Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

.pdf
Скачиваний:
435
Добавлен:
15.08.2013
Размер:
3.05 Mб
Скачать

1.3. теыеойс

21

йЪ РПМХЮЕООЩИ УППФОПЫЕОЙК УМЕДХЕФ, ЮФП

 

|u| + |v| = 1 :

(1.60)

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЪБДБЕФУС ДŒХНС

ЛПНРМЕЛУОЩНЙ РБТБНЕФТБНЙ u Й v, ХДПŒМЕФŒПТСАЭЙНЙ ХУМПŒЙА (1.60). лПЬЖЖЙГЙЕО-

ФЩ q Й w ПРТЕДЕМСАФУС ФБЛЙН ПВТБЪПН: q = ±i uv, w = 2q.

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ОЕМЙОЕКОПЕ, РПУЛПМШЛХ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ w ОЕ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. вПМЕЕ ФПЗП, МЙОЕКОЩНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС МЙЫШ ФТЙŒЙБМШОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (У u ЙМЙ v ТБŒОЩН ОХМА).

тЕЫЙН ФЕРЕТШ ЪБДБЮХ ДТХЗЙН УРПУПВПН, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН (1.21) ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ ЮЕТЕЪ НБФТЙГЩ рБХМЙ. пВТБФЙН УППФОПЫЕОЙС (1.21):

a = ( x i y )=2 ; a+ = ( x + i y )=2 :

(1.61)

оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ХУМПŒЙС a2 = (a+)2 = 0, a+a + aa+ = 1 ЬЛŒЙŒБМЕОФОЩ УППФОПЫЕОЙСН БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ДМС i:

[ i; j ]+ = 2‹ij :

(1.62)

рТЕПВТБЪПŒБОЙС, УПИТБОСАЭЙЕ УППФОПЫЕОЙС (1.62), НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ

 

= Rij j ;

(1.63)

i

 

ÇÄÅ Rij | ŒЕЭЕУФŒЕООБС ПТФПЗПОБМШОБС НБФТЙГБ 3 × 3. рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС Œ ДБООПН УМХЮБЕ ПВТБЪХАФ ЗТХРРХ SO(3).

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 4. œЩТБЪЙН H ЮЕТЕЪ ai É ai+ РП ЖПТНХМБН (1.22), ОЕ ПРТЕДЕМСС

РПЛБ ЮБУФПФХ !0:

 

2m +

 

=

 

4

 

(ai ai )

 

 

H =

 

2 (xi xi+1)2

 

 

+

 

 

 

pi2

 

K

 

 

 

h!—

0

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4m!0 (ai + ai+ ai+1 ai++1)

=

 

4

 

(ai+ai ai2) +

 

 

Kh—

 

 

 

2

 

 

h!—

0

 

 

 

 

 

+ 4m!

0

(ai ai+1)(ai+

ai++1) + (ai ai+1)2 + h:c:

(1.64)

 

 

hK—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(У ФПЮОПУФША ДП ЛПОУФБОФЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК ЙЪ-ЪБ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ВПЪЕПРЕТБФПТПŒ). œЩРПМОЙН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ:

ı

 

dk

 

 

 

 

 

 

ı

 

 

 

 

 

am =

ak eikm

=

k

ak eikm ; ak =

m

am eikm :

(1.65)

ðÒÉ ÜÔÏÍ

 

 

 

 

ai+ ai++1 (1 eik )ak+ :

 

ai ai+1 (1 eik )ak ;

(1.66)

22

 

 

 

 

 

 

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

рПДУФБŒМСС ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС Œ (1.64), РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

(1.67)

 

 

 

H =

k

p(k) ak+ak

+ q(k) ak ak + h:c: ;

 

 

 

 

ÇÄÅ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h!— 0

 

hK—

 

cos k);

 

hK—

h!—

0

 

 

p(k) =

4

+

2m!0 (1

q(k) =

2m!0 (1 cos k)

4

 

:

(1.68)

тБУУНПФТЙН ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak = uk bk + vk b+k ;

a+k = vk bk + uk b+k ;

 

 

 

 

(1.69)

ÇÄÅ uk = ch –k , vk = sh –k . оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РТЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ (1.69) ЗБНЙМШФПОЙБО УПИТБОСЕФ УŒПК ŒЙД, РТЙЮЕН p(k) Й q(k) НЕОСАФУС ФБЛ:

p (k) = ch 2–k p(k) + sh 2–k q(k) ;

 

q (k) = sh 2–k p(k) + ch 2–k q(k) :

(1.70)

рПДВЕТЕН –k ФБЛ, ЮФПВЩ q (k) ПВТБФЙМПУШ Œ ОХМШ:

 

th 2–k = q(k)=p(k) :

(1.71)

ðÒÉ ÜÔÏÍ p (k) = p2(k) q2(k) = h— K=m sin |k=2|. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЮБУФПФБ !0, ЪОБЮЕОЙЕ ЛПФПТПК НПЦЕФ ВЩФШ РТПЙЪŒПМШОЩН, ŒЩРБДБЕФ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС p (k) (ОП ОЕ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС –k !).

дЙБЗПОБМЙЪПŒБООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ЙНЕЕФ ŒЙД

!(k) bk+bk +

2

;

(1.72)

H =

k

p (k) bk+bk + h:c:

=

k

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ !(k) = 2p (k) = 2h— K=m sin |k=2|.

œЩТБЦЕОЙЕ (1.72) РПЪŒПМСЕФ ОБКФЙ ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК, РТЙИПДСЭХАУС

ОБ ПДОХ ЮБУФЙГХ:

ı h!(k) dk

 

 

 

E0 =

2

 

 

ı

 

 

 

2 2ı

= ı h— K=m :

(1.73)

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 4. л ПФŒЕФХ НПЦОП РТЙКФЙ ЪБНЕФОП ВЩУФТЕЕ, ЕУМЙ ОЕ ЖЙЛУЙТПŒБФШ ŒОЙНБОЙЕ ОБ ПРЕТБФПТБИ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ДПУФБФПЮОП РТПŒЕТЙФШ УПИТБОЕОЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ДМС МАВПК РПМОПК УЙУФЕНЩ ПРЕТБФПТПŒ. œ ЬФПК ЪБДБЮЕ ОБЙВПМЕЕ ЕУФЕУФŒЕООЩК ŒЩВПТ | ЛППТДЙОБФЩ Й ЙНРХМШУЩ ЮБУФЙГ.

уДЕМБЕН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ

xm =

 

xq eimq

;

pm =

 

pq eimq

;

(1.74)

 

ı

 

dq

 

ı

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ı

ı

1.4. пф урйопœщи претбфптпœ | л жетнйеœулйн

Й РТПŒЕТЙН, ЮФП ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ОЕ ОБТХЫБАФУС:

[xq ; pq ] = 2ıih— ‹(q + q ) :

рЕТЕРЙУЩŒБС ЗБНЙМШФПОЙБО, ЙНЕЕН

H =

 

 

2m pq pq +

2 (2 2 cos q) xq xq

;

 

ı

 

1

K

dq

 

ı

 

 

 

 

Ф. Е. ЛБЦДПК ЖХТШЕ-ЗБТНПОЙЛЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ПУГЙММСФПТ У ЮБУФПФПК

!(q) = (K=m) (2 2 cos q) = 2 K=m sin |q=2| :

рПМПЦЙŒ

m! q

 

 

 

 

 

q ;

xq =

)

q ;

pq =

hm!— (q)

 

(

2

 

 

bq

i 2

 

h—

 

bq + b+

 

 

b+

УОПŒБ РТЙИПДЙН Л ЗБНЙМШФПОЙБОХ (1.72):

 

 

:

 

 

H =

h!— (q) bq+bq + 2

 

 

 

 

ı

 

1

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ı

 

 

 

 

23

(1.75)

(1.76)

(1.77)

(1.78)

(1.79)

Й Л ŒЩТБЦЕОЙА (1.73) ДМС ЬОЕТЗЙЙ ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.

йЪ ИПДБ ТЕЫЕОЙС ПЮЕŒЙДОП, ЮФП Й ДМС ОЕТБŒОЩИ НБУУ m = M УРЕЛФТ ЛŒБОФПŒПК ГЕРПЮЛЙ ВХДЕФ УŒСЪБО У ЮБУФПФБНЙ ЛПМЕВБОЙК ЛМБУУЙЮЕУЛПК ГЕРПЮЛЙ ФПЮОП ФБЛ ЦЕ: ЛБЦДПК ЛМБУУЙЮЕУЛПК ОПТНБМШОПК НПДЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ЛŒБОФПŒЩК ПУГЙММСФПТ.

1.4. пФ УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ | Л ЖЕТНЙЕŒУЛЙН

ъДЕУШ НЩ ТБУУНПФТЙН ПДОП ЙОФЕТЕУОПЕ РТЙНЕОЕОЙЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК ЙЪ ФЕПТЙЙ ПДОПНЕТОЩИ НБЗОЙФОЩИ УЙУФЕН. пДОПНЕТОЩК НБЗОЕФЙЛ Œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ГЕРПЮЛХ УРЙОПŒ 1=2, Œ ЛПФПТПК ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ ФПМШЛП УПУЕДОЙЕ УРЙОЩ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН, У РПНПЭША УРЕГЙБМШОПЗП ПВПВЭЕОЙС РПМХЮЕООЩИ Œ ЪБДБЮЕ 3 УППФОПЫЕОЙК НЕЦДХ ЖЕТНЙПООЩНЙ ПРЕТБФПТБНЙ Й НБФТЙГБНЙ рБХМЙ

ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒПЪНПЦОЩН РЕТЕКФЙ ПФ ПДОПНЕТОПК УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЙ Л ЬЛŒЙŒБМЕОФОПК ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЕ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ РТБŒЙМБ РЕТЕИПДБ ОБЪЩŒБАФУС РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ. зБНЙМШФПОЙБО ПДОПНЕТОПЗП НБЗОЕФЙЛБ УП УРЙОПН 1=2 ЙНЕЕФ

ŒÉÄ

 

Jx ix ix+1 + Jy iy iy+1 + Jz iz iz+1 B iz :

 

 

 

 

H

= i=

(1.80)

ъДЕУШ i¸ | НБФТЙГЩ рБХМЙ; Jx, Jy , Jz | ПВНЕООЩЕ ЛПОУФБОФЩ; B | ŒОЕЫОЕЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ, РТЙМПЦЕООПЕ ŒДПМШ ПУЙ z. œ ПВЩЮОПК ЙЪПФТПРОПК НПДЕМЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ЛПОУФБОФЩ Jx, Jy É Jz ПДЙОБЛПŒЩ, ОП ОБН ВХДЕФ РПМЕЪОП ТБУУНПФТЕФШ ВПМЕЕ ПВЭЙК БОЙЪПФТПРОЩК УМХЮБК.

24

 

 

 

 

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

 

рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ

кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ ŒЩТБЦБЕФ УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ± = 1

( x

y

 

+

 

 

i 2

i ±

i i

) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ ЖЕТНЙПОПŒ ai

, ai РП УМЕДХАЭЕНХ РТБŒЙМХ:

 

 

iz = 2ai+ai 1;

 

 

 

j

 

 

i= ai

jz ; i+ = ai+

jz ;

(1.81)

 

 

 

 

j<i

 

<i

 

Ф. Е. ЛБЦДЩК УРЙО ЪБНЕОСЕФУС ОБ ЖЕТНЙПО Й ĂУФТХОХĄ, ЙДХЭХА ŒМЕŒП ДП ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ (УФТХОПК РТЙОСФП ОБЪЩŒБФШ ЖЙЗХТЙТХАЭЕЕ Œ (1.81) ВЕУЛПОЕЮОПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ). гЕМШ ŒŒЕДЕОЙС УФТХОЩ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФПВЩ РЕТЕКФЙ Л ПРЕТБФПТБН У ЖЕТНЙЕŒУЛЙН РТБŒЙМПН ЛПННХФБГЙЙ. дМС ЬФПЗП ОЕПВИПДЙНП ĂРПДРТБŒЙФШĄ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ ОБ ТБЪОЩИ ХЪМБИ. оБ ПДОПН ХЪМЕ, УПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 3, ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС Й ФБЛ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ( + a+, a). оБ ТБЪОЩИ ЦЕ ХЪМБИ УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ЛПННХФЙТХАФ, ОП РПУМЕ ХНОПЦЕОЙС ОБ ПРЕТБФПТ УФТХОЩ

 

j<i

z ПОЙ УФБОПŒСФУС БОФЙЛПННХФЙТХАЭЙНЙ.

 

 

 

j

 

 

 

 

 

оЕФТХДОП ОБРЙУБФШ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ŒЩТБЦБАЭЕЕ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБ-

ФПТЩ ЮЕТЕЪ УРЙОЩ:

 

a+ = +

j

 

 

 

ai =

z ;

z :

(1.82)

 

 

i

i

i

i

i

 

 

 

 

j<i

 

 

<i

 

оБКДЕН ЛБЛ УРЙОПŒЩК ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ КПТДБО-ŒЙЗОЕТПŒУЛЙЕ ЖЕТНЙПОЩ. у РПНПЭША РТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.81) ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) РТЕŒТБЭБЕФУС Œ ЬЛŒЙŒБМЕОФОЩК ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО

H = i=

 

J1ai+ai+1 + J2aiai+1 + h:c:

 

 

 

 

 

 

−∞

 

+ Jz (2ni 1)(2ni+1 1) B(2ni 1) ;

(1.83) ÇÄÅ ni = 2a+i ai 1, J1 = Jx Jy , J2 = Jx Jy . оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РТЙ Jz = 0 ЗБНЙМШФПОЙБО (1.83) У ФПЮОПУФША ДП ЛПОУФБОФЩ УПŒРБДБЕФ У ТБУУНПФТЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ 2 ЗБНЙМШФПОЙБОПН (1.20). нЕФПД ЪБДБЮЙ 2 РПЪŒПМСЕФ ДЙБЗПОБМЙЪПŒБФШ ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) РТЙ Jz = 0. у РПНПЭША ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖЕТНЙ-ПРЕТБФПТПŒ

ЗБНЙМШФПОЙБО (1.83) НПЦОП РТЙŒЕУФЙ Л ŒЙДХ

+ J22 sin2 k :

 

H =

 

"(k) ~ak+a~k ; "(k) = ±2 (J1 cos k B)2

(1.84)

 

ı

dk

 

 

 

 

 

 

ı

 

 

 

нПЦОП УДЕМБФШ ŒЩŒПД, ЮФП Й Œ РТЙУХФУФŒЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС Œ УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЕ У Jz = 0 РПДЮЙОСАФУС ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЕ. пЛБЪЩŒБЕФУС,

ЬФП ŒЕТОП Й РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН Jz , ИПФС ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ХЦЕ ОЕ ФБЛ РТПУФП.

рПСŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС РБТБДПЛУБМШОЩН, РПУЛПМШЛХ НБЗОПОЩ (УРЙОПŒЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС Œ НБЗОЕФЙЛБИ) ПВЩЮОП СŒМСАФУС ВПЪПОБНЙ. пДОБЛП ЪДЕУШ УМЕДХЕФ ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ, ЮФП ТЕЮШ Œ ДБООПН УМХЮБЕ ЙДЕФ П УЙМШОП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. œ НБЗОЕФЙЛЕ УП УРЙОПН ОБ ХЪМЕ 1=2 НЕЦДХ НБЗОПОБНЙ ŒПЪОЙЛБЕФ ВПМШЫПЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ, РПУЛПМШЛХ ОЙЛБЛЙЕ ДŒБ НБЗОПОБ ОЕ НПЗХФ ПДОПŒТЕНЕООП ПЛБЪБФШУС ОБ ПДОПН Й ФПН ЦЕ ХЪМЕ. йНЕООП ЬФП ПФФБМЛЙŒБОЙЕ Й ĂНПДЕМЙТХЕФĄ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛБ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ТБУУНБФТЙŒБЕНБС УЙУФЕНБ РТЕДУФБŒМСЕФ

1.4. пф урйопœщи претбфптпœ | л жетнйеœулйн

25

РТЙНЕТ ФПЗП, ЛБЛ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ НЕЦДХ ВПЪПОБНЙ РТЙŒПДЙФ Л РПСŒМЕОЙА ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, СŒМСАЭЙИУС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙНЙ ЖЕТНЙПОБНЙ 2.

у РПНПЭША ЖЕТНЙПООПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ПДОПНЕТОПЗП НБЗОЕФЙЛБ НПЦОП ТЕЫЙФШ ТБЪОППВТБЪОЩЕ ЪБДБЮЙ. оБРТЙНЕТ, ОБКДЕН ЛБЛ ОБНБЗОЙЮЕООПУФШ УЙУФЕНЩ Й НБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЪБŒЙУСФ ПФ РТЙМПЦЕООПЗП РПМС. дМС РТПУФПФЩ ПЗТБОЙЮЙНУС УЙННЕФТЙЮОЩН УМХЮБЕН: Jx = Jy = 12 J < 0, Jz = 0. ьЛŒЙŒБМЕОФОЩК ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ЬФПН УМХЮБЕ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

 

ı

dk

 

 

ı

 

2(J cos k B) ak+ak ;

(1.85)

H

=

РТЙЮЕН J > 0. нБЗОЙФОЩК НПНЕОФ ОБРТБŒМЕО ŒДПМШ ПУЙ z. оБНБЗОЙЮЕООПУФШ, РТЙИПДСЭБСУС ОБ ХЪЕМ, ЕУФШ

 

— = iz =

2 ak+ak 1

 

:

 

(1.86)

 

 

 

 

ı

 

 

 

 

 

dk

 

 

 

 

 

 

ı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у ХЮЕФПН (1.85) ОБИПДЙН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2=ı) arcsin B=J

 

ÐÒÉ

 

B < J ,

 

(1.87)

— = sign B=J

 

 

 

 

ÐÒÉ

|B|

> J .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

|

 

 

 

ðÒÉ |B| = J РТПЙУИПДЙФ РПМОПЕ ОБНБЗОЙЮЙŒБОЙЕ УЙУФЕНЩ. оЕФТХДОП ОБКФЙ ŒПУРТЙ-

ÉÍÞÉŒÏÓÔØ:

=

 

0

 

B2)

 

ÐÒÉ

|B| > J

:

(1.88)

= @B

 

 

@—

 

 

(2=ı)(J 2

 

 

1=2

ÐÒÉ

B < J

 

 

| |

ъОБЛ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ РБТБНБЗОЙФОЩК.

2пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ОЙЪЛБС ТБЪНЕТОПУФШ УЙУФЕНЩ ХУЙМЙŒБЕФ ЬЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Й, ЛБЛ РТБŒЙМП, УРПУПВУФŒХЕФ РТЕŒТБЭЕОЙА ТБЪМЙЮОЩИ ФЙРПŒ УФБФЙУФЙЛЙ ДТХЗ Œ ДТХЗБ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН Œ ЗМ. 12, Œ ПДОПНЕТОПК УЙУФЕНЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ РПДЮЙОСАФУС ВПЪЕУФБФЙУФЙЛЕ.

çÌÁŒÁ 2.

