Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf1.3. теыеойс |
21 |
йЪ РПМХЮЕООЩИ УППФОПЫЕОЙК УМЕДХЕФ, ЮФП |
|
|u| + |v| = 1 : |
(1.60) |
фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЪБДБЕФУС ДŒХНС
ЛПНРМЕЛУОЩНЙ РБТБНЕФТБНЙ u Й v, ХДПŒМЕФŒПТСАЭЙНЙ ХУМПŒЙА (1.60). лПЬЖЖЙГЙЕО-
√
ФЩ q Й w ПРТЕДЕМСАФУС ФБЛЙН ПВТБЪПН: q = ±i uv, w = −2q.
оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ОЕМЙОЕКОПЕ, РПУЛПМШЛХ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ w ОЕ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. вПМЕЕ ФПЗП, МЙОЕКОЩНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС МЙЫШ ФТЙŒЙБМШОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (У u ЙМЙ v ТБŒОЩН ОХМА).
тЕЫЙН ФЕРЕТШ ЪБДБЮХ ДТХЗЙН УРПУПВПН, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН (1.21) ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ ЮЕТЕЪ НБФТЙГЩ рБХМЙ. пВТБФЙН УППФОПЫЕОЙС (1.21):
a = ( x − i y )=2 ; a+ = ( x + i y )=2 : |
(1.61) |
оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ХУМПŒЙС a2 = (a+)2 = 0, a+a + aa+ = 1 ЬЛŒЙŒБМЕОФОЩ УППФОПЫЕОЙСН БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ДМС i:
[ i; j ]+ = 2‹ij : |
(1.62) |
рТЕПВТБЪПŒБОЙС, УПИТБОСАЭЙЕ УППФОПЫЕОЙС (1.62), НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ |
|
= Rij j ; |
(1.63) |
i |
|
ÇÄÅ Rij | ŒЕЭЕУФŒЕООБС ПТФПЗПОБМШОБС НБФТЙГБ 3 × 3. рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС Œ ДБООПН УМХЮБЕ ПВТБЪХАФ ЗТХРРХ SO(3).
рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 4. œЩТБЪЙН H ЮЕТЕЪ ai É ai+ РП ЖПТНХМБН (1.22), ОЕ ПРТЕДЕМСС |
||||||||||||||
РПЛБ ЮБУФПФХ !0: |
|
2m + |
|
= − |
|
4 |
|
(ai − ai ) |
|
|
||||
H = |
|
2 (xi − xi+1)2 |
|
|
+ |
|
||||||||
|
|
pi2 |
|
K |
|
|
|
h!— |
0 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ 4m!0 (ai + ai+ − ai+1 − ai++1) |
= |
|
4 |
|
(ai+ai − ai2) + |
|
|||||||
|
Kh— |
|
|
|
2 |
|
|
h!— |
0 |
|
|
|
||
|
|
+ 4m! |
0 |
(ai − ai+1)(ai+ |
− ai++1) + (ai − ai+1)2 + h:c: |
(1.64) |
||||||||
|
|
hK— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(У ФПЮОПУФША ДП ЛПОУФБОФЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК ЙЪ-ЪБ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ВПЪЕПРЕТБФПТПŒ). œЩРПМОЙН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ:
ı |
|
dk |
|
|
|
|
|
|
−ı |
|
|
|
|
|
|||
am = |
ak eikm |
2ı |
= |
k |
ak eikm ; ak = |
m |
am e−ikm : |
(1.65) |
ðÒÉ ÜÔÏÍ |
|
|
|
|
ai+ − ai++1 → (1 − e−ik )ak+ : |
|
||
ai − ai+1 → (1 − eik )ak ; |
(1.66) |
|||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ |
|||||
рПДУФБŒМСС ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС Œ (1.64), РПМХЮБЕН |
|
|
|
|
|
(1.67) |
||||||
|
|
|
H = |
k |
p(k) ak+ak |
+ q(k) ak a−k + h:c: ; |
|
|
|
|
||
ÇÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h!— 0 |
|
hK— |
|
− cos k); |
|
hK— |
− |
h!— |
0 |
|
|
p(k) = |
4 |
+ |
2m!0 (1 |
q(k) = |
2m!0 (1 − cos k) |
4 |
|
: |
(1.68) |
|||
тБУУНПФТЙН ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ak = uk bk + vk b−+k ; |
a−+k = vk bk + uk b−+k ; |
|
|
|
|
(1.69) |
|||
ÇÄÅ uk = ch –k , vk = sh –k . оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РТЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ (1.69) ЗБНЙМШФПОЙБО УПИТБОСЕФ УŒПК ŒЙД, РТЙЮЕН p(k) Й q(k) НЕОСАФУС ФБЛ:
p (k) = ch 2–k p(k) + sh 2–k q(k) ; |
|
q (k) = sh 2–k p(k) + ch 2–k q(k) : |
(1.70) |
рПДВЕТЕН –k ФБЛ, ЮФПВЩ q (k) ПВТБФЙМПУШ Œ ОХМШ: |
|
th 2–k = −q(k)=p(k) : |
(1.71) |
ðÒÉ ÜÔÏÍ p (k) = p2(k) − q2(k) = h— K=m sin |k=2|. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЮБУФПФБ !0, ЪОБЮЕОЙЕ ЛПФПТПК НПЦЕФ ВЩФШ РТПЙЪŒПМШОЩН, ŒЩРБДБЕФ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС p (k) (ОП ОЕ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС –k !).
дЙБЗПОБМЙЪПŒБООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ЙНЕЕФ ŒЙД |
!(k) bk+bk + |
2 |
; |
(1.72) |
||||
H = |
k |
p (k) bk+bk + h:c: |
= |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ !(k) = 2p (k) = 2h— K=m sin |k=2|.
œЩТБЦЕОЙЕ (1.72) РПЪŒПМСЕФ ОБКФЙ ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК, РТЙИПДСЭХАУС
ОБ ПДОХ ЮБУФЙГХ: |
ı h!(k) dk |
|
|
|
|
E0 = |
2 |
|
|
||
ı |
|
|
|
||
— |
2 2ı |
= ı h— K=m : |
(1.73) |
||
−
дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 4. л ПФŒЕФХ НПЦОП РТЙКФЙ ЪБНЕФОП ВЩУФТЕЕ, ЕУМЙ ОЕ ЖЙЛУЙТПŒБФШ ŒОЙНБОЙЕ ОБ ПРЕТБФПТБИ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ДПУФБФПЮОП РТПŒЕТЙФШ УПИТБОЕОЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ДМС МАВПК РПМОПК УЙУФЕНЩ ПРЕТБФПТПŒ. œ ЬФПК ЪБДБЮЕ ОБЙВПМЕЕ ЕУФЕУФŒЕООЩК ŒЩВПТ | ЛППТДЙОБФЩ Й ЙНРХМШУЩ ЮБУФЙГ.
уДЕМБЕН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ
xm = |
|
xq eimq |
2ı ; |
pm = |
|
pq eimq |
2ı ; |
(1.74) |
|
ı |
|
dq |
|
ı |
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−ı |
−ı |
1.4. пф урйопœщи претбфптпœ | л жетнйеœулйн
Й РТПŒЕТЙН, ЮФП ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ОЕ ОБТХЫБАФУС:
[xq ; pq ] = 2ıih— ‹(q + q ) :
рЕТЕРЙУЩŒБС ЗБНЙМШФПОЙБО, ЙНЕЕН
H = |
|
|
2m pq p−q + |
2 (2 − 2 cos q) xq x−q |
2ı ; |
|
ı |
|
1 |
K |
dq |
|
−ı |
|
|
|
|
Ф. Е. ЛБЦДПК ЖХТШЕ-ЗБТНПОЙЛЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ПУГЙММСФПТ У ЮБУФПФПК
!(q) = (K=m) (2 − 2 cos q) = 2 K=m sin |q=2| :
рПМПЦЙŒ |
m! q |
|
|
|
|
|
−√ −q ; |
xq = |
) |
√ −q ; |
pq = |
hm!— (q) |
|||
|
( |
2 |
|
|
bq |
i 2 |
|
|
h— |
|
bq + b+ |
|
|
b+ |
|
УОПŒБ РТЙИПДЙН Л ЗБНЙМШФПОЙБОХ (1.72): |
|
|
2ı : |
|
|||
|
H = |
h!— (q) bq+bq + 2 |
|
||||
|
|
|
ı |
|
1 |
dq |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−ı |
|
|
|
|
|
23
(1.75)
(1.76)
(1.77)
(1.78)
(1.79)
Й Л ŒЩТБЦЕОЙА (1.73) ДМС ЬОЕТЗЙЙ ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.
йЪ ИПДБ ТЕЫЕОЙС ПЮЕŒЙДОП, ЮФП Й ДМС ОЕТБŒОЩИ НБУУ m = M УРЕЛФТ ЛŒБОФПŒПК ГЕРПЮЛЙ ВХДЕФ УŒСЪБО У ЮБУФПФБНЙ ЛПМЕВБОЙК ЛМБУУЙЮЕУЛПК ГЕРПЮЛЙ ФПЮОП ФБЛ ЦЕ: ЛБЦДПК ЛМБУУЙЮЕУЛПК ОПТНБМШОПК НПДЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ЛŒБОФПŒЩК ПУГЙММСФПТ.
