Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)
.pdf6.3. теыеойс |
121 |
ЖПОПО НЗОПŒЕООП ПФУФБЕФ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПЗМПЭЕОЙЕ Й ЙУРХУЛБОЙЕ ЖПОПОБ УФБОПŒСФУС МПЛБМШОЩНЙ РТПГЕУУБНЙ.
йОФЕЗТБМ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.29) ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ. пДОБЛП РПУЛПМШЛХ РПМХЮБАЭЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ ДПУФБФПЮОП ЗТПНПЪДЛП, ОБН ВХДЕФ ВПМЕЕ ХДПВОП ТБУУНПФТЕФШ РТЕДЕМШОЩЕ УМХЮБЙ " !D É " !D .
á. ðÒÉ " !D НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ МПЗБТЙЖН Œ (6.29), УЮЙФБС " ck:
Re ˚(") = −8ı2vF |
kD |
k dk = −8ı2vF " = −b " ; |
b = “ kD |
=4p0 |
: |
(6.30) |
|
||||||
2g2" |
|
g2kD2 |
2 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
â. ðÒÉ " !D , ОБРТПФЙŒ, ЙНЕЕН " ck, Й УОПŒБ ТБЪМБЗБЕН МПЗБТЙЖН Œ (6.29):
Re ˚(") = − |
g2c2 |
kD k3 dk |
= − |
g2c2kD4 |
b !D2 |
|
|
8ı2vF |
|
" |
32ı2vF " = − |
4" : |
(6.31) |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ьЛУФТБРПМЙТХС РПМХЮЕООЩЕ ŒЩТБЦЕОЙС Œ ПВМБУФШ " ≈ !D , НПЦОП УДЕМБФШ ŒЩŒПД, ЮФП Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ŒПЪТБУФБОЙЕ Re ˚(") УНЕОСЕФУС ХВЩŒБОЙЕН, Ф. Е. Re ˚(") ЙНЕЕФ ФБН ЬЛУФТЕНХН.
œЩРЙЫЕН ФЕРЕТШ РЕТЕОПТНЙТПŒБООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ. рТЙ " !D ПОБ ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:
G("; p) = |
1 |
; |
(6.32) |
(1 + b)" − ‰p + i‚(") |
ЗДЕ ‚(") ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (6.23). рТЙ ЙОФЕТЕУХАЭЙИ ОБУ " !D ЪБФХИБОЙЕ ‚(")
".
уТБŒОЙН РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.32) У ПРТЕДЕМЕОЙЕН (4.14) ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. œЙДЙН, ЮФП БНРМЙФХДБ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (6.32), ДБŒБЕНБС ŒЕМЙЮЙОПК ŒЩЮЕФБ Œ РПМАУЕ, ЕУФШ Z = 1=(1+b). ъБЛПО ЦЕ ДЙУРЕТУЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, УПЗМБУОП (6.32), ЙНЕЕФ ŒЙД
" = ‰p=(1 + b) : |
(6.33) |
пФУАДБ ОБИПДЙН РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ:
m = (1 + b)m : |
(6.34) |
œЙДОП, ЮФП ЬМЕЛФТПО ДЕКУФŒЙФЕМШОП ĂХФСЦЕМСЕФУСĄ (ЙВП ПО ŒЩОХЦДЕО ФБЭЙФШ ЪБ УПВПК ЖПОПООПЕ ĂПВМБЛПĄ). уМЕДПŒБФЕМШОП, РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК, РТПРПТГЙПОБМШОБС ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЕ, ХŒЕМЙЮЙŒБЕФУС. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП РТЙ ЬМЕЛФТПОЖПОПООПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ “ 1 ŒЕМЙЮЙОБ b, ПРТЕДЕМСАЭБС ŒЕМЙЮЙОХ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ, ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ.
рЕТЕОПТНЙТПŒЛБ РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК ŒВМЙЪЙ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ ЙНЕЕФ РТПУФПЕ ЛБЮЕУФŒЕООПЕ ПВ СУОЕОЙЕ. юЕН ŒЩЫЕ ЬОЕТЗЙС ЬМЕЛФТПОБ РП УТБŒОЕОЙА У ХТПŒОЕН жЕТНЙ, ФЕН ВПМЕЕ БЛФЙŒОП ЬФПФ ЬМЕЛФТПО ЙУРХУЛБЕФ ЖПОПОЩ (ЛБЛ ŒЙДОП ЙЪ ТЕЫЕОЙС РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЙ). œ ТЕЪХМШФБФЕ ЬОЕТЗЙС ЬМЕЛФТПОБ ХНЕОШЫБЕФУС, Й ПО ĂРТЙЦЙНБЕФУСĄ
122 |
змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ |
Л РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ. (ьФЙ ТБУУХЦДЕОЙС ОЕНОПЗП ОЕФПЮОЩ, РПУЛПМШЛХ РТЙ " !D ŒЛМБД Œ ˚(") ДБАФ, ЗМБŒОЩН ПВТБЪПН, ОЕ ТЕБМШОЩЕ, Б ŒЙТФХБМШОЩЕ РТПГЕУУЩ. рПЬФПНХ УМЕДПŒБМП ВЩ ЗПŒПТЙФШ ПВ ЙУРХУЛБОЙЙ Й РПЗМПЭЕОЙЙ ŒЙТФХБМШОЩИ ЖПОПОПŒ.)