жХОЛГЙС зТЙОБ

2.1.рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. иТПОПМПЗЙЮЕУЛПЕ ХРПТСДПЮЕОЙЕ

œ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ЗБНЙМШФПОЙБО ЪБРЙУЩŒБАФ Œ ŒЙДЕ H = H0 + Hint, ÇÄÅ H0 |

ОЕŒПЪНХЭЕООБС ЮБУФШ, Б

Hint | ŒПЪНХЭЕООБС. оБЙВПМЕЕ

ХДПВОП ТБВПФБФШ Œ РТЕДУФБ-

 

 

 

 

ŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, Ф. Е. Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ОЕŒПЪНХЭЕООПК ЪБДБЮЙ. œ ЛБЮЕУФŒЕ ВБЪЙУБ ЬФПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ЙУРПМШЪХАФУС ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ŒТЕНЕОЙ УПВУФŒЕО-

ОЩЕ УПУФПСОЙС ОЕŒПЪНХЭЕООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБ H0:

 

 

 

 

 

 

|¸ (t) = e

 

|¸ ;

 

(2.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

(i=h—)E¸t

 

 

ÇÄÅ E¸ | УРЕЛФТ H0. хТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ, ЪБРЙУБООПЕ Œ ЬФПН ВБЪЙУЕ, РТЙОЙНБЕФ

ŒÉÄ

 

 

 

 

 

@ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

ih— @t

 

 

 

 

 

 

 

 

= Hint(t) ~ ;

 

(2.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЕТЕФУС Œ РТЕД-

ÇÄÅ Hint(t) = e(i=h—)H0tHinte(i=h—)H0t ; Б ПВПЪОБЮЕОЙЕ ~ ХЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП

УФБŒМЕОЙЙ

ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. жПТНБМШОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ЮЕТЕЪ S-НБФТЙГХ,

 

 

 

ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПК ЬЛУРПОЕОФПК:

~(t) = S t

~

 

 

( )

(0), ЛПФПТБС ДБЕФУС

t

Hint(t )dt

=

 

(2.3)

 

S(t) = T exp

h— 0

 

 

 

 

 

i

 

 

t t1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

tn1

Hint(t1) : : : Hint(tn) dtn : : : dt1 ;

 

 

= n=0 h—

 

: : :

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

0

 

ÇÄÅ 0 < tn < : : : < t1 < t. рТЕПВТБЪПŒБОЙС (2.1){(2.3) ЙНЕАФ ПВЭЙК ЛŒБОФПŒП{ НЕИБОЙЮЕУЛЙК ИБТБЛФЕТ: ПОЙ РТЙНЕОЙНЩ Й Л ПДОПЮБУФЙЮОПК Й Л НОПЗПЮБУФЙЮОПК ЪБДБЮБН. œ НОПЗПЮБУФЙЮОПН УМХЮБЕ, РТЕДУФБŒМСАЭЕН ПУОПŒОПК ЙОФЕТЕУ, ОЕПВИПДЙНП РЕТЕКФЙ Л -ПРЕТБФПТБН, РПУМЕ ЮЕЗП ЮМЕОЩ ТСДБ (2.3) УФБОПŒСФУС РПМЙОПНБНЙ РП ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. бОБМЙЪ ПРЕТБФПТОПК УФТХЛФХТЩ ЬФЙИ ŒЩТБЦЕОЙК

27

A(x)B(x )
B(x )A(x)

28

змбœб 2. жхолгйс зтйоб

РТЙŒПДЙФ Л РТПУФЩН РТБŒЙМБН ŒЩЮЙУМЕОЙС УТЕДОЙИ (ФЕПТЕНБ œЙЛБ) Й Л ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ, ДБАЭЕК ХДПВОПЕ ЗТБЖЙЮЕУЛПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ДМС ТБЪМПЦЕОЙС S-НБФТЙГЩ Œ

ТСД РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА.

œŒЕДЕН ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ, ЛПФПТПЕ ЮБУФП ОБЪЩŒБАФ ФБЛЦЕ T-ХРПТСДПЮЕООЩН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕН ПРЕТБФПТПŒ, ЙМЙ РТПУФП ф-РТПЙЪŒЕДЕОЙЕН. дМС ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ

TA(x)B(x ) =

 

 

Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДМС ЖЕТНЙ-ПРЕТБФПТПŒ

 

TA(x)B(x ) =

B(x )A(x)

 

 

 

 

A(x)B(x )

 

ÅÓÌÉ t > t , ÅÓÌÉ t < t ,

ÐÒÉ t > t , ÐÒÉ t < t .

(2.4)

(2.5)

йОБЮЕ ЗПŒПТС, РТЙ ф-ХРПТСДПЮЕОЙЙ ПРЕТБФПТПŒ ЙИ РЕТЕУФБŒМСАФ ФБЛ, ЮФПВЩ НПНЕОФЩ ŒТЕНЕОЙ, Œ ЛПФПТЩЕ ŒЪСФЩ ПРЕТБФПТЩ, ŒПЪТБУФБМЙ УРТБŒБ ОБМЕŒП. рТЙ ЬФПН ЪОБЛ РЕТЕУФБОПŒЛЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ ЙИ ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН: Ă+Ą ДМС ВПЪПОПŒ, ĂĄ ДМС ЖЕТНЙПОПŒ.