1.4. пФ УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ | Л ЖЕТНЙЕŒУЛЙН
ъДЕУШ НЩ ТБУУНПФТЙН ПДОП ЙОФЕТЕУОПЕ РТЙНЕОЕОЙЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК ЙЪ ФЕПТЙЙ ПДОПНЕТОЩИ НБЗОЙФОЩИ УЙУФЕН. пДОПНЕТОЩК НБЗОЕФЙЛ Œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ГЕРПЮЛХ УРЙОПŒ 1=2, Œ ЛПФПТПК ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ ФПМШЛП УПУЕДОЙЕ УРЙОЩ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН, У РПНПЭША УРЕГЙБМШОПЗП ПВПВЭЕОЙС РПМХЮЕООЩИ Œ ЪБДБЮЕ 3 УППФОПЫЕОЙК НЕЦДХ ЖЕТНЙПООЩНЙ ПРЕТБФПТБНЙ Й НБФТЙГБНЙ рБХМЙ
ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒПЪНПЦОЩН РЕТЕКФЙ ПФ ПДОПНЕТОПК УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЙ Л ЬЛŒЙŒБМЕОФОПК ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЕ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ РТБŒЙМБ РЕТЕИПДБ ОБЪЩŒБАФУС РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ. зБНЙМШФПОЙБО ПДОПНЕТОПЗП НБЗОЕФЙЛБ УП УРЙОПН 1=2 ЙНЕЕФ
ŒÉÄ
|
∞ |
Jx ix ix+1 + Jy iy iy+1 + Jz iz iz+1 − B iz : |
|
|
|
|
|
H |
= i= |
(1.80) |
ъДЕУШ i¸ | НБФТЙГЩ рБХМЙ; Jx, Jy , Jz | ПВНЕООЩЕ ЛПОУФБОФЩ; B | ŒОЕЫОЕЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ, РТЙМПЦЕООПЕ ŒДПМШ ПУЙ z. œ ПВЩЮОПК ЙЪПФТПРОПК НПДЕМЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ЛПОУФБОФЩ Jx, Jy É Jz ПДЙОБЛПŒЩ, ОП ОБН ВХДЕФ РПМЕЪОП ТБУУНПФТЕФШ ВПМЕЕ ПВЭЙК БОЙЪПФТПРОЩК УМХЮБК.
24 |
|
|
|
|
змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ |
||
|
рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ |
кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ ŒЩТБЦБЕФ УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ± = 1 |
( x |
||||
y |
|
+ |
|
|
i 2 |
i ± |
|
i i |
) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ ЖЕТНЙПОПŒ ai |
, ai РП УМЕДХАЭЕНХ РТБŒЙМХ: |
|
||||
|
iz = 2ai+ai − 1; |
|
|
|
j |
|
|
|
i− = ai |
jz ; i+ = ai+ |
jz ; |
(1.81) |
|||
|
|
|
|
j<i |
|
<i |
|
Ф. Е. ЛБЦДЩК УРЙО ЪБНЕОСЕФУС ОБ ЖЕТНЙПО Й ĂУФТХОХĄ, ЙДХЭХА ŒМЕŒП ДП ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ (УФТХОПК РТЙОСФП ОБЪЩŒБФШ ЖЙЗХТЙТХАЭЕЕ Œ (1.81) ВЕУЛПОЕЮОПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ). гЕМШ ŒŒЕДЕОЙС УФТХОЩ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФПВЩ РЕТЕКФЙ Л ПРЕТБФПТБН У ЖЕТНЙЕŒУЛЙН РТБŒЙМПН ЛПННХФБГЙЙ. дМС ЬФПЗП ОЕПВИПДЙНП ĂРПДРТБŒЙФШĄ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ ОБ ТБЪОЩИ ХЪМБИ. оБ ПДОПН ХЪМЕ, УПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 3, ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС Й ФБЛ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ( + → a+, − → a). оБ ТБЪОЩИ ЦЕ ХЪМБИ УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ЛПННХФЙТХАФ, ОП РПУМЕ ХНОПЦЕОЙС ОБ ПРЕТБФПТ УФТХОЩ
|
j<i |
z ПОЙ УФБОПŒСФУС БОФЙЛПННХФЙТХАЭЙНЙ. |
|
|
|
||
j |
|
|
|
|
|
||
оЕФТХДОП ОБРЙУБФШ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ŒЩТБЦБАЭЕЕ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБ- |
|||||||
ФПТЩ ЮЕТЕЪ УРЙОЩ: |
|
a+ = + |
j |
|
|||
|
|
ai = − |
z ; |
z : |
(1.82) |
||
|
|
i |
i |
i |
i |
i |
|
|
|
|
j<i |
|
|
<i |
|
оБКДЕН ЛБЛ УРЙОПŒЩК ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ КПТДБО-ŒЙЗОЕТПŒУЛЙЕ ЖЕТНЙПОЩ. у РПНПЭША РТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.81) ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) РТЕŒТБЭБЕФУС Œ ЬЛŒЙŒБМЕОФОЩК ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО
H = i= |
|
J1ai+ai+1 + J2aiai+1 + h:c: |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
+ Jz (2ni − 1)(2ni+1 − 1) − B(2ni − 1) ;
(1.83) ÇÄÅ ni = 2a+i ai − 1, J1 = −Jx − Jy , J2 = Jx − Jy . оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РТЙ Jz = 0 ЗБНЙМШФПОЙБО (1.83) У ФПЮОПУФША ДП ЛПОУФБОФЩ УПŒРБДБЕФ У ТБУУНПФТЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ 2 ЗБНЙМШФПОЙБОПН (1.20). нЕФПД ЪБДБЮЙ 2 РПЪŒПМСЕФ ДЙБЗПОБМЙЪПŒБФШ ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) РТЙ Jz = 0. у РПНПЭША ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖЕТНЙ-ПРЕТБФПТПŒ
ЗБНЙМШФПОЙБО (1.83) НПЦОП РТЙŒЕУФЙ Л ŒЙДХ |
+ J22 sin2 k : |
|
||
H = |
|
"(k) ~ak+a~k 2ı ; "(k) = ±2 (J1 cos k − B)2 |
(1.84) |
|
|
ı |
dk |
|
|
|
|
|
|
|
−ı |
|
|
|
|
нПЦОП УДЕМБФШ ŒЩŒПД, ЮФП Й Œ РТЙУХФУФŒЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС Œ УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЕ У Jz = 0 РПДЮЙОСАФУС ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЕ. пЛБЪЩŒБЕФУС,
ЬФП ŒЕТОП Й РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН Jz , ИПФС ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ХЦЕ ОЕ ФБЛ РТПУФП.
рПСŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС РБТБДПЛУБМШОЩН, РПУЛПМШЛХ НБЗОПОЩ (УРЙОПŒЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС Œ НБЗОЕФЙЛБИ) ПВЩЮОП СŒМСАФУС ВПЪПОБНЙ. пДОБЛП ЪДЕУШ УМЕДХЕФ ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ, ЮФП ТЕЮШ Œ ДБООПН УМХЮБЕ ЙДЕФ П УЙМШОП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. œ НБЗОЕФЙЛЕ УП УРЙОПН ОБ ХЪМЕ 1=2 НЕЦДХ НБЗОПОБНЙ ŒПЪОЙЛБЕФ ВПМШЫПЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ, РПУЛПМШЛХ ОЙЛБЛЙЕ ДŒБ НБЗОПОБ ОЕ НПЗХФ ПДОПŒТЕНЕООП ПЛБЪБФШУС ОБ ПДОПН Й ФПН ЦЕ ХЪМЕ. йНЕООП ЬФП ПФФБМЛЙŒБОЙЕ Й ĂНПДЕМЙТХЕФĄ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛБ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ТБУУНБФТЙŒБЕНБС УЙУФЕНБ РТЕДУФБŒМСЕФ
1.4. пф урйопœщи претбфптпœ | л жетнйеœулйн |
25 |
РТЙНЕТ ФПЗП, ЛБЛ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ НЕЦДХ ВПЪПОБНЙ РТЙŒПДЙФ Л РПСŒМЕОЙА ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, СŒМСАЭЙИУС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙНЙ ЖЕТНЙПОБНЙ 2.
у РПНПЭША ЖЕТНЙПООПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ПДОПНЕТОПЗП НБЗОЕФЙЛБ НПЦОП ТЕЫЙФШ ТБЪОППВТБЪОЩЕ ЪБДБЮЙ. оБРТЙНЕТ, ОБКДЕН ЛБЛ ОБНБЗОЙЮЕООПУФШ УЙУФЕНЩ Й НБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЪБŒЙУСФ ПФ РТЙМПЦЕООПЗП РПМС. дМС РТПУФПФЩ ПЗТБОЙЮЙНУС УЙННЕФТЙЮОЩН УМХЮБЕН: Jx = Jy = −12 J < 0, Jz = 0. ьЛŒЙŒБМЕОФОЩК ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ЬФПН УМХЮБЕ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
|
ı |
dk |
|
|
|
−ı |
|
||
2(J cos k − B) ak+ak 2ı ; |
(1.85) |
|||
H |
= |
РТЙЮЕН J > 0. нБЗОЙФОЩК НПНЕОФ ОБРТБŒМЕО ŒДПМШ ПУЙ z. оБНБЗОЙЮЕООПУФШ, РТЙИПДСЭБСУС ОБ ХЪЕМ, ЕУФШ
|
— = iz = |
2 ak+ak − 1 |
|
2ı : |
|
(1.86) |
||||||||
|
|
|
|
ı |
|
|
|
|
|
dk |
|
|
||
|
|
|
|
ı |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
у ХЮЕФПН (1.85) ОБИПДЙН |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2=ı) arcsin B=J |
|
ÐÒÉ |
|
B < J , |
|
(1.87) |
||||||
— = sign B=J |
|
|
|
|
ÐÒÉ |
|B| |
> J . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
ðÒÉ |B| = J РТПЙУИПДЙФ РПМОПЕ ОБНБЗОЙЮЙŒБОЙЕ УЙУФЕНЩ. оЕФТХДОП ОБКФЙ ŒПУРТЙ- |
||||||||||||||
ÉÍÞÉŒÏÓÔØ: |
= |
|
0 |
|
− |
B2) |
− |
|
ÐÒÉ |
|B| > J |
: |
(1.88) |
||
= @B |
|
|
||||||||||||
@— |
|
|
(2=ı)(J 2 |
|
|
1=2 |
ÐÒÉ |
B < J |
|
|
||||
| |
ъОБЛ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ РБТБНБЗОЙФОЩК.
2пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ОЙЪЛБС ТБЪНЕТОПУФШ УЙУФЕНЩ ХУЙМЙŒБЕФ ЬЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Й, ЛБЛ РТБŒЙМП, УРПУПВУФŒХЕФ РТЕŒТБЭЕОЙА ТБЪМЙЮОЩИ ФЙРПŒ УФБФЙУФЙЛЙ ДТХЗ Œ ДТХЗБ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН Œ ЗМ. 12, Œ ПДОПНЕТОПК УЙУФЕНЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ РПДЮЙОСАФУС ВПЪЕУФБФЙУФЙЛЕ.