тЕЫЕОЙЕ 30. ъБРЙЫЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РПРТБŒЛЙ Л ŒЕТЫЙООПК ЮБУФЙ ЬМЕЛФТПО{ ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ДЙБЗТБННЕ ОБ ТЙУ. 6.2:
`(1) = −g3 |
|
G("1; p1)G("1 |
+ !; p1 |
+ k)D(" − "1 |
; p − p1) (2ı)4 |
: |
(6.35) |
|
|
|
|
|
d3p1 d"1 |
|
|
нЩ ОЕ ВХДЕН ŒЩЮЙУМСФШ `(1) ФПЮОП, Б РПРЩФБЕНУС ЕЕ ПГЕОЙФШ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ. œОБЮБМЕ ТБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМ РП "1. рПМБЗБС ИБТБЛФЕТОХА РЕТЕДБЮХ ЙНРХМШУБ РПТСДЛБ kD ≈ p0, Й ХЮЙФЩŒБС, ЮФП D(" − "1) ЛŒБДТБФЙЮОП УРБДБЕФ РТЙ |" − "1| !D, РПМХЮБЕН, ЮФП ПУОПŒОПК ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ ДБЕФ ПВМБУФШ |" − "1| ≈ !D . пГЕОЙŒ ФБЛЙН ПВТБЪПН ЙОФЕЗТБМ РП "1, ОБИПДЙН
`(1) ≈ |
("1 |
|
‰p1 |
g3!D d3p |
‰p1+k + i0 sign ‰2) : |
(6.36) |
||
− |
+ i0 sign ‰1)("1 |
− |
!1 |
|||||
|
|
|
|
− |
|
|
||
фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМ РП ЙНРХМШУХ p1. иБТБЛФЕТОБС РЕТЕДБЮБ ЙНРХМШУБ | РПТСДЛБ kD ≈ p0. рПЬФПНХ НЩ НПЦЕН ПГЕОЙФШ ЪОБНЕОБФЕМЙ ЛБЛ "F , РТЙЮЕН d3p1 p30. уПВЙТБС ŒУЕ ŒНЕУФЕ, ЙНЕЕН
|
(1) |
|
3 |
p02 |
"F |
≈ g |
3 p02 |
|
|
` |
|
≈ g |
!D v |
"F2 |
v"F !D : |
(6.37) |
|||
пФОПУЙФЕМШОБС ŒЕМЙЮЙОБ ЬФПК РПРТБŒЛЙ |
|
|
|
|
|
||||
|
`(1) |
|
p02 |
|
|
m |
|
|
|
|
g |
|
≈ g2 vF "F !D ≈ |
“ M |
: |
(6.38) |
|||
ъДЕУШ ЙУРПМШЪПŒБОБ ЙЪŒЕУФОБС ПГЕОЛБ !D ="F ≈ m=M , ЗДЕ m Й M | НБУУБ ЬМЕЛФТПОБ
ÉЙПОБ УППФŒЕФУФŒЕООП. ьМЕЛФТПОЩ ОБНОПЗП МЕЗЮЕ ЙПОПŒ, РПЬФПНХ ТБУУНПФТЕООБС РПРТБŒЛБ Л ŒЕТЫЙООПК ЮБУФЙ РТЕОЕВТЕЦЙНП НБМБ.
рТЙŒЕДЕООПЕ ТБУУХЦДЕОЙЕ ОЕ СŒМСЕФУС ŒРПМОЕ УФТПЗЙН: ПОП ПЛБЪЩŒБЕФУС ПЫЙВПЮОЩН РТЙ ! ≈ kvF , ! !D . œ ЬФПН УМХЮБЕ РПМАУБ ЖХОЛГЙК зТЙОБ УВМЙЦБАФУС,
ÉЙОФЕЗТБМ ОБДП БОБМЙЪЙТПŒБФШ ВПМЕЕ БЛЛХТБФОП. пДОБЛП Œ ВПМШЫЙОУФŒЕ ЪБДБЮ ЬФБ
ПВМБУФШ ОЕ ŒБЦОБ, РПУЛПМШЛХ УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ c НОПЗП НЕОШЫЕ vF .
юФПВЩ РТПСУОЙФШ ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ РПМХЮЕООПЗП ОЕТБŒЕОУФŒБ `(1) g, ŒЩЮЙУМЙН ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ Œ УНЕЫБООПН ĂЙНРХМШУОП-ŒТЕНЕООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙĄ. ьФП РПЪŒПМЙФ ОБН МХЮЫЕ РТПУМЕДЙФШ ЪБ ТПМША ТБЪМЙЮОЩИ ИБТБЛФЕТОЩИ ŒТЕНЕО. оБН РПФТЕВХАФУС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОБ Й ЬМЕЛФТПОБ. уОБЮБМБ ОБКДЕН
D(k; t) = |
D(!; k)e−i!t |
2ı |
= |
−2 |
e−ick|t| : |
(6.39) |
|
|
d! |
|
ick |
|
|
6.3. теыеойс
бОБМПЗЙЮОП НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ Й ЬМЕЛФТПООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ:
G(p; t) = −ie−i‰pt |
„( p‰p) |
ÐÒÉ t < 0 : |
: |
|
„(‰ ) |
ÐÒÉ t > 0 ; |
|
−
123
(6.40)
пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП D(k; t) | ВПМЕЕ НЕДМЕООП НЕОСАЭБСУС ЖХОЛГЙС ŒТЕНЕОЙ, ЮЕН G(p; t) (РТЙ ЙНРХМШУЕ p, ОЕ УМЙЫЛПН ВМЙЪЛПН Л ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ).
оБ ДЙБЗТБННЕ, ДБАЭЕК РПРТБŒЛХ Л ŒЕТЫЙОЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС `(1), ТБУУФБŒЙН ЙНРХМШУЩ Й ŒТЕНЕОБ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 6.4.
|
|
p1 |
t |
|
|
|
p1 + k |
|
|
|
|
t1 |
t2 |
|
|
|
p − p1 |
|
|
òÉÓ. 6.4 |
|
|
|
|
рПМХЮБЕН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ: |
+ k; t2 − t) D(p − p1; t1 |
− t2) (2ı)3 : (6.41) |
||
`(1) = −g3 |
|
e−i!t G(p1; t − t1) G(p1 |
||
|
|
|
|
d3p1dt |
ðÒÉ p1 ≈ p0 ЬМЕЛФТПООЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НЕОСАФУС ЪБ ŒТЕНЕОБ РПТСДЛБ "−F 1. рП ЬФПК РТЙЮЙОЕ |t1 − t| ≈ |t2 − t| ≈ |t1 − t2| ≈ "−F 1. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЖПОПООЩК РТПРБЗБФПТ ВЕТЕФУС РТЙ t1 ≈ t2. рПЬФПНХ ПО ПЛБЪЩŒБЕФУС РТПРПТГЙПОБМЕО c|p − p1| ≈ !D , Й, ФБЛЙН ПВТБЪПН, ŒПЪОЙЛБЕФ НБМЩК РБТБНЕФТ !D ="F .
йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ЬМЕЛФТПОЩ ВЩУФТП (ЪБ ŒТЕНС РПТСДЛБ "−F 1) РПЗМПЭБАФ ЖПОПО, РПДУФТБЙŒБСУШ РПД ДЕЖПТНБГЙА ТЕЫЕФЛЙ. рТЙ ЬФПН ПОЙ ОЕ ХУРЕŒБАФ ЪБ УЮЕФ УŒПЕЗП ДŒЙЦЕОЙС УОПŒБ ĂТБУЛБЮБФШĄ ТЕЫЕФЛХ | ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС ŒТЕНС РПТСДЛБ !D−1. ьФП ЕУФШ РТПСŒМЕОЙЕ БДЙБВБФЙЮОПУФЙ ДŒЙЦЕОЙС ЙПОПŒ. œ УЙМХ УŒПЕК ВПМШЫПК НБУУЩ ЙПОЩ ДŒЙЦХФУС НЕДМЕООП Й ЬМЕЛФТПОЩ ŒУЕЗДБ ХУРЕŒБАФ РПДУФТПЙФШУС РПД ЙИ МПЛБМШОХА ЛПОЖЙЗХТБГЙА.
