Вопросы для самоконтроля

1. Определение события (достоверное, невозможное, случайное).

2. Определение события (несовместные, полная группа, противополож­ные).

3. Классическое определение вероятности.

4. Теорема сложения.

5. Условная вероятность. Теорема умножения.

6. Вероятность хотя бы одного события.

7. Формула полной вероятности.

8. Формула Байеса.

9. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений.

10. Дискретная случайная величина.

11. Закон распределения дискретной случайной величины.

12. Математическое ожидание. Его свойства.

13. Дисперсия. Ее свойства.

14. Выборка. Графическое представление выборки. Выборочное среднее и дисперсия.

3 Контрольная работа № 2

Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2.

При выполнении контрольной работы № 2 необходимо изучить ос­новные понятия и определения функции нескольких переменных. Нау­чится вычислять частные производные. Научиться вычислять двойные ин­тегралы через повторные. Изучить теорию числовых рядов. Необходимо знать основные признаки сходимости числовых рядов. Уметь вычислять радиус сходимости и, пользуясь им, интервал сходимости степенного ряда. Изучить теорию дифференциальных уравнений и научиться находить ре­шения дифференциальных уравнений в простейших случаях. Изучить ос­новные понятия теории вероятности: алгебру случайных событий, вероят­ность случайного события, условную вероятность случайного события, не­зависимость двух случайных событий. Изучить основные понятия, связан­ные со случайными величинами. Уметь вычислять по известному закону распределения математическое ожидание и дисперсию.

Задание № 1. Найти частные производные первого порядка.

Пример. .

Вычислим частные производные первого порядка и. При вы­числении частной производной по переменнойвторая переменнаясчи­тается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференцирования получим:

.

При вычислении частной производной по переменной , вторая перемен­наясчитается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференциро­вания получим:

.

Задание № 2. Вычислить двойной интеграл.

Пример. .

Вычисляем двойной интеграл по прямоугольнику через один из по­вторных интегралов:

.

При интегрировании по переменнаясчитается постоянной. Поэтому, вычисляя внутренний интеграл по формуле Ньютона – Лейбница, получим

.

Вновь применяя формулу Ньютона –Лейбница уже к внешнему интегралу, получим

.

Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Пример 1. .

Преобразуем уравнение к виду :

.

Сделав подстановку или, получим, подставив в уравнение,

.

Разделяя переменные, получим

.

Интегрируя, имеем:

.

Отсюда

.

Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения.

Пример 2. .

Это уравнение является уравнением Бернулли , где,,и непрерывные функции. Положим . То­гда получим

или .

Выберем функцию как частное решение уравнения. Разделяя переменные, получим

.

Выбирая простейшие решение , находим. Для оставшейся части уравнения получим, где. Отсюда. Разде­ляя переменные, получим

,

откуда

.

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения

, где .

Задание № 4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пример. .

Положим . Тогда

.

Исходное уравнение примет вид

.

Разделяя переменные, найдем

.

Заменив на, получим

,

откуда . Здесь уже допускается, так как уравнение, очевидно, имеет решение. Заменим обратнона, то­гда получим уравнение первого порядка:

.

Разделив переменные, получим общее решение исходного уравнения в не­явном виде:

.

Задание № 5. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям,.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения с начальными условиямии.

Найдем решение однородного уравнения, для чего составим и решим характеристическое уравнение:

,

где корень кратности 2.

По корням характеристического уравнения составим общее решение одно­родного уравнения :

.

Найдем  частное решение неоднородного уравнения. Так как среди корней характеристического уравнения нет , то частное решение будем искать в виде, похожем на правую часть неоднородного уравнения. Там находится выражение многочлен второй степени, общий вид кото­рого

.

Поэтому положим

.

Так как есть решение неоднородного дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем произ­водные,:

;

подставим их в уравнение :

.

После группировки по степеням получим

.

Два многочлена одинаковой степени равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты при степенях в обеих частях:

Отсюда . Общее решение

.

Для нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, най­дем первую производную:

.

Подставляя в начальные условия и, найдем

или

Отсюда окончательно находим

.

Задание № 6. Исследовать сходимость числового ряда .

Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда .

Применим признак Даламбера: имеем ,,. Тогда

.

Поэтому по признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 2. Исследования сходимость числового ряда .

Применим интегральный признак Маклорена  Коши, составив функцию

.

Так как на интервале эта функцияи с ростоммоно­тонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобст­венным интегралом:

.

Данный интеграл сходится, так как

,

поэтому сходится и данный ряд.

Задание № 7. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Выпишем коэффициенты ряда:

, .

Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:

.

Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравен­ству. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если, то получим обобщенный гармонический ряд, который схо­дится, так как.

Если , то получим знакопеременный ряд, который схо­дится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Задание № 8. Решить задачу по теории вероятности.

Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить пер­вый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной за­даче на каж­дую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может ре­шить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному ис­числению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно

.

Число билетов, которое знает студент равно

.

Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равно­вероятные события, получаем вероятность сдачи зачета:

.

Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить пер­вую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по диффе­ренциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна .

Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие ) равна, вероятность получить задачу по дифференциаль­ному исчислению (событие) равна =0,4, вероятность получить задачу по интегральному исчислению (событие) равна. Если событие означает, что задача решена, то услов­ные вероятности решить задачу при условии, что это задача по пределам, дифференциальному или интегральному исчислению, соответственно равны:

; ;.

События ,ипопарно несовместны и одно из них всегда наблю­даемо при любом исходе. Тогда по формуле полной вероятности

находим вероятность сдачи зачета

.

Пример № 3. В студенческой группе 25 человек, из них 15 студентов и 10 студенток. Наугад выбирается делегация на студенческую конференцию в составе четырёх человек. Какова вероятность, что изберут двух студентов и двух студенток?

Решение. Число способов выбрать четырёх человек в делегацию из 25 че­ловек в группе равно числу сочетаний четырёх предметов из 25:

.

Аналогично находим число способов выбрать в делегацию двух студентов из 15:

и двух студенток из 10:

.

Следовательно, число способов выбрать делегацию из четырёх человек, в со­ставе которой две студентки и два студента равно

.

Считая, что исходы выборов равновероятны, получаем вероятность такого выбора:

.

Пример № 4. В автоколонне 10 автобусов. Вероятность того, что у авто­буса на линии не будет поломок в течение одной смены, равна . Ка­кова вероятность того, что в течение смены поломок не будет не менее чем у девяти автобусов?

Решение. Вероятность того, что у автобусов не будет поломок в течение смены, определяется формулой Бернулли:

.

Тогда искомая вероятность равна или

.

Пример № 5. Вероятность изготовления на станке нестандартного изделия равна . Какова вероятность обнаружить в партии из 1000 изделий, изготовленных на таком станке, от 940 до 960 стандартных изделий?

Решение. Пусть случайная величина есть число стандартных деталей, обнаруженных в партии. При большом числе изделий в партиии вероятности изготовления стандартной деталиблизкой к еди­нице, можно использовать интегральную формулу Муавра – Лапласа для определения вероятности того, что число стандартных изделий окажется междуи:

,

где  функция Лапласа:

.

Подставляя значения, находим

.

Значение функции Лапласа находим из таблицы приложения 2 [7, стр. 462].

Задание № 9. Задана непрерывная случайная величина с функцией рас­пределения. Требуется:

1) найти плотность распределения вероятностей ;

2) схематично построить графики функций и;

3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратич­ное отклонение случайной величины .

Пример. Решить задание № 9, если задана непрерывная случайная вели­чина с функцией распределения.

1) Плотность распределения случайной величины равна первой про­изводной от функции распределения.

Проверим условие нормировки

.

Подставив сюда найденную плотность распределения, получим

.

2) Строим схематично графики функций и:

Рисунок 1  Графики функций распределения и плотности распределе­ния.

3) Для нахождения математического ожидания используем формулу , гдеa, b  начало и конец интервала, на котором опреде­лена плотность распределения .

;

,

.

Замечание. Для вычисления интегралов использовались формулы:

,

,

,

.

Задание № 10. Заданы математическое ожидание и среднее квадратич­ное отклонениенормально распределенной случайной величины. На­писать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график. Найти вероятность того, чтопримет значение из интер­вала.

Пример. Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонениенормально распределенной случайной величиныХ.

1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично по­стро­ить ее график.

2. Найти вероятность того, что примет значение из интервала (2;10).

3. Найти вероятность того, что примет значение превышающее 10.

4. Найти интервал, симметричный относительно математического ожида­ния, в котором с вероятностью =0,95 будут заключены значения вели­чины .

1) Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами ,, воспользовавшись формулой для плотности нор­мального распределения:

.

Построим схематически график функции . Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямойи дости­гает максимального значения в этой точке, равного, т.е.. На кривой находятся две точки пере­гибас ординатой. Построим гра­фик.

Рисунок 2  График функции .

2) Вероятность попадания нормальной величины в интервалравна

,

где ‑ функция Лапласа:

.

Тогда вероятность попадания в интервал равна

.

Значения функций найдены по таблице приложения 2 [7, стр. 462].

3) Аналогично находим вероятность попадания в интервал :

.

В нашем случае ,,, поэтому

.

4) Воспользуемся формулой . Из нее следует, что вероятность попадания в интервал, симметричный относительно матема­тического ожидания, равна

.

По таблице [7, стр. 462] найдем аргумент t, при котором . Полу­чим. Тогда. Таким образом, получаем, что интервалсовпадает с интервалом. Отсюда

.

Задание № 11. Заданы среднее квадратичное отклонение нормально рас­пределенной случайной величины, выборочная средняяи объем вы­борки. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного мате­мати­ческого ожиданияс доверительной вероятностью.

Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожиданиянормально распреде­ленной случайной величиныХ, если среднее квадратичное отклонение , выборочная средняяи объем выборки.

Требуется найти доверительный интервал . Все величины, кроме коэффициента, известны. Найдемиз соотноше­ния, где функция Лапласа:

.

По таблице значений функции Лапласа находим . Подставив значе­ние, окончательно получим искомый доверительный интервал.