çÌÁŒÁ 2.
жХОЛГЙС зТЙОБ
2.1.рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. иТПОПМПЗЙЮЕУЛПЕ ХРПТСДПЮЕОЙЕ
œ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ЗБНЙМШФПОЙБО ЪБРЙУЩŒБАФ Œ ŒЙДЕ H = H0 + Hint, ÇÄÅ H0 |
ОЕŒПЪНХЭЕООБС ЮБУФШ, Б |
Hint | ŒПЪНХЭЕООБС. оБЙВПМЕЕ |
ХДПВОП ТБВПФБФШ Œ РТЕДУФБ- |
||
|
|
|
|
|
ŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, Ф. Е. Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ОЕŒПЪНХЭЕООПК ЪБДБЮЙ. œ ЛБЮЕУФŒЕ ВБЪЙУБ ЬФПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ЙУРПМШЪХАФУС ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ŒТЕНЕОЙ УПВУФŒЕО-
ОЩЕ УПУФПСОЙС ОЕŒПЪНХЭЕООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБ H0: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|¸ (t) = e− |
|
|¸ ; |
|
(2.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(i=h—)E¸t |
|
|
|
ÇÄÅ E¸ | УРЕЛФТ H0. хТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ, ЪБРЙУБООПЕ Œ ЬФПН ВБЪЙУЕ, РТЙОЙНБЕФ |
|||||||||||
ŒÉÄ |
|
|
|
|
|
@ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ih— @t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= Hint(t) ~ ; |
|
(2.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЕТЕФУС Œ РТЕД- |
||
ÇÄÅ Hint(t) = e(i=h—)H0tHinte−(i=h—)H0t ; Б ПВПЪОБЮЕОЙЕ ~ ХЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП |
|||||||||||
УФБŒМЕОЙЙ |
ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. жПТНБМШОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ЮЕТЕЪ S-НБФТЙГХ, |
||||||||||
|
|
|
ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПК ЬЛУРПОЕОФПК: |
||||||||
~(t) = S t |
~ |
|
|
||||||||
( ) |
(0), ЛПФПТБС ДБЕФУС |
t |
Hint(t )dt |
= |
|
(2.3) |
|||||
|
S(t) = T exp |
−h— 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
i |
|
|
t t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
tn−1 |
Hint(t1) : : : Hint(tn) dtn : : : dt1 ; |
|||||
|
|
= n=0 −h— |
|
: : : |
|||||||
|
|
∞ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
0 |
|
||
ÇÄÅ 0 < tn < : : : < t1 < t. рТЕПВТБЪПŒБОЙС (2.1){(2.3) ЙНЕАФ ПВЭЙК ЛŒБОФПŒП{ НЕИБОЙЮЕУЛЙК ИБТБЛФЕТ: ПОЙ РТЙНЕОЙНЩ Й Л ПДОПЮБУФЙЮОПК Й Л НОПЗПЮБУФЙЮОПК ЪБДБЮБН. œ НОПЗПЮБУФЙЮОПН УМХЮБЕ, РТЕДУФБŒМСАЭЕН ПУОПŒОПК ЙОФЕТЕУ, ОЕПВИПДЙНП РЕТЕКФЙ Л -ПРЕТБФПТБН, РПУМЕ ЮЕЗП ЮМЕОЩ ТСДБ (2.3) УФБОПŒСФУС РПМЙОПНБНЙ РП ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. бОБМЙЪ ПРЕТБФПТОПК УФТХЛФХТЩ ЬФЙИ ŒЩТБЦЕОЙК
27
28 |
змбœб 2. жхолгйс зтйоб |
РТЙŒПДЙФ Л РТПУФЩН РТБŒЙМБН ŒЩЮЙУМЕОЙС УТЕДОЙИ (ФЕПТЕНБ œЙЛБ) Й Л ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ, ДБАЭЕК ХДПВОПЕ ЗТБЖЙЮЕУЛПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ДМС ТБЪМПЦЕОЙС S-НБФТЙГЩ Œ
ТСД РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА.
œŒЕДЕН ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ, ЛПФПТПЕ ЮБУФП ОБЪЩŒБАФ ФБЛЦЕ T-ХРПТСДПЮЕООЩН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕН ПРЕТБФПТПŒ, ЙМЙ РТПУФП ф-РТПЙЪŒЕДЕОЙЕН. дМС ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ
TA(x)B(x ) = |
|
|
Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДМС ЖЕТНЙ-ПРЕТБФПТПŒ |
|
|
TA(x)B(x ) = |
B(x )A(x) |
|
|
|
|
|
A(x)B(x ) |
|
− |
|
|
ÅÓÌÉ t > t , ÅÓÌÉ t < t ,
ÐÒÉ t > t , ÐÒÉ t < t .
(2.4)
(2.5)
йОБЮЕ ЗПŒПТС, РТЙ ф-ХРПТСДПЮЕОЙЙ ПРЕТБФПТПŒ ЙИ РЕТЕУФБŒМСАФ ФБЛ, ЮФПВЩ НПНЕОФЩ ŒТЕНЕОЙ, Œ ЛПФПТЩЕ ŒЪСФЩ ПРЕТБФПТЩ, ŒПЪТБУФБМЙ УРТБŒБ ОБМЕŒП. рТЙ ЬФПН ЪОБЛ РЕТЕУФБОПŒЛЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ ЙИ ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН: Ă+Ą ДМС ВПЪПОПŒ, Ă−Ą ДМС ЖЕТНЙПОПŒ.