хФŒЕТЦДЕОЙЕ П НБМПУФЙ ŒЕТЫЙООЩИ РПРТБŒПЛ (ФЕПТЕНБ нЙЗДБМБ) ГЕООП ФЕН, ЮФП РПЪŒПМСЕФ ПУФБŒЙФШ Œ ДЙБЗТБННОПН ТСДЕ ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩЕ ŒЛМБДЩ Й РТПУХННЙТПŒБФШ ЙИ, ОЕ РТЕДРПМБЗБС НБМПУФЙ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. пДОБЛП ОЕ УМЕДХЕФ ДХНБФШ, ЮФП ŒУЕ ЖПОПООЩЕ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ НБМЩ Й РПФПНХ ОЕУХЭЕУФŒЕООЩ. йОПЗДБ ПОЙ РТЙŒПДСФ Л ŒБЦОЩН ЬЖЖЕЛФБН, ПДЙО ЙЪ ЛПФПТЩИ | УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ.
тЕЫЕОЙЕ 31. ъБРЙЫЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ ЖПОПОПŒ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ДЙБЗТБННЕ ОБ ТЙУ. 6.3:
˝ = −(2ı)4 |
|
(" − ‰p + i0 sign ‰p)(" + ! − ‰p+k + i0 sign ‰p+k) |
(6.42) |
2ig2 |
|
d" d3p |
|
(НОПЦЙФЕМШ 2 ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ УХННЙТПŒБОЙС РП УРЙОХ). ъБНЕФЙН, ЮФП ЙНЕООП ФБЛПЕ
124 змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ
ŒЩТБЦЕОЙЕ ВЩМП ТБУУНПФТЕОП Œ ЪБДБЮЕ 24 Б. рПЬФПНХ НЩ НПЦЕН РТПУФП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ПФŒЕФПН (5.39), УРТБŒЕДМЙŒЩН РТЙ k p0, ! "F :
˝(!; k) = |
2g2 |
1 |
! |
ln |
$ |
! − kvF |
$ |
+ |
ıi ! |
„ |
1 |
! |
| |
: |
(6.43) |
|
− |
0 |
|
− 2kv |
|
! + kv |
|
2kv| |
| |
|
− kv| |
|
|
||||
|
|
|
F |
|
$ |
|
F |
$ |
|
F |
|
F |
|
|
||
|
|
|
|
|
$ |
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б) жХОЛГЙС зТЙОБ ЖПОПОПŒ ПРТЕДЕМСЕФУС$ |
ЙЪ ХТБŒОЕОЙС$ |
дБКУПОБ: |
|
|
||||||||||||
|
D−1(!; k) = D0−1(!; k) − ˝(!; k) ; |
|
|
|
|
(6.44) |
||||||||||
Б УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ | ЙЪ ХТБŒОЕОЙС D−1(!; k) = 0. рПУЛПМШЛХ УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ НОПЗП НЕОШЫЕ УЛПТПУФЙ жЕТНЙ, ФП ОБУ ЙФЕТЕУХЕФ ! kvF . œ ФБЛПН РТЕДЕМЕ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ЕУФШ РТПУФП
˝(!; k) ≈ −2g2 0 = −2“ : |
(6.45) |
рПЬФПНХ ЖХОЛГЙС зТЙОБ БЛХУФЙЮЕУЛЙИ ЖПОПОПŒ ЕУФШ
D−1(!; k) = D−1 |
(!; k) |
− |
˝(!; k) |
≈ |
!2 |
− c02k2 |
+ 2“ ; |
(6.46) |
0 |
|
|
|
c02k2 |
|
|
ÇÄÅ c0 | ЪБФТБŒПЮОБС УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ. рПМХЮБЕН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ ! = ck, ЗДЕ
c2 = c02(1 − 2“ ) : |
(6.47) |
хНЕОШЫЕОЙЕ ЮБУФПФЩ ЖПОПОБ ŒУМЕДУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПОБНЙ НПЦОП ПВ - СУОЙФШ ФЕН, ЮФП ЬМЕЛФТПОЩ, ВЩУФТП РПДУФТБЙŒБСУШ РПД ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ, УЛБРМЙŒБАФУС Œ ЕЗП НЙОЙНХНБИ Й ФЕН УБНЩН РПОЙЦБАФ ЬОЕТЗЙА УЙУФЕНЩ.
В) юФПВЩ ОБКФЙ ЪБФХИБОЙЕ ЖПОПОПŒ, ТБУУНПФТЙН НОЙНХА ЮБУФШ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ:
Im ˝(!; k) = −ı“ |!|=(kvF ) : |
(6.48) |
||||
рПДУФБŒМСС Œ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ (6.44) ! = ck + i‚, РПМХЮБЕН |
|
||||
ı |
c2 |
k = |
ı |
c |
(6.49) |
‚ = |
“ |
“ |
! : |
||
2 |
vF |
|
2 |
vF |
|
иПФС ЪБФХИБОЙЕ Й ПЛБЪЩŒБЕФУС РТПРПТГЙПОБМШОЩН ЮБУФПФЕ, ПОП ŒУЕ ЦЕ НБМП РП УТБŒ-
ОЕОЙА У ! РП РБТБНЕФТХ c=vF ≈ m=M .
уТБŒОЙН ОБКДЕООЩК ТЕЪХМШФБФ (6.49) У ЪБФХИБОЙЕН ЪŒХЛБ Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК ЗЙДТПДЙОБНЙЛЕ. œ ПВЩЮОЩИ ЦЙДЛПУФСИ Й ЗБЪБИ ЪБФХИБОЙЕ ЪŒХЛБ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ
ÒÁŒÎÏ |
|
‚ ≈ ”!2=jc3 ; |
(6.50) |
ЗДЕ ”, j | ŒСЪЛПУФШ Й РМПФОПУФШ УТЕДЩ. рПЬФПНХ НПЦОП УЛБЪБФШ, ЮФП ĂЬЖЖЕЛФЙŒОБС ŒСЪЛПУФШĄ ЬМЕЛФТПООПЗП ЗБЪБ ТБУФЕФ У ХНЕОШЫЕОЙЕН ЮБУФПФЩ:
”ÜÌ(!) !−1 : |
(6.51) |
6.3. теыеойс |
125 |
жЙЪЙЮЕУЛЙ, ВПМШЫБС ЬЖЖЕЛФЙŒОБС ŒСЪЛПУФШ ЬМЕЛФТПООПЗП ЗБЪБ УŒСЪБОБ У ŒЩУПЛПК РМПФОПУФША ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК У ЬОЕТЗЙЕК ! < c|k|. йНЕООП ФБЛЙЕ РБТЩ ŒПЪВХЦДБАФУС ЪŒХЛПŒПК ŒПМОПК.
