9 |
nx |
2 |
28 |
39 |
28 |
3 |
n=100 |
58.
Х Y |
1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
ny |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
6 |
|
3 |
13 |
5 |
|
21 |
9 |
|
2 |
17 |
4 |
|
23 |
12 |
|
|
|
2 |
2 |
4 |
nx |
1 |
6 |
30 |
11 |
2 |
n=50 |
59.
Х Y |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
ny |
10 |
3 |
6 |
|
|
|
9 |
14 |
|
14 |
16 |
9 |
|
39 |
18 |
|
9 |
23 |
14 |
|
46 |
22 |
|
|
|
4 |
2 |
6 |
nx |
3 |
29 |
39 |
27 |
2 |
n=100 |
60.
Х Y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
ny |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
8 |
4 |
|
5 |
9 |
3 |
|
17 |
6 |
|
3 |
6 |
9 |
|
18 |
8 |
|
|
|
5 |
2 |
7 |
nx |
3 |
13 |
15 |
17 |
2 |
n=50 |