у РПНПЭША ф-РТПЙЪŒЕДЕОЙС ПРЕТБФПТПŒ НПЦОП ЪБРЙУБФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (2.3) ДМС ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПК ЬЛУРПОЕОФЩ Œ ВПМЕЕ РТЙŒЩЮОПН ŒЙДЕ:
S(t) = |
∞ |
i |
|
n 1 |
T |
|
|
t |
int(t )dt n |
: |
(2.6) |
|
|
n=0 |
−h— |
n! |
|
|
|
H |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
пУОПŒОЩН ПВ ЕЛФПН ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ СŒМСЕФУС ЖХОЛГЙС зТЙОБ. пОБ ПРТЕ-
ДЕМСЕФУС ЮЕТЕЪ |
-ПРЕТБФПТЩ, ŒЪСФЩЕ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС: |
|
|||||||
¸(x) = e |
¸(r) e− |
; |
¸ (x) = e |
¸ (r) e |
; |
(2.7) |
|||
~ |
iH0t |
|
iH0t |
|
~+ |
iH0t |
|
−iH0t |
|
|
|
+ |
|
||||||
ЗДЕ РПД x РПОЙНБЕФУС УПŒПЛХРОПУФШ ЮЕФЩТЕИ РЕТЕНЕООЩИ | ЛППТДЙОБФ r Й ŒТЕНЕОЙ
t; ¸ | УРЙОПŒЩК ЙОДЕЛУ (ДМС ЖЕТНЙПОПŒ).
фБЛ ОБЪЩŒБЕНБС РТЙЮЙООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ УТЕДОЕЕ ПФ ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПЗП РТП-
ЙЪŒЕДЕОЙС -ПРЕТБФПТПŒ, ŒЪСФЩИ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС 1: |
|
||
|
G¸˛c |
(x; x ) = −i T ~¸(x) ~˛+(x ) ; |
(2.8) |
ЗДЕ УЛПВЛЙ : : : |
ПЪОБЮБАФ НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ S0 −1 0| : : : |0 , ŒЪСФЩК РП ПУОПŒ- |
||
ОПНХ УПУФПСОЙА |
УЙУФЕНЩ У |
|
|
ЗБНЙМШФПОЙБОПН H0. (жБЪПŒЩК НОПЦЙФЕМШ |
S0 = |
||
0|e−iH0t|0 t→∞ РТЙОСФП ŒŒПДЙФШ ДМС ОПТНЙТПŒЛЙ.) фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ВПЪПОПŒ Й ЖЕТНЙПОПŒ ПРТЕДЕМСАФУС ПДЙОБЛПŒП, ОП ПРЕТБГЙС T-ХРПТСДПЮЕОЙС ЙНЕЕФ ТБЪОЩК УНЩУМ.
1œЕТИОЙК ЙОДЕЛУ Х Gc¸˛ (РЕТŒХА ВХЛŒХ УМПŒБ ĂcausalĄ) ЙУРПМШЪХАФ ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ПФМЙЮБФШ РТЙЮЙООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ПФ ДТХЗЙИ РПМЕЪОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, ФБЛЙИ ЛБЛ ЪБРБЪДЩŒБАЭБС Й ПРЕТЕЦБАЭБС ЖХОЛГЙЙ GR¸˛(A) (ÓÍ. (5.6)).
2.1. ртедуфбœмеойе œъбйнпдекуфœйс |
29 |
œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (2.7) Й ŒУАДХ ДБМЕЕ ФБН, ЗДЕ ЬФП ОЕ РТЙŒПДЙФ Л ОЕДПТБЪХНЕОЙСН, НЩ ЙУРПМШЪХЕН УЙУФЕНХ ЕДЙОЙГ, Œ ЛПФПТПК h— = 1, [t] = [E]−1. лТПНЕ ФПЗП, НЩ ФБЛЦЕ ЮБУФП ВХДЕН РЙУБФШ ŒНЕУФП ~, ЙВП ПУОПŒОХА ТПМШ Œ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ ЙЗТБЕФ ЙНЕООП ПРЕТБФПТЩ ~ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, Б ПРЕТБФПТЩ Œ ЫТЕДЙОЗЕТПŒУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ŒУФТЕЮБАФУС.