тЕЫЕОЙЕ 32. œ ТБЪНЕТОПУФЙ D = 1 РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ, УППФŒЕФУФŒХА-
ÝÉÊ ÒÉÓ. 6.3, ÒÁŒÅÎ |
|
|
|
|
G(p; ") G(p + k; " + !) (2ı)2 |
|
|
˝(!; k) = −2ig2 |
(6.52) |
||||||
|
|
|
|
|
|
dp d" |
|
(НОПЦЙФЕМШ 2 ХЮЙФЩŒБЕФ УРЙО). œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП ", РПМХЮБЕН |
|
||||||
g2 |
∞ |
(n(‰p) n(‰p+k)) dp |
; –p;k = sign ‰p+k − sign ‰p : |
|
|||
˝(!; k) = − ı |
|
! |
− |
‰p+k−+ ‰p + i0 –p;k |
(6.53) |
||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
йОФЕЗТБМ (6.53) ДБЕФУС УХННПК ŒЛМБДПŒ ДŒХИ ПВМБУФЕК, Œ ЛПФПТЩИ ТБЪОПУФШ n(‰p) − n(‰p+k ) ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС:
á: ‰p > 0 , ‰p+k < 0; â: ‰p < 0, ‰p+k > 0. тБУУНПФТЙН k > 0. œ ЬФПН УМХЮБЕ ПВМБУФЙ б Й в ЕУФШ
á: −p0 − k < p < −p0, â: p0 − k < p0 < p0.
рПЬФПНХ НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ (6.53) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
g2 |
−p0 |
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
g2 |
p0 |
|
|
|
dp |
|
|
|||
˝(!; k) = − |
ı |
|
! |
− |
k2=2m |
− |
pk=m |
− |
i0 |
+ |
ı |
|
! |
− |
k2=2m |
− |
pk=m + i0 |
: |
|||
|
|
−p0−k |
|
|
|
|
|
|
p0−k |
|
|
|
(6.54) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
йОФЕЗТБМ РП p МЕЗЛП ŒЩЮЙУМСЕФУС Й ТБŒЕО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
kp |
|
|
|
|
k2 |
|
kp |
|
|
|
|||
˝(!; k) = mg2 |
ln X ; |
ÇÄÅ |
X = |
2m − |
|
m0 − ! + i0 |
2m − |
m0 + ! + i0 : (6.55) |
|||||||||||||
ık |
|
|
|
|
|
|
k2 |
kp |
|
! − i0 |
k2 |
|
|
kp |
|
− i0 |
|
||||
|
|
|
|
|
2m + |
|
m0 + |
2m + |
m0 − ! |
|
|||||||||||
тБУУНПФТЙН РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ (6.55) РТЙ k = 2p0 + x, ! = 0: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
˝(! = 0; k = 2p0 + x) = − |
mg2 |
ln |
p0 |
: |
|
|
|
(6.56) |
||||||||||
|
|
|
ıp0 |
|x| |
|
|
|
||||||||||||||
ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФУС РТЙ k = 2p0.
оБКДЕООБС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ПУПВЕООПУФШ ˝(!; k) РТПСŒМСЕФУС Œ УРЕЛФТЕ ЖПОПОПŒ.
ъБРЙЫЕН ДЙУРЕТУЙПООПЕ ХТБŒОЕОЙЕ |
|
D−1(!; k) = D0−1(!; k) − ˝(!; k) : |
(6.57) |
оБУ ЙОФЕТЕУХАФ ЪОБЮЕОЙС k ŒВМЙЪЙ k = 2p0 Й НБМЩЕ !. œ ЬФПК ПВМБУФЙ ДЙУРЕТУЙПООПЕ ХТБŒОЕОЙЕ РТЙОЙНБЕФ ФБЛПК ŒЙД
!2 − !22p0 + mg2 |
ln |
p0 |
= 0 ; |
(6.58) |
|
!22p0 |
ıp0 |
|
|k − 2p0| |
|
|
126 змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ
уФТПЗП ЗПŒПТС, УМЕДПŒБМП ВЩ ЙУРПМШЪПŒБФШ ˝(!; k = 2p0) РТЙ ! = 0. ьФП, ПДОБЛП, ОЕ НЕОСЕФ ЛБЮЕУФŒЕООЩИ ŒЩŒПДПŒ. рПМХЮБЕН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ
!2 = !22p0 |
1 − |
mg2 |
ln |
p0 |
: |
(6.59) |
ıp0 |
|k − 2p0| |
рТЙ k ДПУФБФПЮОП ВМЙЪЛПН Л 2p0 ŒФПТПК ЮМЕО Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (6.59) РТЕŒПУИПДЙФ РЕТŒЩК, Й РПФПНХ ЮБУФПФБ ЖПОПОПŒ УФБОПŒЙФУС НОЙНПК. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП Œ УЙУФЕНЕ ŒПЪОЙЛБЕФ ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ ŒВМЙЪЙ ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ k = 2p0 | ЛТЙУФБММЙЮЕУЛБС ТЕЫЕФЛБ УФТЕНЙФУС ДЕЖПТНЙТПŒБФШУС. оБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД ЬФП ЛБЦЕФУС ОЕУЛПМШЛП УФТБООЩН | ŒЕДШ ДЕЖПТНБГЙС ТЕЫЕФЛЙ ФТЕВХЕФ ЬОЕТЗЙЙ. пДОБЛП, ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПОБНЙ ДЕЖПТНБГЙС УФБОПŒЙФУС ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛЙ ŒЩЗПДОПК. оЕХУФПКЮЙŒПУФШ ПДОПНЕТОПЗП НЕФБММБ РП ПФОПЫЕОЙА Л ПВТБЪПŒБОЙА НПДХМСГЙЙ РМПФОПУФЙ У РЕТЙПДПН ı=p0 РТЙŒПДЙФ Л ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПНХ РЕТЕИПДХ рБКЕТМУБ. тБŒОПŒЕУОБС БНРМЙФХДБ ŒПЪОЙЛБАЭЕК НПДХМСГЙЙ ПРТЕДЕМСЕФУС ВБМБОУПН ЬМЕЛФТПООПК Й ХРТХЗПК ЬОЕТЗЙЙ (УН. ТБЪД. 6.4).