у РПНПЭША ф-РТПЙЪŒЕДЕОЙС ПРЕТБФПТПŒ НПЦОП ЪБРЙУБФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (2.3) ДМС ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПК ЬЛУРПОЕОФЩ Œ ВПМЕЕ РТЙŒЩЮОПН ŒЙДЕ:

S(t) =

i

 

n 1

T

 

 

t

int(t )dt n

:

(2.6)

 

n=0

h—

n!

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

пУОПŒОЩН ПВ ЕЛФПН ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ СŒМСЕФУС ЖХОЛГЙС зТЙОБ. пОБ ПРТЕ-

ДЕМСЕФУС ЮЕТЕЪ

-ПРЕТБФПТЩ, ŒЪСФЩЕ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

 

¸(x) = e

¸(r) e

;

¸ (x) = e

¸ (r) e

;

(2.7)

~

iH0t

 

iH0t

 

~+

iH0t

 

iH0t

 

 

 

+

 

ЗДЕ РПД x РПОЙНБЕФУС УПŒПЛХРОПУФШ ЮЕФЩТЕИ РЕТЕНЕООЩИ | ЛППТДЙОБФ r Й ŒТЕНЕОЙ

t; ¸ | УРЙОПŒЩК ЙОДЕЛУ (ДМС ЖЕТНЙПОПŒ).

фБЛ ОБЪЩŒБЕНБС РТЙЮЙООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ УТЕДОЕЕ ПФ ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПЗП РТП-

ЙЪŒЕДЕОЙС -ПРЕТБФПТПŒ, ŒЪСФЩИ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС 1:

 

 

G¸˛c

(x; x ) = i T ~¸(x) ~˛+(x ) ;

(2.8)

ЗДЕ УЛПВЛЙ : : :

ПЪОБЮБАФ НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ S0 1 0| : : : |0 , ŒЪСФЩК РП ПУОПŒ-

ОПНХ УПУФПСОЙА

УЙУФЕНЩ У

 

 

ЗБНЙМШФПОЙБОПН H0. (жБЪПŒЩК НОПЦЙФЕМШ

S0 =

0|eiH0t|0 t→∞ РТЙОСФП ŒŒПДЙФШ ДМС ОПТНЙТПŒЛЙ.) фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ВПЪПОПŒ Й ЖЕТНЙПОПŒ ПРТЕДЕМСАФУС ПДЙОБЛПŒП, ОП ПРЕТБГЙС T-ХРПТСДПЮЕОЙС ЙНЕЕФ ТБЪОЩК УНЩУМ.

1œЕТИОЙК ЙОДЕЛУ Х Gc¸˛ (РЕТŒХА ВХЛŒХ УМПŒБ ĂcausalĄ) ЙУРПМШЪХАФ ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ПФМЙЮБФШ РТЙЮЙООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ПФ ДТХЗЙИ РПМЕЪОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, ФБЛЙИ ЛБЛ ЪБРБЪДЩŒБАЭБС Й ПРЕТЕЦБАЭБС ЖХОЛГЙЙ GR¸˛(A) (ÓÍ. (5.6)).

2.1. ртедуфбœмеойе œъбйнпдекуфœйс

29

œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (2.7) Й ŒУАДХ ДБМЕЕ ФБН, ЗДЕ ЬФП ОЕ РТЙŒПДЙФ Л ОЕДПТБЪХНЕОЙСН, НЩ ЙУРПМШЪХЕН УЙУФЕНХ ЕДЙОЙГ, Œ ЛПФПТПК h— = 1, [t] = [E]1. лТПНЕ ФПЗП, НЩ ФБЛЦЕ ЮБУФП ВХДЕН РЙУБФШ ŒНЕУФП ~, ЙВП ПУОПŒОХА ТПМШ Œ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ ЙЗТБЕФ ЙНЕООП ПРЕТБФПТЩ ~ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, Б ПРЕТБФПТЩ Œ ЫТЕДЙОЗЕТПŒУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ŒУФТЕЮБАФУС.

œ ПДОПТПДОПК УЙУФЕНЕ (УЛБЦЕН, Œ ЗБЪЕ ЙМЙ Œ ЦЙДЛПУФЙ) ЖХОЛГЙС зТЙОБ (2.8), ПЮЕŒЙДОП, ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ ТБЪОПУФЙ ЛППТДЙОБФ rr Й ŒТЕНЕО t t . œ ЬФПН УМХЮБЕ ХДПВОП УДЕМБФШ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ Й РЕТЕКФЙ Œ ЙНРХМШУОП-ЮБУФПФОПЕ РТЕДУФБ-

ŒМЕОЙЕ:

 

d" d3p

 

 

G¸˛ (x x ) =

G¸˛ ("; p) ei"(tt )+ip(rr )