œ ПДОПТПДОПК УЙУФЕНЕ (УЛБЦЕН, Œ ЗБЪЕ ЙМЙ Œ ЦЙДЛПУФЙ) ЖХОЛГЙС зТЙОБ (2.8), ПЮЕŒЙДОП, ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ ТБЪОПУФЙ ЛППТДЙОБФ r−r Й ŒТЕНЕО t −t . œ ЬФПН УМХЮБЕ ХДПВОП УДЕМБФШ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ Й РЕТЕКФЙ Œ ЙНРХМШУОП-ЮБУФПФОПЕ РТЕДУФБ-
ŒМЕОЙЕ: |
|
d" d3p |
|
|
|
G¸˛ (x − x ) = |
G¸˛ ("; p) e−i"(t−t )+ip(r−r ) |
: |
(2.9) |
||
(2ı)4 |
œ ЬФПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПВЩЮОП Й УФТПЙФУС ДЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ. жХОЛГЙА G¸˛ ("; p) ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЗБЪБ ОЕФТХДОП ОБКФЙ, РПМШЪХСУШ ПРТЕДЕМЕОЙЕН (2.8). оБРТЙНЕТ, ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ПОБ ЙНЕЕФ ŒЙД
G¸˛ ("; p) = |
‹¸˛ |
; |
(2.10) |
" − ‰(p) + i0 sign(|p| − p0) |
|||
ÇÄÅ ‰(p) = p2=2m − EF | ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ, Б p0 = √2mEF |
| ЙНРХМШУ жЕТНЙ, |
||
СŒМСАЭЙКУС ЗТБОЙГЕК ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ РП ЙНРХМШУБН.
жХОЛГЙА зТЙОБ, ЕУМЙ ПОБ ЙЪŒЕУФОБ, НПЦОП ЙУРПМШЪПŒБФШ ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ТБЪМЙЮ-
ОЩИ ЖЙЪЙЮЕУЛЙИ ŒЕМЙЮЙО. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ŒЕМЙЮЙОБ |
|
|||||||
j |
; |
r |
; t |
i lim G |
¸˛ ( |
x; x |
) |
(2.11) |
¸˛ (r |
|
|
) = ± t →t+0 |
|
|
|||
ЕУФШ ПДОПЮБУФЙЮОБС НБФТЙГБ РМПФОПУФЙ. (ъОБЛ УППФŒЕФУФŒХЕФ УФБФЙУФЙЛЕ: Ă+Ą ДМС ВПЪПОПŒ, Ă−Ą ДМС ЖЕТНЙПОПŒ.) ъОБС j¸˛ (r; r ; t), ОЕФТХДОП ОБКФЙ УТЕДОЕЕ МАВПК ŒЕМЙЮЙОЩ. оБРТЙНЕТ, РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЛБЛ
|
n x |
i lim |
|
Tr G |
¸˛ |
(x; x ) ; |
(2.12) |
|||
|
( ) = ± t →t+0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
r →r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б РМПФОПУФШ ФПЛБ ЛБЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(x) = |
h— |
lim ( |
|
r |
− |
r ) Tr G¸˛ (x; x ) ; |
(2.13) |
|||
|
||||||||||
|
±2m t →t+0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
r →r |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗДЕ Tr ПВПЪОБЮБЕФ ŒЪСФЙЕ УМЕДБ РП УРЙОПŒЩН ЙОДЕЛУБН ¸, ˛. вТБФШ РТЕДЕМ РП t > t Œ УППФОПЫЕОЙСИ (2.11) { (2.13) ОЕПВИПДЙНП ЙЪ-ЪБ ОЕПДОПЪОБЮОПУФЙ ПРТЕДЕМЕОЙС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РТЙ t = t .
рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Й ЖХОЛГЙС зТЙОБ СŒМСАФУС ПУОПŒПК РТЙ РПУФТПЕОЙЙ Й ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. œ ЬФПК ЗМБŒЕ УПВТБОЩ ЪБДБЮЙ, ЙММА-
УФТЙТХАЭЙЕ ЬФЙ ŒБЦОЩЕ РПОСФЙС ОБ РТПУФЩИ РТЙНЕТБИ.
мЙФЕТБФХТБ: рТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ТБУУНБФТЙŒБЕФУС Œ [1], § 6; [6], § 12. пРТЕДЕМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦОП ОБКФЙ Œ [1], § 7; [6], § 7.
30 |
змбœб 2. жхолгйс зтйоб |
2.2. ъБДБЮЙ 5 { 10
ъБДБЮБ 5. (уРЙО ŒП ŒТБЭБАЭЕНУС РПМЕ.) юБУФЙГБ УП УРЙОПН s = 1=2 Й НБЗОЙФОЩН НПНЕОФПН — ОБИПДЙФУС Œ РПУФПСООПН ŒЕТФЙЛБМШОПН Й ŒТБЭБАЭЕНУС ЗПТЙЪПОФБМШОПН НБЗОЙФОПН РПМСИ 2
B = (B1 cos !t; B1 sin !t; B0) : |
(2.14) |
ъБРЙЫЙФЕ ХТБŒОЕОЙЕ ыТЕДЙОЗЕТБ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, УЮЙФБС РЕТЕНЕООХА ЮБУФШ РПМС ĂŒПЪНХЭЕОЙЕНĄ. тЕЫЙФЕ ХТБŒОЕОЙЕ Й ОБКДЙФЕ S-НБФТЙГХ.
рХУФШ РТЙ t = 0 ЮБУФЙГБ ОБИПДЙФУС Œ УПУФПСОЙЙ ĂУРЙО ŒŒЕТИĄ. лБЛПŒБ ŒЕТПСФОПУФШ ОБКФЙ ЕЕ Œ УПУФПСОЙЙ ĂУРЙО ŒОЙЪĄ Œ НПНЕОФ t > 0? тБУУНПФТЙФЕ ПФДЕМШОП УМХЮБК ТЕЪПОБОУБ ! = 2—B0.