юФПВЩ ТБЪПВТБФШУС Œ РТПЙУИПЦДЕОЙЙ РБКЕТМУПŒУЛПК ДЕЖПТНБГЙЙ Й ŒЩСУОЙФШ, ЮЕН ŒЩДЕМЕО ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ 2p0, РТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЛБЛЙН-ФП ПВТБЪПН ŒПЪОЙЛМБ УРПОФБООБС НПДХМСГЙС ТЕЫЕФЛЙ У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН Q. юФП РТПЙУИПДЙФ РТЙ ЬФПН У ЬМЕЛФТПОБНЙ? оБ ОЙИ ДЕКУФŒХЕФ ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ, РЕТЙПД ЛПФПТПЗП ЕУФШ 2ı=Q. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, Œ РЕТЙПДЙЮЕУЛПН РПФЕОГЙБМЕ ЬМЕЛФТПООЩК УРЕЛФТ РТЙПВТЕФБЕФ ЪПООХА УФТХЛФХТХ, Й Œ ОЕН ПФЛТЩŒБАФУС ЭЕМЙ. йИ РПСŒМЕОЙЕ УŒСЪБОП У ŒЩТПЦДЕОЙЕН ЬМЕЛФТПООПЗП УРЕЛФТБ: УПУФПСОЙС У ЙНРХМШУБНЙ p Й −p Œ ПФУХФУФŒЙЕ РПФЕОГЙБМБ ЙНЕАФ ПДЙОБЛПŒХА ЬОЕТЗЙА. еУМЙ ŒОЕЫОЙК РПФЕОГЙБМ ЙИ РЕТЕНЕЫЙŒБЕФ, ФП ЬФП ŒЩТПЦДЕОЙЕ УОЙНБЕФУС, Й ХТПŒОЙ ТБУЭЕРМСАФУС. рПФЕОГЙБМ У РЕТЙПДПН 2ı=Q Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК УНЕЫЙŒБЕФ УПУФПСОЙЕ У ЙНРХМШУПН p У УПУФПСОЙСНЙ У ЙНРХМШУБНЙ p ±Q. œЩТПЦДЕОЙЕ РТПЙУИПДЙФ РТЙ p = ±Q=2. йНЕООП РТЙ ЬФЙИ ЪОБЮЕОЙСИ p Œ УРЕЛФТЕ Й ПФЛТЩŒБЕФУС УБНБС ВПМШЫБС ЭЕМШ (ТЙУ. 6.5).
6.3. теыеойс |
127 |
òÉÓ. 6.5
рТЙ ПВТБЪПŒБОЙЙ ЭЕМЙ УПУФПСОЙС ОБД ОЕК ŒЩФБМЛЙŒБАФУС ŒŒЕТИ РП ЫЛБМЕ ЬОЕТЗЙК, Б РПД ОЕК | ŒОЙЪ. лБЛ РТЙ ЬФПН ЙЪНЕОСЕФУС РПМОБС ЬОЕТЗЙС ЬМЕЛФТПОПŒ, ЪБŒЙУЙФ ПФ РПМПЦЕОЙС ХТПŒОС жЕТНЙ "F РП ПФОПЫЕОЙА Л ЭЕМЙ. еУМЙ "F МЕЦЙФ УХЭЕУФŒЕООП ОЙЦЕ, ЮЕН ЭЕМШ, ФП ЬОЕТЗЙЙ УПУФПСОЙК РПД ОЙН РПЮФЙ ОЙЛБЛ ОЕ ЙЪНЕОСАФУС. б ЕУМЙ "F МЕЦЙФ ŒЩЫЕ, ЮЕН ЭЕМШ, ФП, ИПФС ЬОЕТЗЙЙ ОЕЛПФПТЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ ЙЪНЕОСФУС УЙМШОП, ОП, РПУЛПМШЛХ УПУФПСОЙС ŒЩФБМЛЙŒБАФУС ЙЪ ЭЕМЙ ŒŒЕТИ Й ŒОЙЪ УЙННЕФТЙЮОП, УХННБТОБС ЬОЕТЗЙС НЕОСЕФУС ОЕЪОБЮЙФЕМШОП. пДОБЛП УЙФХБГЙС УФБОЕФ УПŒЕТЫЕООП ЙОПК, ЕУМЙ ХТПŒЕОШ жЕТНЙ ОБИПДЙФУС Œ ФПЮОПУФЙ ФБН, ЗДЕ ПФЛТЩŒБЕФУС ЭЕМШ. фПЗДБ ŒУЕ ЪБОСФЩЕ УПУФПСОЙС ŒЩФБМЛЙŒБАФУС ЙЪ ЭЕМЙ ŒОЙЪ, Й ЬОЕТЗЙС ЬМЕЛФТПООПЗП ЗБЪБ РПОЙЦБЕФУС. ьФП РТПЙУИПДЙФ, ЕУМЙ ŒЩРПМОЕОП ХУМПŒЙЕ p0 = Q=2.
фБЛЙН ПВТБЪПН, НПДХМСГЙС ТЕЫЕФЛЙ У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН Q = 2p0 НПЦЕФ РТЙŒЕУФЙ Л УХЭЕУФŒЕООПНХ РПОЙЦЕОЙА ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ. оБЫЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ, РТЕДУЛБЪЩŒБАЭЕЕ ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ, ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ŒЩЙЗТЩЫ Œ ЬОЕТЗЙЙ ТЕЫЕФЛЙ ЪБ УЮЕФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПОБНЙ РТЕŒПУИПДЙФ ЬОЕТЗЙА ХРТХЗПК ДЕЖПТНБГЙЙ, ЮФП Й РТЙŒПДЙФ Л ОЕХУФПКЮЙŒПУФЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ ПВТБЪХЕФУС УПУФПСОЙЕ, Œ ЛПФПТПН УНЕЭЕОЙЕ ТЕЫЕФЛЙ
Й РМПФОПУФШ ЬМЕЛФТПОПŒ НПДХМЙТПŒБОЩ У РЕТЙПДПН ı=p0. фБЛПЕ УПУФПСОЙЕ ОБЪЩŒБЕФУС
ŒПМОПК ЪБТСДПŒПК РМПФОПУФЙ.
рБКЕТМУПŒУЛХА ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ НПЦОП ФБЛЦЕ ОБЪŒБФШ ĂЛППРЕТБФЙŒОЩН ЬЖЖЕЛФПН сОБ{фЕММЕТБĄ. оБРПНОЙН, ЮФП ЬЖЖЕЛФ сОБ{фЕММЕТБ Œ НПМЕЛХМБИ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП УЙННЕФТЙЮОЩЕ ЛПОЖЙЗХТБГЙЙ НПМЕЛХМ ПЛБЪЩŒБАФУС ОЕХУФПКЮЙŒЩНЙ. дЕЖПТНБГЙС НПМЕЛХМЩ, ТБЪТХЫБАЭБС УЙННЕФТЙА, УОЙНБЕФ ŒЩТПЦДЕОЙЕ ЬМЕЛФТПООЩИ ХТПŒОЕК, Й ЕУМЙ РТЙ ЬФПН ŒЩТПЦДЕООЩК ХТПŒЕОШ ВЩМ ОЕ РПМОПУФША ЪБРПМОЕО, ФП ЬФП РТЙŒПДЙФ Л РПОЙЦЕОЙА ЬОЕТЗЙЙ НПМЕЛХМЩ. œ ЬЖЖЕЛФЕ рБКЕТМУБ ФТБОУМСГЙПООП{ЙОŒБТЙБОФОБС ЛПОЖЙЗХТБГЙС ТЕЫЕФЛЙ ОЕХУФПКЮЙŒБ РП БОБМПЗЙЮОЩН РТЙЮЙОБН.
