ТЕМА 8

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

8.1. Основные понятия. 8.2. Уравнение однородной линии с распределенными параметрами. 8.3. Уравнения однородной линии при установившемся синусоидальном режиме. 8.4. Бегущие волны 8.5. Однородная линия без искажений. 8.6. Определение напряжений и токов в любой точке однородной линии по напряжениям и токам в начале и в конце линии. 8.7. Однородные линии без потерь при различных режимах работы.

Электрические цепи с распределенными параметрами.

8.1. Основные понятия.

В принципе параметры любой электрической цепи (R, L, C, M, g) в той или иной мере распределены вдоль участков цепи. Соответственно токи и напряжения в такой цепи для одного и того же момента времени изменяются при переходе от одной точки цепи к соседней (в любой момент времени ток и напряжение в различных точках имеют различные значения).

В большинстве практических случаев с распределением параметров вдоль электрической цепи можно не считаться и в анализе цепей предполагать, что параметры цепи сосредоточены на ее участках.

Критерием применимости такого подхода является соотношение между скоростью изменения во времени напряжений и токов в цепи и скоростью распространения электромагнитной энергии вдоль электрической цепи.

Если это соотношение мало, то электрическую цепь рассматривают как цепь с сосредоточенными параметрами.

Если же эти скорости сравнимы, то электрическую цепь необходимо рассматривать как цепь с распределенными параметрами.

Примерами цепей с распределенными параметрами являются электрические линии с распределенными параметрами (длинные линии):

• линии передачи электрической энергии на большие расстояния;

• воздушные и кабельные линии телефонной и телеграфной связи;

• высокочастотные коаксиальные линии радиотехнических и телевизионных устройств.

Очевидно, что токи и напряжения в длинных линиях (линии с распределенными параметрами) являются функциями двух независимых переменных: времени t и координаты х, отсчитываемая как расстояние от рассматриваемой точки линии до ее начала (конца).

Соответственно процессы в длинных линиях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Если параметры линии распределены равномерно, то эта линия однородная (например, линия передачи электрической энергии, в которой сечение проводов, их взаимное расположение и характеристикой среды не изменяются по длине линии).

Если параметры линии не зависят от величины протекающих через линию токов, то это линия линейная.

8.2. Уравнение однородной линии с распределенными параметрами.

Пусть

Ro , - продольное активное сопротивление единицы длины линии;

Lo, - индуктивность единицы длины линии;

Go,- проводимость утечки между проводами из-за несовершенства изоляции на единицу длины;

Co, - емкость между проводами линии на единицу длины;

i– ток в начале участка dx;

- ток в конце участка; приращение обусловлено утечкой через поперечный элемент;

u – напряжение в начале участка dx;

- напряжение в конце участка.

На основании уравнений по I и II законам Кирхгофа для участка линии dx после преобразований получим.

По II закону Кирхгофа:

Разделим на dx и преобразуем в вид

(1)

По I закону Кирхгофа:

Учитывая, что:

и пренебрегая производной второго порядка, получаем после преобразования

(2)

- основные дифференциальные уравнения для двухпроводной линии с распределенными параметрами (телеграфные уравнения).

8.3. Уравнения однородной линии при установившемся синусоидальном режиме.

Метод Даламбера -  экспонент uп и uo.

Если ток и напряжение в линии изменяются по синусоидальному закону, то их можно выразить в виде комплексных чисел и. Комплексныеизависят только отх, а потому уравнения в частных производных для мгновенных значений u и i переходят в обыкновенные дифференциальные уравнения для и

(1 и 2)

Первое уравнение полное продольное сопротивление единицы длины, второе уравнение полная поперечная проводимость единицы длины.

Решим полученную систему уравнений относительно и получим

(3)

или

где

 - постоянная распространения, (1/км)

 - коэффициент затухания, характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линии, (Нп/км)

 - коэффициент фазы, характеризующий изменения фазы падающей волны на единицу длины линии, (рад/км).

Решение линейного дифференциального уравнения (3) второго порядка

(4)

где А1 и А2 – постоянные интегрирования.

Из уравнения (1)

(5)

где

- волновое сопротивление, (Ом).

Для постоянного тока (=0):

;

Для линий синусоидального тока без потерь (R0=G0=0)

;

Это метод Даламбера, представленный решением уравнений, как сумму прямых и обратных волн.