ъБДБЮБ 6. ъБТСЦЕООБС ЮБУФЙГБ НБУУЩ m ДŒЙЦЕФУС РП РТСНПК Œ РБТБВПМЙЮЕУЛПН РПФЕОГЙБМЕ U (x) = m!2x2=2. оБ ЛПТПФЛПЕ ŒТЕНС fi ŒЛМАЮБАФ УМБВПЕ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЕ РПМЕ E, Б ЪБФЕН ŒЩЛМАЮБАФ. лБЛПŒБ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒЕУФЙ ЮБУФЙГХ Œ УПУФПСОЙЕ |n , ЕУМЙ ДП ŒЛМАЮЕОЙС РПМС ПОБ ВЩМБ Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ?
Б) тЕЫЙФЕ ЪБДБЮХ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ŒПЪНХЭЕОЙС ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС ФПМШЛП НЕЦДХ УПУЕДОЙНЙ ХТПŒОСНЙ. уМЕДПŒБФЕМШОП, РТЙ НБМПН E ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕИПДБ Œ n{Е УПУФПСОЙЕ ДБЕФУС n{Н РПТСДЛПН ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. рТЙ ЛБЛПН УППФОПЫЕОЙЙ НЕЦДХ E, ! Й fi ФЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК ТБВПФБЕФ?
В)* дМС РТПЙЪŒПМШОЩИ E Й fi ОБКДЙФЕ ФПЮОХА S-НБФТЙГХ Й ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕИПДБ
ЙЪ ПУОПŒОПЗП Œ n{Е УПУФПСОЙЕ.
ъБДБЮБ 7. (пВИПД РПМАУБ.) œЩТБЪЙФЕ РМПФОПУФШ n ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G("; p), ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ УППФОПЫЕОЙЕН (2.12). œЩЮЙУМЙФЕ ЙОФЕЗТБМ Й РПМХЮЙФЕ ЖПТНХМХ p30 = 3ı2n ДМС ЙНРХМШУБ жЕТНЙ p0.
ъБДБЮБ 8. Б) дМС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ ОБ РТСНПК ОБКДЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G¸˛ ("; x; x ).
В) фП ЦЕ ДМС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ ОБ РПМХРТСНПК x > 0 У ЗТБОЙЮОЩН ХУМПŒЙЕН |x=0 = 0
(ОЕРТПОЙГБЕНБС ФŒЕТДБС УФЕОЛБ).
Œ) (пУГЙММСГЙЙ жТЙДЕМС.) œ УМХЮБЕ В) РПЛБЦЙФЕ, ЮФП РМПФОПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, ЛБЛ
ЖХОЛГЙС ТБУУФПСОЙС ДП УФЕОЛЙ, ПУГЙММЙТХЕФ. юЕНХ ТБŒЕО РЕТЙПД ПУГЙММСГЙК?
ъБДБЮБ 9. (œПЪŒТБФ ОБЪБД РТЙ УМХЮБКОПН ВМХЦДБОЙЙ.) жХОЛГЙЙ зТЙОБ ПЛБЪЩŒБАФУС РПМЕЪОЩНЙ Й РТЙ ЙЪХЮЕОЙЙ ŒПРТПУПŒ, ОЕ ЙНЕАЭЙИ ПФОПЫЕОЙС Л ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЕ. œ ЬФПК Й УМЕДХАЭЕК ЪБДБЮБИ НЩ РТЙŒЕДЕН ДŒБ ФБЛЙИ РТЙНЕТБ. рЕТŒЩК ЙЪ ОЙИ | ЪБДБЮБ П УМХЮБКОПН ВМХЦДБОЙЙ.
тБУУНПФТЙН ЮБУФЙГХ, УПŒЕТЫБАЭХА УМХЮБКОПЕ ВМХЦДБОЙЕ РП n-НЕТОПК ЛХВЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЕ. дŒЙЦЕОЙЕ ОБЮЙОБЕФУС РТЙ t = 0 ЙЪ ОБЮБМБ ЛППТДЙОБФ. рПРБŒ ОБ ПЮЕТЕДОПН ЫБЗЕ Œ ЛБЛПК-ФП ЙЪ ХЪМПŒ ТЕЫЕФЛЙ, ЮБУФЙГБ ОБ УМЕДХАЭЕН ЫБЗЕ У ПДЙОБЛПŒПК ŒЕТПСФОПУФША РЕТЕИПДЙФ Œ МАВПК ЙЪ 2n УПУЕДОЙИ ХЪМПŒ. рХУФШ p(t; x) | ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ЮЕТЕЪ t ЫБЗПŒ ПЛБЪБМБУШ Œ ХЪМЕ x = (x1; : : : ; xn) ТЕЫЕФЛЙ. (œ ЬФПК
2фБЛБС УЙФХБГЙС ŒПЪОЙЛБЕФ, ОБРТЙНЕТ, Œ ЬЛУРЕТЙНЕОФЕ РП СДЕТОПНХ НБЗОЙФОПНХ ТЕЪПОБОУХ (снт).