тЕЫЕОЙЕ 33 Б. тБУУНПФТЙН УМХЮБК ПДОПЗП ЙЪНЕТЕОЙС, D = 1. нЩ РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП УЙУФЕНБ РПЛПЙФУС, Ф. Е. u = 0. нЙОЙНЙЪЙТХС Œ ЬФПН УМХЮБЕ ЬОЕТЗЙА (6.13) РП ПФОП-
ЫЕОЙА Л ДЕЖПТНБГЙЙ w(x), ОБИПДЙН УŒСЪШ w(x) У РМПФОПУФША: w(x) = −(–=K) | (x)|2. рПДУФБŒЙŒ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ, ДЕКУФŒХАЭЙК ОБ ЬМЕЛФТПО, РТЙИПДЙН Л ОЕМЙОЕКОПНХ ХТБŒОЕОЙА ыТЕДЙОЗЕТБ:
1 |
–2 |
|2 = E : |
(6.60) |
|
−2 |
− K | |
|||
йЭЕН УПМЙФПООПЕ ТЕЫЕОЙЕ Œ ŒЙДЕ |
|
|
|
|
|
(x) = |
A |
: |
(6.61) |
|
ch Bx |
|||
оБИПДЙН B2 = –2A2=K; E = −B2=2. оЕДПУФБАЭХА УŒСЪШ A Й B РПМХЮБЕН ЙЪ ХУМПŒЙС ОПТНЙТПŒЛЙ:
∞ |
|
A2 |
|
|
|
2 |
(x)dx = 2B |
= 1 : |
(6.62) |
−∞
128 |
|
|
|
змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ |
||||
ьФП ДБЕФ ЬОЕТЗЙА УŒСЪЙ E0 = −(–2=K)2=8 Й ТБЪНЕТ МПЛБМЙЪПŒБООПЗП УПУФПСОЙС |
||||||||
B−1 = 2K=–2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
оБКДЕН ЬОЕТЗЙА ДЕЖПТНБГЙЙ |
|
|
|
|
4(x)dx = 12K2 : |
|
||
EÕÐÒ = 2 |
w2 |
(x)dx = |
2K |
(6.63) |
||||
K |
|
|
|
–2 |
|
|
g4 |
|
рПМОБС ЬОЕТЗЙС ПФТЙГБФЕМШОБ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
EÐÏÌÎ = E0 + EÕÐÒ = |
1 |
1 |
|
–4 |
–4 |
|
||
12 |
− 8 |
K2 |
= −24K2 < 0 |
(6.64) |
||||
Й РПЬФПНХ ПВТБЪПŒБОЙЕ МПЛБМЙЪПŒБООПЗП УПУФПСОЙС ŒЩЗПДОП РТЙ УЛПМШ ХЗПДОП НБМПН
–.
рТЙ D > 1 ŒУЕ ОЕУЛПМШЛП УМПЦОЕЕ. тЕЫЙФШ ЪБДБЮХ ФПЮОП ХЦЕ ОЕМШЪС, ОП ЛБЮЕУФŒЕООПЕ РПŒЕДЕОЙЕ НПЦОП РПМХЮЙФШ ЙЪ ĂУППВТБЦЕОЙК ТБЪНЕТОПУФЙĄ. тБУУНПФТЙН МПЛБМЙЪПŒБООПЕ УПУФПСОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ, УПУТЕДПФПЮЕООПЕ Œ ПВМБУФЙ РПТСДЛБ a:
(r) ≈ a−D=2f (r=a) ; |
(6.65) |
ЗДЕ f (r) | ЖХОЛГЙС ФЙРБ ЛПМПЛПМБ ТБЪНЕТБ РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ. ьФХ ЖХОЛГЙА НПЦОП РПМХЮЙФШ ŒБТЙБГЙПООЩН ЙМЙ ЛБЛЙН-МЙВП ЕЭЕ ЮЙУМЕООЩН НЕФПДПН. фПЮОЩК ŒЙД f (r) ОБН ОЕ РПФТЕВХЕФУС, ОП НПЦОП ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ, ОБРТЙНЕТ, ЖХОЛГЙА ŒЙДБ f (r) = e−r2 . оБКДЕН ЪБŒЙУЙНПУФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК Й ХРТХЗПК ЬОЕТЗЙЙ ПФ a:
c1 |
|
c2–2 |
|
EËÉÎ = a2 |
; |
EÕÐÒ = −KaD ; |
(6.66) |
ÇÄÅ c1;2 | РПМПЦЙФЕМШОЩЕ ЛПОУФБОФЩ РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ. дМС ПФŒЕФБ ОБ ŒПРТПУ П МПЛБМЙЪБГЙЙ УМЕДХЕФ ОБКФЙ a, НЙОЙНЙЪЙТХАЭЕЕ ЬОЕТЗЙА
EÐÏÌÎ = |
c1 |
− |
c2–2 |
|
a2 |
KaD ; |
(6.67) |
ЙНЕС Œ ŒЙДХ, ЮФП ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РТЙНЕОЙНП ФПМШЛП РТЙ a, ВПМШЫЕН РПУФПСООПК ТЕЫЕФЛЙ a0. œЙДЙН, ЮФП ЙНЕЕФУС ЛТЙФЙЮЕУЛПЕ ЪОБЮЕОЙЕ –c ≈ KaD0 −2, ФБЛПЕ, ЮФП РТЙ
– < –c МПЛБМЙЪПŒБООПЕ УПУФПСОЙЕ ОЕŒЩЗПДОП, Б РТЙ – > –c ПОП ПВТБЪХЕФУС, РТЙЮЕН УТБЪХ УЦЙНБЕФУС ДП ТБЪНЕТБ РПТСДЛБ РПУФПСООПК ТЕЫЕФЛЙ.
тЕЫЕОЙЕ 33 В. юФПВЩ ПРТЕДЕМЙФШ ЬЖЖЕЛФЙŒОХА НБУУХ РПМСТПОБ, ОБКДЕН ЬОЕТЗЙА РПМСТПОБ, ДŒЙЦХЭЕЗПУС У РПУФПСООПК УЛПТПУФША v. дŒЙЦЕОЙЕ РПМСТПОБ ХДПВОП ТБУУНПФТЕФШ Œ УПРХФУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ ПФУЮЕФБ. дМС ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ ЬМЕЛФТПОБ
РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ зБМЙМЕС ДБЕФ |
(r ; t) exp h— mvr + m2v |
t |
|
|
(r; t) = |
; |
(6.68) |
||
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
ÇÄÅ r = r − vt | ЛППТДЙОБФБ Œ ДŒЙЦХЭЕКУС УЙУФЕНЕ ПФУЮЕФБ (УН. ЪБДБЮХ Л § 17 [2]). рПУЛПМШЛХ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ НЕОСЕФ ФПМШЛП ЖБЪХ (r; t), ОП ОЕ | |, ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У
6.3. теыеойс |
129 |
ТЕЫЕФЛПК –w(r)| (r)|2 Œ УПРХФУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ ПФУЮЕФБ УПИТБОСЕФ УŒПК ŒЙД, Б ЙЪ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОБ ŒЩЮЙФБЕФУС mv2=2.