:

(2.9)

(2ı)4

œ ЬФПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПВЩЮОП Й УФТПЙФУС ДЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ. жХОЛГЙА G¸˛ ("; p) ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЗБЪБ ОЕФТХДОП ОБКФЙ, РПМШЪХСУШ ПРТЕДЕМЕОЙЕН (2.8). оБРТЙНЕТ, ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ПОБ ЙНЕЕФ ŒЙД

G¸˛ ("; p) =

¸˛

;

(2.10)

" ‰(p) + i0 sign(|p| − p0)

ÇÄÅ ‰(p) = p2=2m EF | ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ, Б p0 = 2mEF

| ЙНРХМШУ жЕТНЙ,

СŒМСАЭЙКУС ЗТБОЙГЕК ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ РП ЙНРХМШУБН.

жХОЛГЙА зТЙОБ, ЕУМЙ ПОБ ЙЪŒЕУФОБ, НПЦОП ЙУРПМШЪПŒБФШ ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ТБЪМЙЮ-

ОЩИ ЖЙЪЙЮЕУЛЙИ ŒЕМЙЮЙО. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ŒЕМЙЮЙОБ

 

j

;

r

; t

i lim G

¸˛ (

x; x

)

(2.11)

¸˛ (r

 

 

) = ± t t+0

 

 

ЕУФШ ПДОПЮБУФЙЮОБС НБФТЙГБ РМПФОПУФЙ. (ъОБЛ УППФŒЕФУФŒХЕФ УФБФЙУФЙЛЕ: Ă+Ą ДМС ВПЪПОПŒ, ĂĄ ДМС ЖЕТНЙПОПŒ.) ъОБС j¸˛ (r; r ; t), ОЕФТХДОП ОБКФЙ УТЕДОЕЕ МАВПК ŒЕМЙЮЙОЩ. оБРТЙНЕТ, РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЛБЛ

 

n x

i lim

 

Tr G

¸˛

(x; x ) ;

(2.12)

 

( ) = ± t t+0

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

Б РМПФОПУФШ ФПЛБ ЛБЛ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j(x) =

h—

lim (

 

r

r ) Tr G¸˛ (x; x ) ;

(2.13)

 

 

±2m t t+0

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗДЕ Tr ПВПЪОБЮБЕФ ŒЪСФЙЕ УМЕДБ РП УРЙОПŒЩН ЙОДЕЛУБН ¸, ˛. вТБФШ РТЕДЕМ РП t > t Œ УППФОПЫЕОЙСИ (2.11) { (2.13) ОЕПВИПДЙНП ЙЪ-ЪБ ОЕПДОПЪОБЮОПУФЙ ПРТЕДЕМЕОЙС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РТЙ t = t .

рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Й ЖХОЛГЙС зТЙОБ СŒМСАФУС ПУОПŒПК РТЙ РПУФТПЕОЙЙ Й ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. œ ЬФПК ЗМБŒЕ УПВТБОЩ ЪБДБЮЙ, ЙММА-

УФТЙТХАЭЙЕ ЬФЙ ŒБЦОЩЕ РПОСФЙС ОБ РТПУФЩИ РТЙНЕТБИ.

мЙФЕТБФХТБ: рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ТБУУНБФТЙŒБЕФУС Œ [1], § 6; [6], § 12. пРТЕДЕМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦОП ОБКФЙ Œ [1], § 7; [6], § 7.

30

змбœб 2. жхолгйс зтйоб

2.2. ъБДБЮЙ 5 { 10

ъБДБЮБ 5. (уРЙО ŒП ŒТБЭБАЭЕНУС РПМЕ.) юБУФЙГБ УП УРЙОПН s = 1=2 Й НБЗОЙФОЩН НПНЕОФПН — ОБИПДЙФУС Œ РПУФПСООПН ŒЕТФЙЛБМШОПН Й ŒТБЭБАЭЕНУС ЗПТЙЪПОФБМШОПН НБЗОЙФОПН РПМСИ 2

B = (B1 cos !t; B1 sin !t; B0) :

(2.14)

ъБРЙЫЙФЕ ХТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, УЮЙФБС РЕТЕНЕООХА ЮБУФШ РПМС ĂŒПЪНХЭЕОЙЕНĄ. тЕЫЙФЕ ХТБŒОЕОЙЕ Й ОБКДЙФЕ S-НБФТЙГХ.

рХУФШ РТЙ t = 0 ЮБУФЙГБ ОБИПДЙФУС Œ УПУФПСОЙЙ ĂУРЙО ŒŒЕТИĄ. лБЛПŒБ ŒЕТПСФОПУФШ ОБКФЙ ЕЕ Œ УПУФПСОЙЙ ĂУРЙО ŒОЙЪĄ Œ НПНЕОФ t > 0? тБУУНПФТЙФЕ ПФДЕМШОП УМХЮБК ТЕЪПОБОУБ ! = 2—B0.

