- •«Тамбовский государственный технический университет»
- •Удк 535. 338 (0765)
- •Механика абсолютно твердого тела
- •1 Поступательное и вращательное движение
- •2 Кинематические характеристики вращательного движения
- •3 Центр инерции (центр масс) твёрдого тела
- •4 Момент силы. Момент инерции. Основной закон
- •5 Кинетическая энергия твердого тела
- •Всемирное тяготение
- •6 Закон всемирного тяготения
- •7 Потенциальная энергия тяготения
- •9 Эквивалентность сил тяготения и сил инерции
- •Законы сохранения в механике
- •11 Законы сохранения импульса, момента импульса, механической энергии
- •12 Применение законов сохранения к некоторым физическим задачам
- •I. Явление отдачи
- •II. Неупругие столкновения
- •III. Упругие столкновения
- •IV. Расчёт второй космической скорости (для Земли)
- •V. Условия равновесия механической системы.
- •Элементы механики жидкости
- •13 Давление в жидкости. Закон архимеда
- •14 Уравнение неразрывности жидкости
- •15 Уравнение бернулли и следствия из него
- •16 Применение закона сохранения импульса
- •18 Ламинарное и турбулентное течение жидкости
- •19 Движение тел в жидкостях
- •Механические колебания
- •20 Понятие колебательного движения
- •21 Кинематика механических гармонических
- •22 Динамика механических гармонических
- •1. Собственные колебания груза на пружине
- •2. Колебания математического маятника
- •23 Импульс и энергия гармонического осциллятора
- •24 Затухающие собственные колебания
- •25 Вынужденные колебания и резонанс
- •26 Сложение гармонических колебаний
- •1. Сложение двух гармонических колебаний одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль одной прямой.
- •2. Сложение двух гармонических колебаний со слегка
- •Механические волны
- •27 Понятие о механических волнах
- •28 Уравнение плоской гармонической волны.
- •29 Скорость распространения волн в упругой среде
- •30 Энергия волны
- •31 Отражение волн. Стоячие волны
- •Акустика. Звуковые волны
- •32 Природа звука и его характеристики
- •33 Эффект допплера для звуковых волн
28 Уравнение плоской гармонической волны.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
1. Уравнение волны – это формула, позволяющая найти смещение любой частицы среды, в которой распространяется волна, для любого заданного момента времени: , (28.1)
где S – смещение произвольной частицы от положения равновесия;
- декартовы координаты равновесного положения этой частицы; - время.
Формула (28.1) должна быть периодической функцией, как координат, так и времени. Это следует из того, что все частицы, охваченные волновым движением, совершают периодические колебания, и все час-тицы, отстоящие друг от друга на расстоянии , колеблются одинаковым образом.
2. Будем полагать, что частицы среды колеблются по гармоническому закону, волна плоская и распространяется в направлении оси . В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны к осии так как все частицы, принадлежащие одной и той же волновой поверхности, колеблются одинаково, смещение любой из частиц будет зависеть только оти:
. (28.2)
Выделим две волновые поверхности так, чтобы одна проходила через начало координат (поверхность «0»), другая – через произвольную точку с координатой (поверхность «») – рис.54. Пусть колебания частиц, принадлежащих волновой поверхности «0», происходят по закону
(28.3)
Колебания частиц, принадлежащих поверхности «», начнутся позже, так как требуется некоторое время для того, чтобы волна прошла расстояниех, отделяющее поверхности «0» и «». Это время, очевидно, равно, где- скорость распространения волны.
Следовательно, колебания частиц поверхности «» будут отставать от колебаний частиц поверхности «0»
на :
или
(28.4)
Это уравнение и есть уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси . ВеличинаS определяет смещение от положения равновесия любой из частиц с координатой в момент времени. Предполагается, что амплитуда колебаний всех частиц одинакова. Для плоской волны это справедливо, если энергия волны не поглощается средой.
Уравнения плоской волны можно записать также в виде:
или, учитывая (27.4):
. (28.5)
3. Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси , имеет вид:
. (28.6)
4. График зависимости смещения от при некотором фиксированномприведен на рисунке 55,а; график зависимости смещения
от при некотором фиксированном- на рисунке 55,б.
5. Уравнение плоской волны есть решение соответствующего дифференциального уравнения, называемоговолновым.
Волновое уравнение связывает вторые частные производные от смещения по координатам со вторыми частными производными от смещения по времени. Продифференцируем уравнения волны (28.5) дважды по времени:
, (28.7)
затем дважды по координате:
. (28.8)
Сопоставим уравнения (28.7) и (28.8), найдём, что
.
Учитывая, наконец, , найдём искомое волновое уравнение плоской гармонической волны:
. (28.9)
В случае если волна распространяется в произвольном направлении, в левой части волнового уравнения появляются слагаемые содержащие вторые частные производные по и:
. (28.10)
Решением этого уравнения в зависимости от дополнительных условий может быть уравнение плоской, сферической и т.д. волн.