œМЙСОЙЕ ДŒЙЦЕОЙС ОБ ЬОЕТЗЙА ТЕЫЕФЛЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩН. рПУЛПМШЛХ РТЙ РЕТЕИПДЕ Œ ДŒЙЦХЭХАУС УЙУФЕНХ ПФУЮЕФБ ŒТЕНЕООБС РТПЙЪŒПДОБС ПЛБЪЩŒБЕФУС УŒСЪБООПК У РТПУФТБОУФŒЕООПК РТПЙЪŒПДОПК (@t = @t + v r ), УЛПТПУФШ УНЕЭЕОЙС УТЕДЩ Œ УПРХФУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ ПФУЮЕФБ ЕУФШ u = (v )u. уМЕДПŒБФЕМШОП,
РМПФОПУФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ ТБŒОБ j((v )u)2=2. хРТХЗБС ЦЕ ЬОЕТЗЙС ЪБŒЙУЙФ ПФ ДЕЖПТНБГЙЙ w = u, Й РПЬФПНХ ОЕ НЕОСЕФУС РТЙ ДŒЙЦЕОЙЙ. жЙЪЙЮЕУЛБС РТЙЮЙОБ ПФМЙЮЙС ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ ПФ ОХМС Œ ФПН, ЮФП МПЛБМЙЪПŒБООБС ДЕЖПТНБГЙС, ДŒЙЦХЭБСУС У РПУФПСООПК УЛПТПУФША, ТБУЛБЮЙŒБЕФ БФПНЩ ТЕЫЕФЛЙ.
œ ТБЪНЕТОПУФЙ ПДЙО РПМХЮБЕФУС РМПФОПУФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ jv2w2=2, УПŒРБДБАЭБС РП ЖПТНЕ У РМПФОПУФША ХРТХЗПК ЬОЕТЗЙЙ Kw2=2. рПЬФПНХ Œ ДБООПН УМХЮБЕ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС ВХДЕФ ЙНЕФШ ŒЙД (6.60) У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ: E −→ E − mv2=2 É K −→ K + jv2. йУРПМШЪХС ТЕЪХМШФБФ (6.64) ДМС ЬОЕТЗЙЙ УŒСЪЙ ОЕРПДŒЙЦОПЗП РПМСТПОБ, РПМХЮБЕН ЙЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ ŒУМЕДУФŒЙЕ ДŒЙЦЕОЙС:
´E(v) = |
mv2 |
|
–4 |
–4 |
|
2 |
+ |
24K2 − |
24(K + jv2)2 : |
(6.69) |
тБУЛМБДЩŒБС ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.69) РТЙ НБМПН v, РПМХЮБЕН НБУУХ РПМСТПОБ
m |
|
= m + –4j=(6K3) : |
(6.70) |
|
|
|
лБЛ ŒЙДОП ЙЪ ЪБŒЙУЙНПУФЙ (6.69), РТЙВМЙЦЕОЙЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ (6.70) РТЙНЕОЙНП РТЙ УЛПТПУФЙ ДŒЙЦЕОЙС РПМСТПОБ НОПЗП НЕОШЫЕК УЛПТПУФЙ ЪŒХЛБ, v c.
œ ТБЪНЕТОПУФЙ D > 1, ЛБЛ ХЦЕ ПФНЕЮБМПУШ, ЪБДБЮБ ПВ ПФЩУЛБОЙЙ НЙОЙНХНБ ЬОЕТЗЙЙ (6.13) Й ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ БŒФПМПЛБМЙЪПŒБООПЗП УПУФПСОЙС НПЦЕФ ВЩФШ ТЕЫЕОБ ФПМШЛП ЮЙУМЕООП. йЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ РПМСТПОБ Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЕЗП ДŒЙЦЕОЙС ТБУУНБФТЙŒБЕФУС РТЙ D > 1 БОБМПЗЙЮОП ПДОПНЕТОПНХ УМХЮБА. дМС НБУУЩ РПМСТПОБ РТЙ ЬФПН РПМХЮБЕФУС ЖПТНХМБ ŒЙДБ (6.70), Œ ЛПФПТПК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ 1=6 ЪБНЕОСЕФУС ОБ ДТХЗПЕ ЮЙУМП, ЪБŒЙУСЭЕЕ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ D Й ДЕФБМЕК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБ НБМЩИ ТБУУФПСОЙСИ.
пФНЕФЙН, ЮФП НБУУБ РПМСТПОБ (6.70) НПЦЕФ ОБНОПЗП РТЕŒПУИПДЙФШ НБУУХ ЬМЕЛФТПОБ. оБРТЙНЕТ Œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОЕ ЙНЕЕФ ОЙЛБЛПК УРЕГЙЖЙЮЕУЛПК НБМПУФЙ, Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ – 1, K 1, Б j ≈ M=m, ЗДЕ M | ИБТБЛФЕТОБС НБУУБ ЙПОБ ТЕЫЕФЛЙ. рТЙ ЬФПН m ≈ M . тБЪХНЕЕФУС Œ ТЕБМШОЩИ РПМХРТПŒПДОЙЛБИ НБУУБ РПМСТПОБ ПВЩЮОП ОЕ ДПУФЙЗБЕФ НБУУЩ ЙПОБ, РПУЛПМШЛХ ЛПОУФБОФБ УŒСЪЙ –, ЛБЛ РТБŒЙМП, ОЕ РТЕŒПУИПДЙФ 1=10, Б РПРТБŒЛБ Л НБУУЕ Œ (6.70) РТПРПТГЙПОБМШОБ –4.
уТБŒОЙН РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ НБУУЩ РПМСТПОБ УЙМШОПК УŒСЪЙ (6.70) У ТЕЪХМШФБФПН m =m = 1 + (4=3ı2)g2m2c ln(kD =mc) ДМС РПМСТПОБ УМБВПК УŒСЪЙ, РПМХЮЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ 16 (УН. ŒЩТБЦЕОЙЕ (4.45)). рТЕЦДЕ ŒУЕЗП ПФНЕФЙН, ЮФП ЛПОУФБОФБ УŒСЪЙ – Œ ЗБНЙМШФПОЙБОЕ УЙМШОПК УŒСЪЙ (6.13) УŒСЪБОБ У ЛПОУФБОФПК УŒСЪЙ g Œ ЗБНЙМШФПОЙБОЕ жТčМЙИБ (6.6) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: – = gK1=2. рПЬФПНХ ТЕЪХМШФБФ (6.70) НПЦОП
130 |
змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ |
ЪБРЙУБФШ Œ БФПНОЩИ ЕДЙОЙГБИ ЛБЛ m =m = 1 + (g2=c)2=6. уТБŒОЙŒБС ЬФЙ ДŒБ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ, ŒЙДЙН, ЮФП РЕТЕИПД ЙЪ ТЕЦЙНБ УМБВПК УŒСЪЙ Œ ТЕЦЙН УЙМШОПК УŒСЪЙ РТПЙУИПДЙФ РТЙ ПФОПУЙФЕМШОП НБМПК ŒЕМЙЮЙОЕ ЛПОУФБОФЩ g 1.