ъБДБЮБ 6. ъБТСЦЕООБС ЮБУФЙГБ НБУУЩ m ДŒЙЦЕФУС РП РТСНПК Œ РБТБВПМЙЮЕУЛПН РПФЕОГЙБМЕ U (x) = m!2x2=2. оБ ЛПТПФЛПЕ ŒТЕНС fi ŒЛМАЮБАФ УМБВПЕ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЕ РПМЕ E, Б ЪБФЕН ŒЩЛМАЮБАФ. лБЛПŒБ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒЕУФЙ ЮБУФЙГХ Œ УПУФПСОЙЕ |n , ЕУМЙ ДП ŒЛМАЮЕОЙС РПМС ПОБ ВЩМБ Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ?

Б) тЕЫЙФЕ ЪБДБЮХ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ŒПЪНХЭЕОЙС ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС ФПМШЛП НЕЦДХ УПУЕДОЙНЙ ХТПŒОСНЙ. уМЕДПŒБФЕМШОП, РТЙ НБМПН E ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕИПДБ Œ n{Е УПУФПСОЙЕ ДБЕФУС n{Н РПТСДЛПН ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. рТЙ ЛБЛПН УППФОПЫЕОЙЙ НЕЦДХ E, ! Й fi ФЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК ТБВПФБЕФ?

В)* дМС РТПЙЪŒПМШОЩИ E Й fi ОБКДЙФЕ ФПЮОХА S-НБФТЙГХ Й ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕИПДБ

ЙЪ ПУОПŒОПЗП Œ n{Е УПУФПСОЙЕ.

ъБДБЮБ 7. (пВИПД РПМАУБ.) œЩТБЪЙФЕ РМПФОПУФШ n ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G("; p), ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ УППФОПЫЕОЙЕН (2.12). œЩЮЙУМЙФЕ ЙОФЕЗТБМ Й РПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ p30 = 3ı2n ДМС ЙНРХМШУБ жЕТНЙ p0.

ъБДБЮБ 8. Б) дМС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ ОБ РТСНПК ОБКДЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G¸˛ ("; x; x ).

В) фП ЦЕ ДМС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ ОБ РПМХРТСНПК x > 0 У ЗТБОЙЮОЩН ХУМПŒЙЕН |x=0 = 0

(ОЕРТПОЙГБЕНБС ФŒЕТДБС УФЕОЛБ).

Œ) (пУГЙММСГЙЙ жТЙДЕМС.) œ УМХЮБЕ В) РПЛБЦЙФЕ, ЮФП РМПФОПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, ЛБЛ

ЖХОЛГЙС ТБУУФПСОЙС ДП УФЕОЛЙ, ПУГЙММЙТХЕФ. юЕНХ ТБŒЕО РЕТЙПД ПУГЙММСГЙК?

ъБДБЮБ 9. (œПЪŒТБФ ОБЪБД РТЙ УМХЮБКОПН ВМХЦДБОЙЙ.) жХОЛГЙЙ зТЙОБ ПЛБЪЩŒБАФУС РПМЕЪОЩНЙ Й РТЙ ЙЪХЮЕОЙЙ ŒПРТПУПŒ, ОЕ ЙНЕАЭЙИ ПФОПЫЕОЙС Л ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЕ. œ ЬФПК Й УМЕДХАЭЕК ЪБДБЮБИ НЩ РТЙŒЕДЕН ДŒБ ФБЛЙИ РТЙНЕТБ. рЕТŒЩК ЙЪ ОЙИ | ЪБДБЮБ П УМХЮБКОПН ВМХЦДБОЙЙ.

тБУУНПФТЙН ЮБУФЙГХ, УПŒЕТЫБАЭХА УМХЮБКОПЕ ВМХЦДБОЙЕ РП n-НЕТОПК ЛХВЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЕ. дŒЙЦЕОЙЕ ОБЮЙОБЕФУС РТЙ t = 0 ЙЪ ОБЮБМБ ЛППТДЙОБФ. рПРБŒ ОБ ПЮЕТЕДОПН ЫБЗЕ Œ ЛБЛПК-ФП ЙЪ ХЪМПŒ ТЕЫЕФЛЙ, ЮБУФЙГБ ОБ УМЕДХАЭЕН ЫБЗЕ У ПДЙОБЛПŒПК ŒЕТПСФОПУФША РЕТЕИПДЙФ Œ МАВПК ЙЪ 2n УПУЕДОЙИ ХЪМПŒ. рХУФШ p(t; x) | ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ЮЕТЕЪ t ЫБЗПŒ ПЛБЪБМБУШ Œ ХЪМЕ x = (x1; : : : ; xn) ТЕЫЕФЛЙ. (œ ЬФПК

2фБЛБС УЙФХБГЙС ŒПЪОЙЛБЕФ, ОБРТЙНЕТ, Œ ЬЛУРЕТЙНЕОФЕ РП СДЕТОПНХ НБЗОЙФОПНХ ТЕЪПОБОУХ (снт).