2 Программа дисциплины

Тема 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких перемен­ных.

Тема 2. Интегральное исчисление функции нескольких переменных.

Тема 3. Дифференциальные уравнения.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Задачи, приво­дящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие по­нижение порядка.

Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего ре­шения. Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэф­фициентами. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Литература: [2, гл. 13, §§2-8,16,20,21], [4, гл. 15, §§1-4].

Вопросы для самоконтроля

1. Определение дифференциального уравнения.

2. Порядок дифференциального уравнения.

3. Решение (общее и частное) дифференциального уравнения.

4. Теорема Коши (о единственности решения задачи Коши).

5. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

6. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод Бер­нулли.

7. Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие пониже­ние порядка.

8. Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с посто­янными коэффициентами.

Тема 4. Числовые и функциональные ряды.

Числовые ряды, их сходимость. Основные понятия и свойства. Необ­ходимые условия сходимости. Остаток ряда. Свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Достаточные признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Функциональные ряды. Сходимость в точке, радиус сходимости и область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и его вычисление. Интервал и область сходимости степенного ряда.

Литература: [4, гл. 14, §§1-5], [6, ч.2, гл. III, §§1-4].

Вопросы для самоконтроля

1. Определение числового ряда, общий член ряда, n-я частичная сумма.

2. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.

3. Гармонический и обобщенный гармонический ряд.

4. Свойства сходящихся рядов.

5. Необходимый признак сходимости.

6. Признаки сравнения (I и II).

7. Признаки Даламбера и Коши (радикальный, интегральный).

8. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

9. Абсолютная и условная сходимость.

10. Понятие функционального ряда. Область сходимости.

11. Степенной ряд. Интервал сходимости. Область сходимости.

12. Радиус сходимости и его вычисление (определение, случай ,).

Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика.

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и опера­ции над ними. Полная группа случайных событий. Классификация опреде­ления вероятности. Комбинаторика.

Свойства вероятностей. Теорема сложения. Статистическое определе­ние вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Схема Бернулли повторных испытаний, наивероятнейшее число появ­лений событий. Локальная и интегральная предельные теоремы и их при­менение.

Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства, плотность вероятности и ее свойства. Нормальный закон распре­деления и его применение.

Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия, ее свойства.

Выборка и ее графическое представление. Выборочное среднее и дис­персия. Оценка параметров распределения по выборке.

Литература: [7, гл.1: §§1-5, гл.2 : §§1-3, гл.3: §§1-5, гл.4: §§1-3, гл.5 §1, гл.6: §§1,2, гл.7: §§1,2]; [8, гл.1 §1, гл.2 §§1-4, гл.3 §1, гл.4 §§1,3].