6.4. ьЖЖЕЛФ рБКЕТМУБ, ФЕПТЙС УТЕДОЕЗП РПМС
ьМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ НЕФБММЕ НПЦЕФ РТЙŒПДЙФШ Л ДŒХН ТБЪМЙЮОЩН, ИПФС Œ ЮЕН-ФП Й ТПДУФŒЕООЩН, ОЕХУФПКЮЙŒПУФСН: РБКЕТМУПŒУЛПК, РЕТЕŒПДСЭЕК НЕФБММ
ŒДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЕ УПУФПСОЙЕ, Й ЛХРЕТПŒУЛПК, ДЕМБАЭЕК НЕФБММ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПН (УН. ЗМ. 10). ьЖЖЕЛФПН рБКЕТМУБ (УН. ЪБДБЮХ 32) ОБЪЩŒБЕФУС ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ ПДОПНЕТОПК ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПК УЙУФЕНЩ, РТЙŒПДСЭБС Л ПВТБЪПŒБОЙА НПДХМСГЙЙ УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН k = 2p0 (ЬФП УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЙПДХ Œ РТПУФТБОУФŒЕ, ТБŒОПНХ УТЕДОЕНХ ТБУУФПСОЙА НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ У ПДОПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ). йЪ-ЪБ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ ОБ РЕТЙПДЙЮЕУЛПН ДЕЖПТНБГЙПООПН РПФЕОГЙБМЕ У k = 2p0 Œ ПЛТЕУФОПУФЙ ХТПŒОС жЕТНЙ Œ УРЕЛФТЕ ЬМЕЛФТПОПŒ ПФЛТЩŒБЕФУС ЭЕМШ, ŒЕМЙЮЙОБ ЛПФПТПК РТПРПТГЙПОБМШОБ БНРМЙФХДЕ НПДХМСГЙЙ. ьОЕТЗЙС ЪБРПМОЕООЩИ УПУФПСОЙК, ОБИПДСЭЙИУС РПД ЭЕМША, РПОЙЦБЕФУС ОБ ŒЕМЙЮЙОХ В«ПМШЫХА, ЮЕН ЪБФТБЮЕООБС УЙУФЕНПК РТЙ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙЙ НПДХМСГЙЙ ХРТХЗБС ЬОЕТЗЙС. фБЛПК ВБМБОУ ЬОЕТЗЙЙ ДЕМБЕФ РБКЕТМУПŒУЛПЕ УПУФПСОЙЕ ВПМЕЕ ŒЩЗПДОЩН РП УТБŒОЕОЙА У ЙУИПДОЩН НЕФБММЙЮЕУЛЙН УПУФПСОЙЕН. рБКЕТМУПŒУЛПЕ УПУФПСОЙЕ СŒМСЕФУС ДЙЬМЕЛФТЙЛПН, РПУЛПМШЛХ Œ ОЕН ПФУХФУФŒХАФ ЬМЕЛФТПООЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС У ЬОЕТЗЙСНЙ, НЕОШЫЙНЙ ŒЕМЙЮЙОЩ ЭЕМЙ
ŒУРЕЛФТЕ. рБКЕТМУПŒУЛБС ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ ОБЙВПМЕЕ СТЛП ŒЩТБЦЕОБ Œ ПДОПНЕТОПК УЙУФЕНЕ, ОП ŒУФТЕЮБЕФУС ФБЛЦЕ Й Œ ТЕБМШОЩИ ФТЕИНЕТОЩИ УЙУФЕНБИ, УФТХЛФХТБ ЛПФПТЩИ
ŒФПН ЙМЙ ЙОПН УНЩУМЕ ĂЛŒБЪЙПДОПНЕТОБĄ.
гЕМШ ЬФПЗП ТБЪДЕМБ | ЙЪМПЦЙФШ РТПУФХА ФЕПТЙА, РПЪŒПМСАЭХА ПВПУОПŒБФШ ПРЙУБООХА ЛБТФЙОХ Й ŒЩСУОЙФШ ОЕЛПФПТЩЕ ЙОФЕТЕУОЩЕ ДЕФБМЙ ХУФТПКУФŒБ РБКЕТМУПŒУЛПЗП УПУФПСОЙС. нЩ ПЗТБОЙЮЙНУС ЪДЕУШ УМХЮБЕН ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЩ (ОЕЛПФПТЩЕ ŒПРТПУЩ ФЕТНПДЙОБНЙЛЙ РЕТЕИПДБ рБКЕТМУБ ТБУУНПФТЕОЩ Œ ЪБДБЮЕ 39). рП ИБТБЛФЕ-
ТХ РТЙНЕОСЕНПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС ЙУРПМШЪПŒБООЩК ОЙЦЕ НЕФПД СŒМСЕФУС ФБЛ ОЩЪЩŒБЕНПК ФЕПТЙЕК УТЕДОЕЗП РПМС, РПУЛПМШЛХ НПДХМСГЙС ТЕЫЕФЛЙ, ОБ ЖПОЕ ЛПФПТПК ДŒЙ-
ЗБАФУС ЬМЕЛФТПОЩ Й ЖПОПОЩ, ТБУУНБФТЙŒБЕФУС Œ ЬФПК ФЕПТЙЙ ЛБЛ УФБФЙЮЕУЛБС. рТЙ ЬФПН РТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ДЕКУФŒХАЭЙК ОБ ЬМЕЛФТПОЩ ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ ЖМХЛФХЙТХЕФ ПФОПУЙФЕМШОП УМБВП. фБЛПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ РПЪŒПМСЕФ ОБКФЙ ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ Й ПРТЕДЕМЙФШ, ЛБЛ ЙИ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ НЕОСЕФУС РТЙ РЕТЕИПДЕ Œ РБКЕТМУПŒУЛПЕ УПУФПСОЙЕ.
оБЮОЕН У ФПЗП, ЮФП СŒОП ŒЩДЕМЙН ПВМБУФШ ЙНРХМШУПŒ ŒВМЙЪЙ РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ. ъБРЙЫЕН ДМС ЬФПЗП -ПРЕТБФПТ Œ ŒЙДЕ УХННЩ ŒЛМБДПŒ ЮБУФЙГ У ЬОЕТЗЙСНЙ ŒВМЙЪЙ EF , ДŒЙЦХЭЙИУС ОБРТБŒП Й ОБМЕŒП:
(x) = 1(x) eip0x + 2(x) e−ip0x ; |
(6.71) |
ÇÄÅ i(x), i = 1; 2, РТЕДРПМБЗБАФУС НЕДМЕООЩНЙ ЖХОЛГЙСНЙ x. рПУМЕ ЬФПЗП ЗБНЙМШ-